北京市海淀区清华附中2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.将直线向上平移2个单位长度所得的直线的解析式是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在平行四边形ABCD中，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点若，，则AO的长为(    ) A. B. 2 C. D. 1 4.在植树节当天，某班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表，则这10个小组植树株数的平均数是(    ) 植树株数株 5 6 7 小组个数 3 4 3 A. 6 B. C. 7 D. 5.如图，DE是的中位线，的角平分线交DE于点F，，，则EF的长为(    ) A. B. 1 C. D. 2 6.在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高单位：分别是：187，188，192，193，因身高为194cm的队员受伤，教练让身高为190cm的队员替补上场.与换人前相比，换人后场上队员的身高(    ) A. 平均数变小，方差变大 B. 平均数变小，方差变小 C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大 7.如图，直线与相交于点A，若点A的横坐标为2，则下列结论中错误的是(    ) A. B. C. 当时， D. 8.如图，在等腰中，，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y关于x的函数图象如图所示，则AB的值为(    ) A. B. 5 C. D. 3 9.平面直角坐标系中，过点的直线l经过第二、四象限，若点，，都在直线l上，则下列判断正确的是(    ) A. B. C. D. 10.某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示.序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择(    ) A. 甲、丁 B. 乙、戊 C. 丙、丁 D. 丙、戊 二、填空题：本题共10小题，共31分。 11.函数，自变量x的取值范围是          . 12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若，，则菱形ABCD的面积为______ 13.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目40次的训练测试，每次测试成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分五档．甲乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示． 根据上图判断，甲同学测试成绩的众数是______；乙同学测试成绩的中位数是______；甲乙两位同学中单板滑雪成绩更稳定的是______. 14.某通讯公司的4G上网套餐每月上网费用单位：元与上网流量单位：兆的函数关系的图象如图所示．若该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为元，则图中a的值为______. 15.如图，在直角三角形ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且，连接DE，若，，则DE的长为______. 16.如图，在矩形ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN与BC，AD分别交于点E，F，连接已知，，则BE的长为______. 17.已知一次函数的图象过点和点，若，则x的取值范围是______. 18.已知函数 该函数图象与x轴的交点坐标为______； 若方程有两个正实数解，则m的取值范围是______. 19.如图，正方形ABCD的面积是8，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，的最小值等于______. 20.BD为平行四边形ABCD的对角线，，于点E，于点F，DE，BF交于点H，连接AH和CH，直线BF交线段CD的延长线于点下列结论： ①； ②； ③； ④ 其中正确的结论是______写出所有正确的序号 三、解答题：本题共9小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题5分 已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 写出点A、B的坐标，并在平面直角坐标系xOy中画出函数图象； 若，则x的取值范围是______. 22.本小题6分 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且，点F为线段DE上一点，且求证： 23.本小题6分 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点与 求这个一次函数的解析式； 若点C是x轴上一点，且的面积是5，求点C的坐标． 24.本小题6分 在平面直角坐标系xOy中，函数的图象过点，与过点且平行于x轴的直线交于点 求k的值及点B的坐标； 当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出m的取值范围. 25.本小题6分 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为OA的中点.连接DE并延长至点F，使得连接AF， 求证：四边形AFBO为平行四边形； 若，求证：四边形AFBO为矩形. 26.本小题7分 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评.随机抽取25名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息. 