江苏省南京市秦淮区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列人工智能APP的图标中，属于中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.2024年我市约有万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析.在这个问题中，下列说法正确的是(    ) A. 我市万名考生的全体是总体 B. 每个考生是个体 C. 2000名考生是总体的一个样本 D. 样本容量是2000 3.若反比例函数的图象经过点，则m的值是(    ) A. B. 2 C. D. 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.当时，下列式子没有意义的是(    ) A. B. C. D. 6.已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，从下列条件中：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧任取两个条件，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有(    ) A. 8种 B. 10种 C. 14种 D. 16种 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.袋子里有7只红球，3只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出1只球，红球的可能性______白球的可能性填“大于”“小于”或“等于” 8.计算的结果是______. 9.某班级40名学生在一次考试中，分数段在分的频率为，则该班级在这个分数段内的学生有______人． 10.方程的解是______. 11.如图，在菱形ABCD中，，，则菱形的高为______. 12.已知，则代数式的值为______. 13.对于反比例函数，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点；③y随x的增大而减小；④当时，其中所有正确结论的序号是______. 14.如图，已知四边形ABCD是矩形，，点E在AD上，若EC平分，则BC的长为______. 15.如图，在长方形纸片ABCD中，，，点M为BC上一点，将沿DM翻至，EM交AB于点G，ED交AB于点F，且，则CM的长度是______. 16.如图，四边形ABCD是菱形，，，点E是边AD上一点，且，点F是边CD上一个动点，以EF为边作等边，连接若CG的长度为d，则d的取值范围是______. 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题8分 计算： ； 18.本小题8分 计算：； 解方程： 19.本小题6分 先化简，再求值：，其中 20.本小题6分 某校课间有四个运动项目：踢毽子，投沙包，跳绳，打篮球分别用A、B、C、D表示为了解运动项目受欢迎情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查.每位同学必须且只能选择一种.根据调查结果绘制出部分扇形统计图和条形统计图，根据图中的信息，回答下列问题： 在本次调查中，一共抽取了______名学生； 请补全条形统计图； 若该校有1800名学生，请估计项目D受欢迎的学生人数. 21.本小题6分 求证：菱形的一条对角线平分这一组对角． 已知：如图，AC是菱形ABCD的一条对角线． 求证：______. 证明： 22.本小题6分 某城市引入某品牌新能源环卫车进行道路清洁.该品牌车辆电池满电容量均为180千瓦时升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，工作状态下每小时比升级前少耗电5千瓦时求升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量. 23.本小题6分 已知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点. 求反比例函数和一次函数表达式； 若将该反比例函数的图象先向左平移3个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是______. 24.本小题6分 代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论. 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明. 已知实数x，y满足，求证 证明：， ①______ ②______， ，， ， 在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 25.本小题8分 如图，已知角，线段m，用直尺和圆规按下列要求分别作菱形保留作图痕迹，写出必要的文字说明 ，； ， 26.本小题8分 对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P、Q两点间距离的最小值为图形M、N间的“最近距离”，记作在▱ABCD中，点，，， 点O，▱______. 若点P在x轴正半轴上，点P，▱，求点P的坐标； 若已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 ①当时，直接写出▱的值； ②若▱，直接写出a的取值范围. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选： 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2.【答案】D  【解析】解：我市万名考生的数学成绩全体是总体，此选项不符合题意； B.每个考生的数学成绩是个体，此选项不符合题意； C.2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，此选项不符合题意； D.样本容量是2000，此选项符合题意； 故选： 总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 3.【答案】B  【解析】解：反比例函数的图象经过点， ， 解得 故选： 把点A代入函数解析式，利用一元一次方程来求m的值． