广东省广州二中教育集团2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷

2024-2025学年广东省广州二中教育集团七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列选项中，与是对顶角的是(    ) A. B. C. D. 2.9的算术平方根是(    ) A. B. C. 3 D. 3.如图，在中，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.下列四组数中，是二元一次方程的解的是(    ) A. B. C. D. 5.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.下列命题中是真命题的是(    ) A. 相等的角是对顶角 B. 是无理数 C. 平方根等于本身的数有1和0 D. 同一平面内，若，，则 7.如图，在小河旁有一村庄，现要建一码头，为使该村庄与码头的距离最近，则码头应建在(    ) A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 8.如图所示为做课间操时，小明、小德和小红三人的相对位置，如果用表示小明的位置，表示小德的位置，那么小红的位置可表示为(    ) A. B. C. D. 9.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若，，则为(    ) A. B. C. D. 10.如图，平面直角坐标系中长方形ABCD的四个顶点坐标分别为，，，，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P、Q在长方形边上第1次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，…，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.化简：          . 12.如图，沿直线BC向右平移得到若，，则平移的距离为______. 13.若关于x，y的方程是二元一次方程，则______. 14.比较大小：          填“>”、“<”或“=” 15.在平面直角坐标系中，点一定在第______象限. 16.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，折线EF交AD于E，交BC于F，点C、D的落点分别是、交BC于G，再将四边形沿FG折叠，点、的落点分别是、，交EF于H，下列四个结论： ①；②；④；④其中正确的结论是______填写序号 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 计算： ； 18.本小题6分 解下列方程组； ； 19.本小题8分 如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别是，，将向右平移5个单位长度，再上平移4个单位长度，得到，点A，B，C对应点分别为，， 直接写出点的坐标______. 在平面直角坐标系xOy中画出； 若x轴正半轴上有一点P，且的面积为16，求P点的坐标. 20.本小题6分 如图，直线AB和CD相交于点O，OD平分，于点O，，求的度数. 21.本小题6分 已知：一个正数a的两个不同平方根分别是和 求x与a的值； 求的立方根. 22.本小题8分 某市在招商引资期间，为减少固定资产投资，将原有面积为400平方米的正方形场地改建成300平方米的长方形场地，且其长、宽的比为3： 求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？ 如果把原来正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？ 23.本小题8分 如图，，于点 若，请求出的度数； 若，求证： 24.本小题12分 灯光秀是广州珠江夜游的靓丽风景线，假定河两岸，桥，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯.灯A射线从AF开始绕点A顺时针旋转至AE立即回转，灯O射线从OG开始绕点O顺时针旋转至OH立即回转，两灯不停旋转交叉照射.若灯A、灯O转动的速度分别是1度/秒、3度/秒. 若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达OH之前，两灯射出的光束交于点 ①如图1，若，则需要______秒； ②如图2，在射线AF线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由； 若灯A射线先转动30秒后，灯O射线才开始转动，在灯A射线第一次到达AE之前，求灯O射线转动多少秒，两灯的光束互相平行. 25.本小题12分 在平面直角坐标系中，已知点，，，且满足，过点C作x轴的平行线m，动点P从C点出发，在直线m上以1个单位长度/秒的速度向右运动，与此同时，直线m以2个单位长度/秒的速度竖直向上运动. 填空：______；______；运动t秒时，点P的坐标为______用含t的式子表示； 当点P在第二象限时，求的面积s与t的关系式； 如果将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，恰好经过点C，求n的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：根据互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线判断如下： A.与不是对顶角； B.与不是对顶角； C.与不是对顶角； D.与是对顶角． 故选： 根据对顶角的概念可知，互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线，从而可判定满足条件的选项． 