甲款红茶分数百分制的频数分布表如下： 分数 频数 2 1 4 4 甲款红茶分数在这一组的是：86、86、86、86、86、87、87、88、88、 甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如下表所示： 品种 平均数 众数 中位数 甲 m n 乙 90 86 根据以上信息，回答下列问题： 补全甲款红茶分数的频数分布直方图； 表格中m的值为______， n的值为______； 若消费者对红茶的评分高于88分，则称该红茶为这个消费者心目中的“优质红茶”.请你根据以上数据估计1000名消费者中有多少人认为甲红茶为“优质红茶”？ 专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分，若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照6：4的比例确定最终成绩，可以认定______款红茶最终成绩更高填“甲”或“乙” 27.本小题8分 在平面直角坐标系xOy中，已知函数，其中m为常数，该函数的图象记为 当时， ①请你在平面直角坐标系中画出函数的图象； ②若点和点在图象G上，则a的值为______，b的值为______； 当时，函数的最大值记为p，最小值记为q，当时，求的取值范围. 28.本小题8分 如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一个动点，点B关于直线AE的对称点为点P，BP与AE交于点M，延长DP、AE交于点 ①依据题意补全图形；②求的度数； 连接BF，用等式表示线段AF，BF，PD的数量关系，并证明； 若，，直接写出ME的长. 29.本小题7分 在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：其中，，若直线l与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边作四边形ABCD，若四边形ABCD是菱形，则称边CD所在直线为直线l的“菱对直线”；特别地，当四边形ABCD为正方形时，称直线CD是直线l的“正对直线”. 若直线：是直线：的“正对直线”，则______，______； 若直线m：是直线n：的“正对直线”，则______； 若直线：是直线：的“菱对直线”，直接写出t的取值范围. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：直线向上平移2个单位后得到的直线解析式为 故选： 直接根据一次函数图象与几何变换的有关结论求解． 本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数、b为常数，的图象为直线，当直线平移时k不变，当向上平移m个单位，则平移后直线的解析式为 2.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， 故选： 根据平行四边形的性质进行解答即可． 此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握： 平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． 3.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是矩形，， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选： 因为四边形ABCD是矩形，，则是等边三角形，推出 本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 4.【答案】A  【解析】解：这10个小组植树株数的平均数是株 故选： 根据加权平均数的定义列式计算可得． 本题考查的是加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义． 5.【答案】C  【解析】解：是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选： 由三角形中位线定理推出，，，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，判定，求出，得到，于是 本题考查三角形中位线定理，角平分线定义，关键是由三角形中位线定理推出，，由等角对等边判定 6.【答案】B  【解析】解：用一名身高190cm的队员换下场上身高194cm的队员，与换人前相比，场上队员身高的和变小，而人数没变， 所以他们的平均数变小， 由于数据的波动性变小，所以数据的方差变小． 故选： 根据平均数和方差的定义和意义即可得出答案． 本题主要考查平均数和方差，熟练掌握方差、平均数的计算公式是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：在第一、三、四象限， ， 故A正确； 由图象可知直线与y轴的交点在直线与y轴交点的上方， ， 故B正确； 由函数图象可知当时，直线的图象在的上方， ， 故C不正确； 点为两直线的交点，且A点的横坐标为2， ， 故D正确； 故选 由函数图象可判断A；由直线与y轴的交点位置可判断B；由函数图象可知当时，对应的函数值的大小关系可判断C；把A点横坐标代入两函数解析式可判断D；可得出答案． 本题主要考函数的交点问题及一次函数图像知识点，能够从函数图象中得出相应的信息是解题的关键．注意数形结合． 8.【答案】A  【解析】解：过A作于点D，由函数图象可知：，， ， ， ， ， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， ， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：， 故选： 过A作于点D，由图象可知：，，通过面积求出，最后再通过勾股定理即可求解． 