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 4.【答案】B  【解析】解：矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点， ，， 是的一个外角， ， ， 故选： 先证明，，再结合三角形的外角的性质解答即可． 本题考查的是矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的性质是解本题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：A、当时，，分式没有意义，故此选项符合题意； B、当时，分母不为0，即分式有意义，故此选项不符合题意； C、当时，，二次根式有意义，故此选项不符合题意； D、当时，分母不为0，被开方数为正数，即式子有意义，故此选项不符合题意； 故选： 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件判断即可． 本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：①；②， 四边形ABCD是平行四边形， ①，③， 四边形ABCD是平行四边形， 同理可得：②④也能判断四边形ABCD是平行四边形， ⑤；⑥， 四边形ABCD是平行四边形， ③；④， 四边形ABCD是平行四边形， ①，⑦， ， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， 同理可得：①⑧和②⑦和②⑧也能判断四边形ABCD是平行四边形， ⑦；⑧， 四边形ABCD是平行四边形， 故选： 由平行四边形的判定定理即可得出答案． 此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的判定定理解答． 7.【答案】大于  【解析】解：袋子里有7只红球，3只白球， 红球的数量大于白球的数量， 从中任意摸出1只球，是红球的可能性大于白球的可能性． 故答案为：大于． 根据“哪种球的数量大哪种球的可能性就大”直接确定答案即可． 本题考查了可能性的大小，解题的关键掌握可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 8.【答案】0  【解析】解： ， 故答案为： 先化简，然后合并同类二次根式即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 9.【答案】6  【解析】解：由题意得： ， 该班级在这个分数段内的学生有6人， 故答案为： 根据频数=频率总次数，进行计算即可解答． 本题考查了频数与频率，熟练掌握频数=频率总次数是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为： 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：连接AC， 菱形ABCD中，， ，，， ， ， 设菱形的高为x，则， 解得： 故答案为： 直接利用菱形的性质得出AC的长，进而利用菱形的面积求出答案． 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出AC的长是解题关键． 12.【答案】2  【解析】解：， ， 故答案为： 根据x的值和完全平方差公式可以解答本题． 本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 13.【答案】①②  【解析】解：反比例函数， 该函数的图象在第一、三象限，故①正确，符合题意； 当时，，即函数的图象经过点，故②正确，符合题意； 在每个象限内，y随x的增大而减小，故③错误，不符合题意； 当时，，当时，，故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 14.【答案】10  【解析】解：平分， ， 四边形ABCD是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解． 本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：设，则， 由题意得：， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ，， 在中，， 即：， 解得： 故答案为： 先证明≌，再根据勾股定理设未知数列方程求解． 本题考查了翻折变换和矩形的性质，勾股定理，根据条件列出方程是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：在CD上截取，连接HG交AB于点P，连接EH， 四边形ABCD是菱形，，， ，， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 四边形PBCH是平行四边形， ， 连接PC，作于点I，于点Q，则， ， ， ，，且， ，， ， ， 点G在线段PH上运动， ， 的长度d的取值范围是， 故答案为： 在CD上截取，连接并延长HG交AB于点P，连接EH，是等边三角形，而是等边三角形，可证明≌，得，，可证明，进而证明四边形PBCH是平行四边形，则，连接PC，作于点I，于点Q，则，求得，，则，由勾股定理可求PC的长，即可求解． 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 17.【答案】；    【解析】 ； 先对二次根式进行化简，再合并同类项即可； 根据二次根式的运算法则进行计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 18.【答案】；   无解．  【解析】 ； ， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入， 是分式方程的增根， 分式方程无解． 根据分式的加减法运算法则进行计算即可； 把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 本题考查了解分式方程，分式的加减，掌握解分式方程的方法，分式的加减运算法则是解题的关键． 19.【答案】，  【解析】解： ， 当时，原式 先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20.