云南省昆明市五华区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年云南省昆明市五华区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.2025年5月2日，在2025世界泳联跳水世界杯总决赛中，中国队组合全红婵和陈芋汐以分的总成绩夺得女子双人10米台项目的冠军.她们五次跳水的成绩单位：分分别为、、、、这组数据的众数和中位数分别是(    ) A. 、 B. ， C. ， D. ， 3.如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小菱形的边长不变当时，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.某篮球队5名场上队员的身高单位：分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为196cm的队员换下场上身高为190cm的队员.与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是(    ) A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 6.图中的折线表示一汽车离出发地的距离单位：与行驶时间单位：之间的关系.下列说法正确的是(    ) A. 汽车共行驶了120km B. 汽车在整个行驶过程中的平均速度为 C. 出发，距出发地最远 D. 汽车在行驶途中停留了 7.乐乐参加了学校广播站招聘小记者的三项素质测试，成绩百分制如下：采访写作60分，计算机操作70分，创意设计80分.若按采访写作占、计算机操作占、创意设计占，计算他的综合成绩，则他的素质测试的综合成绩为(    ) A. 67分 B. 68分 C. 70分 D. 72分 8.若，则a的值估计在(    ) A. 5到6之间 B. 6到7之间 C. 7到8之间 D. 8到9之间 9.如图，在中，，，，借助尺规在BC上确定一点P，则PC的长为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10.某班同学在做弹簧总长单位：与所挂砝码质量单位：变化关系的实验时，记录的相关数据如表. 所挂砝码质量 0 50 100 150 200 250 300 400 500 弹簧总长 3 4 5 6 7 8 则下列图象适合表示y与x的对应关系的是(    ) A. B. C. D. 11.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是(    ) A. b B. C. D. 12.如图是屋架设计图的一部分，如果斜梁、横梁，那么从横梁BC上的任意一点D支一根木头顶往屋顶A处，这根木头的长度可能是(    ) A. B. C. 4m D. 6m 13.有下列四个算式：①；②；③；④其中正确的是(    ) A. ①④ B. ③④ C. ②③ D. ①③ 14.六个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，已知点A是其中一个正方形的顶点，经过点A的一条直线l将这六个正方形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 15.如图，在长方形ABCD中，，，E为边CD上一点，且，动点P从点A出发，沿路径运动，则三角形APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。 16.如图，直线：与直线：相交于点P，则方程组的解是______. 17.已知：和线段a， 求作：平行四边形ABCD，使， 作法；如图. 在射线BM上截取，在射线BN上截取； 分别以点C，A为圆心，AB，BC的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D； 连接AD， 如果是一个直角，那么这个平行四边形就是一个矩形. 你认为王芳同学做出判断的依据是：______. 18.若点在直线上，则代数式的值是______. 19.已知有两张全等的矩形纸片，长是6cm，宽是如图将这两张纸片叠合得到菱形设菱形ABCD的面积为，则S的取值范围是______. 三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题7分 计算： 21.本小题6分 发生火灾时，逃生时间通常仅有几分钟，采取有效的自救与逃生措施能够显著降低人员伤亡.某中学针对八年级学生进行了逃生技能掌握情况的调查，随机抽取了1班和2班各10名学生进行问卷调查，分数越高表明学生掌握的逃生技能越好，根据调查结果绘制了相应的统计图. 数据分析结果详见下表： 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 1班 x 9 2班 y 9 9 请根据以上信息，解答下列问题： ______，______； 补全条形统计图； 小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分，则小颖在______班填“1”或“2”； 在逃生技能的掌握方面，你认为哪个班级的学生表现更优异？请说明理由. 22.本小题7分 如图，点A，B，C在边长为1的正方形组成的网格格点上，解答下列问题： 线段AB的长为______，线段 AC的长为______； 连接BC，判断的形状，并证明你的结论. 23.本小题6分 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，， 求的度数； 求AC的长. 24.本小题8分 如图，直线：与过点的直线相交于点，与y轴相交于点 求直线的解析式； 点P在直线上，且点P不与点B重合，轴，交直线于点若，求点P的坐标. 25.本小题8分 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，，垂足为点M，EM交BD于点 求证：； 若，求平行四边形ABCD的面积. 26.本小题8分 为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机． 求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？ 该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 27.本小题12分 [观察猜想] 数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点.则AE与EP的数量关系是______. [实践探究] 希望小组的同学受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点点E，B不重合，是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并求出的度数. [拓展迁移] 突击小组的同学深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点点E，B不重合，是等腰直角三角形，，连接DP，知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值.