本题考查了对顶角的概念．正确记忆相关知识点是解题关键． 2.【答案】C  【解析】解：9的算术平方根是 故选： 算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根依此即可求解． 此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 3.【答案】C  【解析】解：，， ， ， ， 故选： 由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：A、把代入方程中，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程中，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程中，左边，右边，左边=右边，所以是方程的解，故此选项符合题意； D、把代入方程中，左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故此选项不符合题意； 故选： 根据二元一次方程的解的定义把x、y的值逐项代入验证即可． 本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：，所以A选项符合题意； B.，所以B选项不符合题意； C.，所以C选项不符合题意； D.，所以D选项不符合题意； 故选： 根据二次根式的性质对A、B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则和乘法的分配律对D选项进行判断． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、是无理数，正确，是真命题，符合题意； C、平方根等于本身的数是0，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、同一平面内，若，，则，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选： 利用对顶角的性质、无理数的定义、平方根的定义及垂直的定义分别判断后即可确定正确的选项． 本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大． 7.【答案】C  【解析】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足的距离最短，即码头应建在点C处． 故选： 根据垂线段最短解答即可． 本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短性质是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：如图所示，故小红的位置可表示为， 故选： 根据已知小明、小德的坐标即可确定坐标系，再确定小红的坐标即可． 本题考查了用坐标表示位置和平面直角坐标系的建立，关键是由已知条件正确确定坐标轴的位置． 9.【答案】D  【解析】解：光线与主光轴平行， ， ， ， ， 故选： 由平行线的性质推出，求出，由对顶角的性质得到，由三角形的外角性质即可得到的度数． 本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到 10.【答案】C  【解析】解：，，，， ，， 长方形的周长为， 设运动时间为t， ， 解得， 当时，点P、Q第一次相遇，则路程为，即在x轴的正半轴上， 点； 当时，点P、Q第二次相遇，则路程为，即在x轴的负半轴上， 点； 当时，点P、Q第三次相遇，则路程为，即在第一象限， 点； 当时，点P、Q第四次相遇，则路程为，即在y轴的负半轴上， 点； 当时，点P、Q第五次相遇，则路程为，即在第二象限， 点； 当时，点P、Q第六次相遇，则路程为，即在x轴的正半轴上， 点； 五次相遇一循环， ， 点， 故选： 根据点坐标可得长方形的周长，设运动时间为t，由行程问题的数量关系可得，由此可得每次相遇的时间，从而找出规律计算即可求解． 本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的规律，长方形的性质，掌握行程中的数量关系，平面直角坐标系中点的坐标运动规律是解题的关键． 11.【答案】2  【解析】解： 故填 直接利用立方根的定义即可求解． 本题主要考查立方根的概念，如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根． 12.【答案】6  【解析】解：由题知， 因为，， 所以， 即平移的距离为 故答案为： 根据平移的性质即可解决问题． 本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键． 13.【答案】1  【解析】解：根据题意得：且， ， 故答案为： 根据二元一次方程的定义得且，再求出答案即可． 本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是关键． 14.【答案】>  【解析】解：， ， 故 故答案为： 直接估算出的取值范围，进而得出答案． 此题主要考查了实数的大小比较，正确得出的取值范围是解题关键． 15.【答案】二  【解析】解：， ， 点一定在第二象限． 故答案为：二． 根据平方数非负数的性质判断出点A的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答． 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 16.