本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：过点的直线l经过第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 一次函数，，，y随x的增大而减小， A、， ，故选项判断错误，不符合题意； B、，选项判断错误，不符合题意； C、，选项判断错误，不符合题意； D、，选项判断正确，符合题意． 故选： 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：要推出由7个盲盒组成的套装产品， 中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒， 序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， 选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100， 选定的可以是：甲，戊；或乙，丁；或丙，丁， 选项中只有：丙，丁， 故选： 根据中位数的定义解答即可． 本题考查中位数，理解题意，掌握确定中位数的方法是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：， 故答案为： 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12.【答案】24  【解析】解：，， 菱形ABCD的面积 故答案为： 由菱形的面积公式，即可计算． 本题考查菱形的性质，关键是掌握菱形的面积公式：菱形面积、b是两条对角线的长度 13.【答案】3；3；乙同学  【解析】解：根据上图判断，甲同学测试成绩的众数是3；乙同学测试成绩的中位数是3；甲乙两位同学中单板滑雪成绩更稳定的是乙同学， 故答案为：3，3，乙同学． 根据方差、众数、中位数的定义即可得到结论． 本题考查了方差、众数、中位数的概念，认真观察图形是解题的关键． 14.【答案】59  【解析】解：该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为元， 根据图象可知：元． 故答案为： 由该公司用户月上网流量超过500兆以后，每兆流量的费用为元，可知 本题考查了一次函数的应用，根据图象正确理解横纵坐标的对应关系是解决问题的关键． 15.【答案】  【解析】解：在中，CD为斜边AB上的中线，， ， ， ， 在中，， 故选： 先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 16.【答案】5  【解析】解：由尺规作图可知，直线MN为线段BD的垂直平分线， ， 四边形ABCD为平行四边形， ，， 在直角三角形CDE中，由勾股定理得：， ， 解得， 故答案为： 根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理即可得到结论． 本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 17.【答案】  【解析】解：当时，函数在x轴上方，而直线在x轴下方， 所以当时， 故答案为 找出和分别在x轴上方和在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数和的值大于或小于的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线和在x轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 18.【答案】；    【解析】解：令，则， 函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为： 的解可以看作两个函数和的交点的横坐标， 画出两个函数的大致图象如下： 由图象可知，若方程有两个正实数解，则m的取值范围是 故答案为： 令求出x值，即可得到函数与x轴的交点坐标； 方程可以看作两个函数和的交点的横坐标，画出函数图象，数形结合解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 19.【答案】  【解析】解：在正方形ABCD中，有正方形关于AC对称，，， 设F的对称点为Q，过Q作于E，交AC于P， 则四边形BCQE为矩形，， ， 故答案为： 先根据正方形的性质找到F的对称点，再根据垂线段最短找出最短路径，最后根据正方形的面积公式求解． 本题考查了轴对称-最短路径问题，掌握正方形的面积公式和矩形的判定定理是解题的关键． 20.【答案】①②④．  【解析】解：①，， ，， ， 故结论①正确； ②，， 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ≌， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， 故结论②正确； ③假设， ， ， ， ， 点H是线段DE的中点， 根据已知条件无法判定点H是线段DE的中点， 故结论③不正确； ④，， ， 在中，， ，， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． ①根据，得，，进而得，由此可对结论①进行判断； ②证明是等腰直角三角形得，进而可判定和全等，则，，再根据即可对结论②进行判断； ③假设，根据，得，则点H是线段DE的中点，根据已知条件无法判定点H是线段DE的中点，由此可对结论③进行判断； ④证明得是等腰直角三角形，则，再证明是等腰直角三角形，则，根据是等腰直角三角形得，进而得，在中，由勾股定理得，则，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解平行四边形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． 21.【答案】，；作图见解析；    【解析】令，则， 解得： 令，则 由题意，经过和画直线AB，如图， 则直线AB为一次函数的图象． 由题意，结合当时， ， 函数中y随x的增大而减小． 