2025年5月江苏省淮安市淮安区中考数学模拟试卷

2025年江苏省淮安市淮安区中考数学模拟试卷（5月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是(    ) A. B. 2025 C. D. 2.数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日，DeepSeek的全球下载量已突破1600万次，这无疑是AI应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列运算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 4.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，将直尺与含角的直角三角尺叠放在一起，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 6.甲乙两班的学生人数相等，参加了同一次数学测试，两班的平均分都是89分，方差分别为， ，那么成绩比较整齐的班级是(    ) A. 甲班 B. 乙班 C. 两班一样整齐 D. 无法确定 7.如图，内接于，AB、CD为的直径，点E为劣弧上一点，连接AE、DE，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②；③直线AB必过定点其中正确的结论有(    ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.分解因式：______. 10.关于x的方程的解是，则______. 11.已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为______度 12.己知圆锥的侧面积是，母线长为4，则圆锥的底面圆半径为______. 13.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是______. 14.如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______. 15.如图①为边长为4的正方形七巧板，拼成如图②所示的四边形ABCD，连接AC交MN于点H，则______. 16.如图，已知，，，点D在BC上，且，E、H分别是AB、AC的点，EH交AD与点F，，则______. 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题10分 计算：； 解不等式组： 18.本小题6分 先化简，再求值：，其中 19.本小题8分 如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F是BD上的点，且 求证：四边形AECF是平行四边形． 20.本小题8分 我国古代数学名著《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问有多少人，物品的价值是多少？请你解决此问题. 21.本小题8分 2025年春节期间有四部热门电影，分别是《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《熊出没重启未来》.小明和小红各自独立选择一部电影观看. 小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》的概率是______. 用画树状图或列表的方法，求小明和小红选到同一部电影的概率. 22.本小题8分 随着无人机灯光秀在各地的展演，为激发学生对科技的热情，学校的科技创新社团在学期末举办了青少年科技创新大赛，赛后从八、九两个年级中各随机抽取50名学生的成绩百分制进行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息： ①八年级学生成绩的频数分布直方图如图所示数据分为5组：，，，，； ②八年级学生成绩在这一组的是：，81，81，82，83，84，84，，85，，86，87，88，88，89，90； ③八、九年级学生成绩的平均数、中位数如下表： 年级统计量 平均数 中位数 八年级 m 九年级 85 根据以上信息，解答下列问题： 表中m的值为______； 若成绩90分以上为优秀，八年级共有学生1000名，估计本次大赛八年级学生成绩为优秀的人数； 小明此次比赛的成绩为84分，在他所在的年级中，他的成绩超过了一半以上的同学，请判断小明是哪个年级的学生，并说明理由. 23.本小题8分 某数学小组利用无人机测量河下古镇一座石拱桥的高度，如下是两种测量方案. 实物图 课题 测量石拱桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的P处，测得A的俯角为，C的俯角为在桥面上 无人机位于水面上方62米的N处，测得桥面正中心A的俯角为，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为 根据以上数据判断，方案______不能求石拱桥的高度； 利用以上可行方案求石拱桥的高度参考数据，， 24.本小题8分 如图，在中. 尺规作图：作，使得圆心O在边BC上，过点B且与边AC相切于点不要求写作法，保留作图痕迹； 在的条件下，若，，，则的半径______. 25.本小题12分 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于A、C两点，点C的横坐标为 求B点坐标和反比例函数的表达式； 当时，x的取值范围为______； 点D为双曲线上一点，连接AD交x轴于点E，当时，求点D的坐标. 26.本小题14分 已知二次函数与x轴交于、两点，与y轴交于点A，点E在抛物线上，且点E的横坐标为 直接写出该抛物线的顶点坐标______用含有a的代数式表示 当时，若， ①当时，求y的取值范围； ②抛物线E、A之间的最大值与最小值的差为1，直接写出t的取值范围______. 当点A坐标为，点E关于坐标原点O的对称点为F，以EF为对角线作矩形EPFQ，且矩形的边平行于坐标轴.当抛物线与矩形EPFQ的边有且只有两个公共点，且经过这两个公共点的直线将矩形EPFQ分成面积比为1：3的两部分时，求t的值. 27.本小题12分 【初步感知】如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证： 【探索发现】如图2，在中，，，，点F是CB延长线上的一点，且，在FC下方作，将射线CA绕点C逆时针旋转，交射线FG于点G，求FG的长. 【尝试应用】如图3，在中，，E为AC边上一点，连接BE，，，且，求的值. 【拓展提升】如图4，已知在菱形ABCD中，，点E在边AB上，且，连结CE交对角线BD于F，点G在线段CF上，连结DG，GB，若，，则______用含有m、n的式子表示 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：的绝对值等于2025， 2.