当时，请你求出周长的最小值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：依题意得 ， 故选： 由二次根式的性质可以得到，由此即可求解． 此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题． 2.【答案】B  【解析】解：数据出现2次，次数最多， 所以这组数据的众数为， 处于最中间的数据为， 所以中位数为， 故选： 根据众数和中位数的定义求解即可． 本题主要考查众数、中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 3.【答案】A  【解析】解：四边形ABCD是菱形，AC是对角线， ，AC平分， ，   故选： 先根据菱形的对角相等得，再根据菱形的对角线平分对角即可求解． 本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 原数据的方差为， 新数据的方差为， 所以平均数变大，方差变小， 故选： 分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较即可得出答案． 本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 5.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选： 根据矩形的性质可得，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 本题考查矩形的性质，关键是矩形性质的熟练掌握． 6.【答案】D  【解析】解：汽车共行驶了， 不正确，不符合题意； 汽车在整个行驶过程中的平均速度为， 不正确，不符合题意； 出发，汽车重新回到距出发地， 不正确，不符合题意； 汽车在行驶途中停留了， 正确，符合题意． 故选： A.计算往返路程之和即可； B.根据平均速度=路程总时间计算即可； C.根据图象判断即可； D.根据图象计算即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：分 故选： 根据加权平均数的计算方法计算即可． 本题主要考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义及计算方法是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：， ， ， 即a的值估计在7到8之间， 故选： 将原式计算并整理，然后利用夹逼法估算其大小即可． 本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：，，，， 是直角三角形， 作于H， 由题意，PA平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， ， 故选： 先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：由题意可知，所挂砝码质量小于或等于300g时，每增加50g弹簧总长增加1cm；当所挂砝码质量等于或大于300g时，弹簧总长为 适合表示y与x的对应关系的是选项 故选： 根据表格信息，再对比图象中的折点即可选出答案． 此题主要考查函数的图象，利用数形结合的方法是解答本题的关键． 11.【答案】C  【解析】解：由数轴上各点的位置可知， 原式 故选： 先根据数轴得到a、b、的符号，再计算算术平方根和绝对值，进而根据整式的加减计算法则即可求出答案． 本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，熟知数轴上点的坐标特点是解题的关键． 12.【答案】C  【解析】解：如图，过点A作于点E， 米，米， 米， 在中，由勾股定理得：米， 由题意可知，， 即3米米， 故这根木头需要长度可能是4米， 故选： 过点A作于点E，由等腰三角形的性质得米，中由勾股定理求出米，然后由，即可得出结论． 本题考查了勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 13.【答案】C  【解析】解：①与不属于同类二次根式，不能运算，故①不符合题意； ②，故②符合题意； ③，故③符合题意； ④，故④不符合题意． 故选： 利用二次根式的加减法的法则进行运算即可． 本题主要考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法的运算法则是关键． 14.【答案】A  【解析】解：过A作轴，交x轴于点P，设直线l与y轴交于点Q， 直线l将这六个正方形分成面积相等的两部分， 每一部分面积是3， ， ，， ，即， 由题易得， 设直线l的函数表达式为，将，代入， 得， 解得， 直线l的函数表达式为， 故选： 因为直线l将这六个正方形分成面积相等的两部分，所以每一部分面积是3，进而补全图形成为规则三角形或者四边形，再利用面积公式求解即可． 本题主要考查了一次函数点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、坐标与图形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 15.【答案】D  【解析】解：在长方形ABCD中，，， ，， ， 动点P从点A出发，沿路径运动，当点P在AB上运动，即时，， ， ， 当点P在BC上运动，即时， ，， ， ， 当点P在CE上运动，即时，， ， ， ， 综上所述，函数关系式为， 当时，； 当时，； 当时， 选项D的图象符合题意． 故选： 求出CE的长，然后分三种情况讨论：①点P在AB上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式；②点P在BC上运动时，根据式整理得到y与x的关系式；③点P在CE上运动时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系，根据解析式即可得到函数的图象． 本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y与x的关系式是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：由题意，直线：与直线：相交于点， 方程组的解是 故答案为： 依据题意，由直线：与直线：相交于点，可得方程组的解是，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，解题时要熟练掌握并利用数形结合是关键． 17.【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形．  【解析】解：由作图可知，， 四边形ABCD是平行四边形， ， 四边形ABC都是矩形． 故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断即可． 