时，x的取值范围为： 故答案为： 分别令x，y等于0，求出对应的y，x的值即可求出A、B，然后过A，B两点画直线AB，即为函数的图象； 依据题意，由当时，，再由，故函数中y随x的增大而减小，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，直线与坐标轴的交点，分别令x，y等于0，求出对应的y，x的值是解题的关键． 22.【答案】证明见解析．  【解析】证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ，， ≌， ， 由平行四边形得出，，证明≌，得出，则可得出结论． 本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 23.【答案】解：设一次函数的解析式为， 将点与点代入中， 得， 解得：， 一次函数解析式为 由题意知， 的面积， ， ， 点， 点的坐标为或  【解析】设一次函数解析式为，再将A、B两点坐标代入即可求出一次函数解析式． 根据的面积求出AC的长，即可求得C的坐标． 本题主要考查待定系数法求解一次函数解析式以及三角形面积，解题的关键在于求得AC的长度． 24.【答案】；；    【解析】由题意，的图象过点， 一次函数为 又在过且平行于x轴的直线上， 的纵坐标为 令，则 由题意，当时，， 当时， 在同一坐标系中作出函数与的图象如下． 当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值， 依据题意，由的图象过点，从而，则，可得一次函数为，又B在过且平行于x轴的直线上，则B的纵坐标为5，又令，则，进而可得B的坐标，即可得解； 依据题意，由当时，，从而当时，，则，然后在同一坐标系中作出函数与的图象，最后根据当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 25.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， ， ， 是的中位线， ，， 为OA的中点， ， ， 四边形AFBO为平行四边形； 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形ABCD是菱形， ， ， 由可知，四边形AFBO为平行四边形， 平行四边形AFBO为矩形．  【解析】由三角形中位线定理得，，再证，即可得出结论； 证，得，再证平行四边形ABCD是菱形，得，然后由矩形的判定即可得出结论． 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键． 26.【答案】见解析；   86，87；   360人；   甲．  【解析】甲款红茶分数在的频数为10， 分数在这一组的频数为， 补全甲款红茶分数频数分布直方图如下： 根据所给数据可得众数为86，中位数为从小到大排列的第13个数据为87， 故答案为：86，87； 人， 估计1000名消费者中有360人认为甲红茶为“优质红茶”； 甲款红茶最终成绩为：分， 乙款红茶最终成绩为：分， ， 可以认定甲款红茶最终成绩更高， 故答案为：甲． 求出甲款红茶分数在这一组的频数，即可补全频数分布直方图； 分别根据众数和中位数定义即可求出答案； 用1000乘以甲红茶为“优质红茶”的占比即可； 根据加权平均数公式分别求得两款红茶的得分，自即可得出结论． 本题考查频数率分布直方图，频数点评：率分布表，中位数，众数，同时还要掌握加权平均数的计算方法，能解题的关键是有较强的识图能力和计算能力． 27.【答案】①详见解析；②0，或3；     【解析】①函数的图象如图所示； ②根据图象可知，当时，， 当时，或3； 故答案为：0，或3； 当时，此时当时，其图象都在的图象上， ， 随x增大而增大， 当时，，当时，， ； 当时，此时， 当时，，当时， ， 综上， ①由题意画出函数图象即可；②由图象即可得解； 分类讨论，然后根据增减性找到区间最大值和最小值，即可得解． 本题主要考查了一次函数的图象和性质、一次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 28.【答案】①见解析；②；   结论：见解析；    【解析】①图形如图1所示： ②连接AP，过点A作于点 四边形ABCD都是正方形， ，， ，P关于AE对称， 垂直平分线段BP， ， ， ，， ， ， ， ， ， 结论： 理由：如图1中，，PB关于AE对称， ， ， ， ， ，， ， ； 如图2中，由题意，当点E是BC的中点时，EM是的中位线， ， 正方形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， ≌， ， ， ， ， ， ①根据要求画出图形； ②连接AP，过点A作于点证明可得结论； 结论：利用等腰直角三角形，等腰三角形的性质证明即可； 如图2中，由题意，当点E是BC的中点时，EM是的中位线，求出PC可得结论． 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 29.【答案】2，14或；   ；   或且  【解析】， ， 设与x轴交点为A，与y轴交点为B， ，， 过A作垂线，垂足为D，作轴于P，如图： 是的“正对直线”， ，， ， ， ， ≌， ，， 或， 或， 或； 故答案为：2，14或； 设直线n与x轴交点为E，与y轴交点为F， ，， 过E作于G，过G作轴于Q，如图： 由可知，≌， ，， ， ， 解得：； 故答案为：； 当是的“正对直线”时， 设直线与x轴交点为M，与y轴交点为N，过M作于R，过R作轴于S，如图： ，，≌， ，， 或， 或， 解得：或， 是的“菱对直线”， ， 或且 根据正方形的性质可知两直线平行，从而求得c，设l2与两轴交点为A，B，求出A，B坐标，过A作l1垂线，根据全等三角形求出此点坐标，代入l1中求解d即可； 用a表示出n与坐标轴交点坐标，过x轴交点作m的垂线，根据三角形全等求出正方形另一个顶点坐标，代入m，求出a； 因为和平行，所以当两直线距离不大于与两轴交点的距离时，一定是的“菱对直线”，所以当两直线是“正对直线”时，即为t的极值，据此求出t的取值范围． 本题主要考查了一次函数综合题，利用全等三角形以及正方形的性质确定对应直线上点的坐标是本题解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$