【答案】B  【解析】解：1600万 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】B  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选： 根据幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形不是轴对称图形，不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形是轴对称图形，符合题意， 故选： 根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查的是轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解决问题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：如下图所示， ，对顶角相等， 等量代换， ， ，已知， ， 所以的大小为， 故选： 根据三角形外角的性质，，进而可求出的大小． 本题考查了对顶角、邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角和是关键． 6.【答案】B  【解析】解：，， ， 成绩较为整齐的是乙班． 故选 根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7.【答案】A  【解析】解：如图，连接BE， 是的直径， ， ， ， 所对的圆周角是、， ， ， 故选： 连接BE，得，由得，根据同弧所对圆周角相等得，从而可求出的度数． 本题主要考查圆周角定理，掌握其性质是解题的关键． 8.【答案】B  【解析】解：过A、B分别作轴于C、轴于D，则：，，，； ， ， ， ， ， ∽， ，即， ， 故②正确． ，，， ， ， ， 故①正确； ，， ，， 设直线AB的解析式为：， 代入A、B的坐标，得：， 解得， 直线AB为， 直线AB必过定点 故③错误． 故选： 过点A、B分别作x轴的垂线，通过构建相似三角形以及函数解析式来判断①②是否正确．利用待定系数法求出直线AB的解析式，即可判断③是否正确． 本题考查了二次函数综合题．题目涉及的考点并不复杂，主要有：利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质，难点在于代数式的变形，可以将已知的条件列出，通过比较式子间的联系来找出答案． 9.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 直接运用平方差公式进行解答即可． 此题考查的是因式分解，准确掌握平方差公式是解决此题的关键． 10.【答案】  【解析】解：把代入方程得： ， 解得： 故答案为： 方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程就得到关于a的方程，从而求出a的值． 本题主要考查了方程解的定义，解决本题的关键是熟记方程的解的定义． 11.【答案】55  【解析】解：等腰三角形的一个顶角为， 这个等腰三角形的底角 故答案为： 根据等腰三角形的两底角相等以及三角形内角和定理求解． 本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的两底角相等． 12.【答案】3  【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r， 由题意得，， 解得，， 故答案为： 设圆锥的底面圆半径为r，根据扇形弧长公式计算即可． 本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13.【答案】  【解析】解：由已知得： ， 解得： 故答案为： 由方程有两个不相等的实数根可知，，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式或不等式组是关键． 14.【答案】  【解析】解：先设每个小正方形的面积为x， 则阴影部分的面积是4x，得出整个图形的面积是9x， 则这个点取在阴影部分的概率是 故答案为： 先设每个小正方形的面积为x，则阴影部分的面积是4x，得出整个图形的面积是9x，再根据几何概率的求法即可得出答案． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 15.【答案】  【解析】解：过H作于G，如图： 由图①可知，，， ，， 设，则， ， ， ， 故答案为： 先根据正方形的拼法求出每段的长度，过H作于G，根据三角函数值求解即可． 本题主要考查了图形变换与锐角三角函数值，根据几何变换的特性，求出CM的长是本题解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：在CA上取一点K，使，连接DK，如图所示：   ， 在，，， ， ， ， ， 在和中， ，， ∽， ， ， ， 设， 在和中， ，， ∽， ， ， ，，， ， ， ， 又， ∽， ， ， ， ， 故答案为： 在CA上取一点K，使，连接DK，则，证明和相似得，则，设，证明和全等得，再证明得和相似，利用相似三角形的性质得，由此即可得出的值． 此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 17.【答案】；    【解析】 ； 解： 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为： 根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算； 先求出每个不等式的解，再表示出不等式组的解集． 本题考查了解一元一次不等式组和实数的运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 18.【答案】解：原式 ， 当时，原式  【解析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的顺序和方法是解题的关键． 先将括号内进行通分，再计算除法，约分后化为最简分式，最后将代入求值即可． 19.【答案】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示： 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ，即， ， 四边形AECF是平行四边形．  【解析】连接AC，交BD于点O，由“平行四边形ABCD的对角线互相平分”得到，；然后结合已知条件证得，再由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论． 本题考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法是解决问题的关键． 20.