【答案】①②④  【解析】解：， 根据折叠的性质得，， 故①正确，符合题意； ， ， 根据折叠的性质得，， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 根据折叠的性质得，， ， 当时，， 故③错误，不符合题意； ， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 根据平行线的性质得到，根据折叠性质得到，即可得到，故①正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可求出，故②正确；先证明，根据折叠性质得，结合，得到当时，，故③错误；根据，即可得到，故④正确，符合题意． 本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 17.【答案】；   【解析】 ； 去括号，合并同类二次根式即可； 根据二次根式加减运算法则运算即可． 本题考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的加减运算法则是关键． 18.【答案】；   或  【解析】， ①-②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； ， ， 或， 或 根据加减消元法解二元一次方程组即可； 根据平方根的定义解方程即可． 本题考查了解二元一次方程组，平方根，正确计算是解题的关键． 19.【答案】   见解答．   P点的坐标为  【解析】向右平移5个单位长度，再上平移4个单位长度，得到，， 点的坐标为 故答案为： 如图，即为所求． 设P点的坐标为，， 的面积为16， ， 解得， 点的坐标为 根据平移的性质可得答案． 根据平移的性质作图即可． 设P点的坐标为，，根据题意可列方程为，求出m的值，即可得出答案． 本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 20.【答案】解：， ， ， ， 平分， ， ，   【解析】根据垂直，可得的度数，根据角平分线，可得的度数，于是得到结论． 本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、关键在于熟练运用各性质定理，推出相关角的度数． 21.【答案】1，36；     【解析】由题意得， 解得， ， ， 即x的值为1，a的值为36； ， 的立方根为 根据一个正数的两个平方根互为相反数列等式求得x的值，根据平方根的定义求原数即可； 根据立方根的定义求的立方根即可． 本题考查了立方根，平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键． 22.【答案】米，米；   栅栏围墙够用．理由详见解析．  【解析】设改建后的长方形场地的长为3x米，宽为2x米， 由题意得：， 解得， ，， 答：设改建后的长方形场地的长为米，宽为米； 栅栏围墙够用． 理由如下： 正方形场地的边长为米， 正方形场地的周长为米， 改建后的长方形场地的周长为米， ， 栅栏围墙够用． 设改建后的长方形场地的长为3x cm，宽为2x cm，利用长方形的面积公式列方程求解即可； 求得正方形的边长，进而求得正方形、长方形的周长，比较大小即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 23.【答案】解：已知， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同位角相等； 证明：已知， 垂直定义， 已证， 两直线平行，同位角相等， 平角定义， 已知， 同角的余角相等， 内错角相等，两直线平行  【解析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可； 由平行线的性质得到，由平角定义得到，结合已知条件得到，根据平行线的判定定理即可证得 此题考查了垂线，平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 24.【答案】①45； ②，；   15或秒．  【解析】当灯O射线第一次到达OH时，秒， ， ①当灯O射线到达OH时，， 当，C在OA左侧，且只有一种情况， 运动过程中，，， ， ，， ，， ， 即， 解得：； 故答案为：45； ②延长DC交GH于N，如图： ，， ， ， ， ， 为定值， ， ，； 当OG开始运动时，， 设OG运动了a秒，灯A射线第一次到达AE时，， 设灯A射线为AR，灯O射线为OS， 当时，AR在OA左侧，如图： ， ， ， ， 即， 解得：； 当时，AR在OA左侧，如图： ， ， ， 即， 解得：； 当时，AR在OA左侧，如上图， 同理可得，， 即， 解得：，不符合题意； 综上所述，灯O射线转动15或秒，两灯的光束互相平行． 先计算t的取值范围， ①确定的次数，用t表示出和，根据两角互余求出t值即可； ②延长DC交GH于M，延长AC交GH于N，用t表示出和，用k和t表示出，根据与t无关，求出k值以及的度数； 先确定t的取值范围，确定OG开始开始运动时AE的位置，然后根据平行线的性质，依次判断当两射线平行时的t值． 本题主要考查了角的计算以及平行线的性质，正确的用运动时间表示角的大小是本题解题的关键． 25.【答案】2；4；；  ；    【解析】由题意，， ， ， ， ， 秒时， 故答案为： 由题意，结合为， 又在第二象限， ，且 ，， ①如图1， ， ②如图2， 综上，的面积s与t的关系式为 由题意，设直线AB为， ，， 直线AB为 又将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度， 又此时过， 依据题意，由，从而，，可得，，则，，又过，则t秒时，，进而可以得解； 依据题意，结合为，又P在第二象限，则，且，可得，进而，，，结合图形可以分两种情形计算可以得解； 依据题意，设直线AB为，结合，，可得直线AB为，又将直线AB沿y轴负半轴向下平移n个单位长度，可得，又此时过，则，进而计算可以得解． 本题主要考查了一次函数图象与几何变换、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根、点的坐标，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$