【答案】40；   图形见解析；   估计项目D受欢迎的学生人数675元．  【解析】本次共调查学生名， 故答案为：40； 项目对应的人数为名， 补全图形如下： 元， 答：估计项目D受欢迎的学生人数675元． 由A项目人数及其所占百分比可得总人数； 总人数乘以B项目对应百分比求出其人数，从而补全条形图； 总人数乘以样本中B项目对应的百分比即可． 本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21.【答案】，  【解析】解：求证：，； 证明：四边形ABCD是菱形， ， ， ， ， ， 同理 故答案为：， 由菱形的性质可得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得结论． 本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 22.【答案】升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时．  【解析】解：设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为x千瓦时，则升级前该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为千瓦时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时． 设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为x千瓦时，则升级前该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为千瓦时，根据升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23.【答案】，；     【解析】将点A代入解析式得：， ， 在上， ， ， ，B均在上， ， 解得：，， 综上所述，，； 将y2向左平移3个单位长度得到：， 再沿y轴翻折得到： 故答案为： 将A点代入，求出，然后求出B点坐标，将A，B坐标代入，求解析式； 向左平移3个单位，用代替x，沿y轴翻折，用代替x，即可得到新的表达式． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及平移、对称变换后解析式的变化规律，正确理解平移变换和对称变换是本题解题的关键． 24.【答案】①不等式的基本性质1，②平方差公式；  证明见解析．  【解析】解：由题意，， ①不等式的基本性质 ②平方差公式 故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式． 证明：， ， ， ， ， 依据题意，根据不等式的性质，及平方差公式即可判断得解； 依据题意，根据所给信息即可计算判断得解． 本题主要考查了二次根式的混合运算、非负数的性质：算术平方根、实数大小比较、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 25.【答案】见解析．  【解析】如图1中，菱形ABCD即为所求； 如图2中，菱形ABCD即为所求． 作，作射线BT平分，在射线BT上截取线段BD，使得，作线段BD的垂直平分线交BM于点A，交BN于点C，连接AD，CD即可； 作，作射线AT平分，在射线AT上截取线段AC，使得，作线段AC的垂直平分线交AM于点B，交AN于点D连接BC，CD即可． 本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 26.【答案】；   点P坐标为或；   ①▱的值为； ②或或  【解析】解：由A，B，C，D的点坐标可知O为▱ABCD对角线的交点， 点O到BC，AD的距离相等且为6；点O到AB，CD的距离相等； 如图1，记AB与y轴的交点为M， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 设O到AB的距离为h， ， ， 解得， ， 点O，▱的值为， 故答案为：； 解：作于Q， 如图1，当点P在点M的上方时， 点P，▱， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ，点P坐标为； 如图2，当点P在点M的下方时， 同理可得：， ， 点P坐标为； 综上，点P坐标为或；  解：①， ，，，， 在坐标系中描点，依次连接如图3所示，▱EFHG即为图形W，过点H作，垂足为K，延长FH，交CD于N， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ▱， ， ， 负值舍去， ， ， ， ▱的值为； ②如图，将AD，BC向左向右各平移1个单位距离，AB，CD向上或向下各移动个单位距离，如图： 当▱EFHG在▱内或▱外时，符合题意， 点，，，， 直线AB：，直线CD：，直线BC：，直线AD：， 直线：，直线：，直线：，直线：， 直线：，直线：，直线：，直线：， 点，，，， 、G在直线上，F、H在直线上， ，，，， 或或， 解得：或或 由A，B，C，D的点坐标可知O为口ABCD对角线的交点，可知点O到BC，AD的距离相等且为6；点O到AB，CD的距离相等；如图1，记AB与y轴的交点为M，，在中，由勾股定理得BM，设O到AB的距离为h，根据，求出h的值，然后与6比较取最小值即可； 作于Q，分为点P在点M的上方和下方，两种情况讨论，由点P，▱，可知，且，在中，由勾股定理得PM，求出PM的值，进而可得P点坐标； ①由，可得、、、，在坐标系中描点，依次连接，▱EFHG即为图形W，过点H作，垂足为K，延长FH，交CD于N，由E、F、G、H点坐标可知，进而得到，可知，，▱，根据勾股定理求出FN，FH，即可求解； ②过点E，G作直线，分别交AB，CD于点P，L，由E，F，H，G的点坐标可知，，，四边形EFHG是一个大小不变的平行四边形，且E点沿着直线LP运动，分情况求解：当▱EGHF在x轴下方和上方，即当和，两种情况讨论即可． 本题是四边形的综合题，考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，点到直线的距离相等，新定义下的实数运算等知识，解题的关键在于理解题意，分情况求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$