【答案】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：元， 答：有7人，物品的价值是53钱．  【解析】设有x人，根据题意得，，解出即可． 本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键． 21.【答案】；    【解析】解：小明从这四部电影中选到《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：； 用A，B，C，D分别表示四部电影，小明和小红各自独立选择一部电影观看，列表如下： A B C D A A，A A，B A，C A，D B B，A B，B B，C B，D C C，A C，B C，C C，D D D，A D，B D，C D，D 共16种等可能的结果，其中小明和小红选到同一部电影的结果有4种， 根据概率公式计算即可； 根据表格得出小明和小红选到同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要明确：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 22.【答案】；   260人；   小明是八年级的学生，理由见解析．  【解析】由题意得，把八年级学生成绩从小到大排列，第25，26名学生的成绩分别为82分，83分，故， 故答案为：；人， 答：估计本次大赛八年级学生成绩为优秀的人数为260人； 小明是八年级的学生，理由如下： 因为八年级学生成绩的中位数为，九年级学生成绩的中位数为85，而小明的成绩84分超过了八年级一半以上的同学，但未超过九年级一半以上的同学， 所以小明是八年级的学生． 根据中位数的定义解答即可，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数； 利用样本估计总体即可； 根据中位数的意义解答即可． 本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23.【答案】一；   石拱桥的高度约为23米．  【解析】根据以上数据判断，方案一不能求石拱桥的高度， 故答案为：一； 延长BA交MN于点P， 由题意得：米，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， 解得：， 米， 米， 石拱桥的高度约为23米． 根据题目的数据和图形，即可解答； 延长BA交MN于点P，根据题意可得：米，米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出AP的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 24.【答案】见解析；    【解析】如图，图形如图所示： 过点A作于点H，连接OD， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为： 过点B作交CA的延长线于点T，作的角平分线交BC于点O，以O为圆心，OB为半径作与AC相切于点D； 过点A作于点H，连接OD，求出BC的长，构建方程求解． 本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 25.【答案】，反比例函数的表达式为：；   或；   当时，点D的坐标为或  【解析】当时，， ， ， 当时，， 即点， 则， 则反比例函数的表达式为：； ， 解得或， ， 由图象可知，当时，x的取值范围是或 故答案为：或； 设， 如图，当点D在第二象限时，过A作轴于N，过D作于M， 则， ， ， ； ； 如图，当点D在第四象限时， 过A作轴于M，过D作轴于N， ， ， ，， ≌， ， ， ， 综上所述，当时，点D的坐标为或 解方程得到，求得点，得到，于是得到反比例函数的表达式为：； 解方程组得到，由图象即可得到结论； 设，如图，当点D在第二象限时，过A作轴于N，过D作于M，根据平行线分线段成比例定理得到，解方程得到；如图，当点D在第四象限时，过A作轴于M，过D作轴于N，由， 得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键． 26.【答案】；   ①y的取值范围是：； ②t的取值范围是：或；   t的值是1或或  【解析】二次函数与x轴交于，两点， ， 顶点坐标为， 故答案为：； ①， ， ，， ， ， ， ， ，，， 当时，， 当时，即时，y的取值范围是：； ②，顶点的坐标为， 点A的对称点是， 当时，， ， 解得：， 的取值范围是：或； 故答案为：或； 把点A坐标为代入中得：， ， 抛物线的解析式为：， ①如图2，当点E是抛物线的顶点时，， ， 四边形EPFQ是矩形， 矩形EPFQ的面积，的面积， 此时，满足条件， ； ②如图3，点E关于坐标原点O的对称点为F， 当PF与y轴交于点A时，直线AE将矩形EPFQ分成面积比为1：3的两部分， 点F的纵坐标为， 点E的纵坐标为3， 当时，， 解得：舍，； ③如图4，点C在边FQ上，则点F的横坐标为3， ， 矩形的面积，的面积，满足条件； 此时； 综上，t的值是1或或 根据交点式可得：，配方后可得抛物线顶点的坐标； ①先得点A的坐标，代入可得抛物线的解析式，根据图象即可得时，y的取值范围是：； ②根据抛物线E、A之间的最大值与最小值的差为1，确定和时对应的x的值，即可解答； 先根据点A坐标为可得：，则抛物线的解析式为：，①如图2，当点E是抛物线的顶点时，，可得；②如图3，当PF与y轴交于点A时，③如图4，点C在FQ上，直线AE将矩形EPFQ分成面积比为1：3的两部分，根据即可解答． 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，关于原点对称等知识，掌握数形结合的思想，并灵活运用所学知识是解题的关键． 27.【答案】  【解析】【初步感知】证明：，，， ， ∽， ； 【探索发现】解：， ， 射线CA绕点C逆时针旋转，交射线FG于点G， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ； 【尝试应用】解：如图1， 作于D， 设，，则， ， ，， ，， ，， ∽， ， ， ， ， ； 【拓展提升】解：如图2， 作，交CD于V，交BC于W， ∽，∽， ， 四边形ABCD是菱形， ，，， ∽，是等边三角形， ，， ，，， ，， ， ， ， ∽， ， 设，， ， ， ， ， 故答案为： 【初步感知】可证得，进而证得∽，从而得出结论； 【探索发现】可证得∽，从而，进一步得出结果； 【尝试应用】作于D，设，，则，可求得，，可证得∽，从而，从而表示出AB，进而表示出BD，进一步得出结果； 【拓展提升】作，交CD于V，交BC于W，可证得∽，∽，从而得出，可证得∽，是等边三角形，从而，，从而得出，，，进而证得∽，从而，进一步得出结果． 本题考查了相似三角形的判定恶核性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$