本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18.【答案】3  【解析】解：由条件可得， ， ， 故答案为： 将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键． 19.【答案】  【解析】解：当两张纸片叠合成如图1时，菱形ABCD的面积最小， 此时菱形ABCD为正方形， 矩形的宽是3cm， ， 正方形ABCD的面积为； 当两张纸片叠合成如图2时，菱形ABCD的面积最大， 矩形AECH和矩形AFCG全等， ，， 又， ≌， ， 设， 则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即， ， 的取值范围是， 故答案为： 当两张纸片叠合成如图1的正方形时面积最小，根据正方形的面积公式计算即可；当两张纸片叠合成如图2时，菱形ABCD的面积最大，先证≌得出，设，在中根据勾股定理即可求出x的值，再根据菱形的面积公式计算即可，从而得出S的取值范围． 本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解： 先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21.【答案】、；  见解答；  1；  2班的学生表现更优异，理由见解答．  【解析】解：班得9分的人数为人， 则， ； 故答案为：、； 补全条形统计图如下： 小颖的得分是9分，其分数高于她所在班级半数同学的个人得分， 所以小颖的得分大于该班成绩的中位数， 所以小颖在1班， 故答案为：1； 班的学生表现更优异， 由表格知，2班成绩的平均数、中位数均大于1班，而方差小于1班， 所以2班成绩的平均水平、高分人数均比1班优异，且成绩更加稳定． 先求出1班得9分的人数，再依据加权平均数、中位数的定义求解即可； 根据以上所求结果即可补全图形； 根据中位数的意义求解即可； 根据平均数、中位数和方差的意义求解即可． 本题考查条形统计图，平均数、中位数、众数，理解平均数、中位数、众数的意义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键． 22.【答案】，；   是直角三角形，证明见解析．  【解析】由图可知，，， 故答案为：，； 是直角三角形． 证明：由知，，， ， ， 是直角三角形． 根据勾股定理进行计算即可； 根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键． 23.【答案】；     【解析】四边形ABCD是菱形，， ，， ， ； 四边形ABCD是菱形， ，，， ， ， 由菱形的性质可得，，即可求解； 由菱形的性质可得，，，由直角三角形的性质可求OC的长． 本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 24.【答案】直线的解析式为；   或  【解析】把代入得， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为； 在直线：中，令，得， ， ， 设，由轴，得， ， 解得或， 或 把点C的坐标代入，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； 由已知条件得出P、Q两点的纵坐标，利用两点间距离公式求出P的坐标． 本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键． 25.【答案】见解析；    【解析】证明：连接BE， ，点E是OA的中点， ， ， ，均为等腰直角三角形． 点E，F分别是OA，OD的中点， 是的中位线． 四边形ABCD为平行四边形， ， 解：由知，，， 四边形ABCD为平行四边形， ， 平行四边形ABCD的面积 连接BE，根据等腰三角形的性质可得，进而推出，均为等腰直角三角形，可得，从而得到EF是的中位线，等量代换可得； 由知，，，可求出的面积，根据，所以，可求出，，进而求出平行四边形ABCD的面积． 本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、中位线定理，熟练运用其性质求解是解题的关键． 26.【答案】解：设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元， 由题意可得：， 解得：， 答：今年每套A型的价格各是万元、B型一体机的价格是万元； 设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机套， 由题意可得：， 解得：， 设明年需投入W万元， ， ， 随m的增大而减小， ， 当时，W有最小值， 故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．  【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键． 直接利用今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，分别得出方程求出答案； 根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案． 27.【答案】[观察猜想] ； [实践探究]在AB上取，连接EF，如图， 由同理可得， ， 是等腰直角三角形， ， ≌， ， ，， ， ， ， ， ， ； [拓展迁移]如图，连接CP，作，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，PG， 由知， ， ， ， 是等腰直角三角形， 点D与G关于CP对称， ， 最小值为AG的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为；  【解析】解：[观察猜想]取AB的中点F，连接EF，如图， 四边形ABCD是正方形， ，， ， 、E分别为正方形的边AB、BC的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ≌， ； [实践探究]在AB上取，连接EF，如图， 由同理可得， ， 是等腰直角三角形， ， ≌， ， ，， ， ， ， ， ， ； [拓展迁移]如图，连接CP，作，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，PG， 由知， ， ， ， 是等腰直角三角形， 点D与G关于CP对称， ， 最小值为AG的长， ， ，， 由勾股定理得， 周长的最小值为； [观察猜想]取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明，再根据ASA证明≌，得； [实践探究]在AB上取，连接EF，由同理可得，则≌，再说明是等腰直角三角形，即可得出答案； [拓展迁移]作，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案． 本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$