辽宁省沈阳市康平县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年辽宁省沈阳市康平县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.《国语楚语》记载：“夫美者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”.这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐.我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美.下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值(    ) A. 不变 B. 缩小 C. 扩大2倍 D. 扩大4倍 3.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 4.若关于x的方程有增根，则a的值是(    ) A. 3 B. C. 4 D. 6 5.如图，▱ABCD的周长为60cm，AC，BD相交于点O，交AD于点E，则的周长为(    ) A. 30 cm B. 60cm C. 40cm D. 20 cm 6.如图，在四边形ABCD中，，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件是(    ) A. B. C. D. 7.如图，在一张长方形的纸板上找一点P，使它到AB，AD的距离相等，且到点B，C的距离也相等，则下列作法正确的是(    ) A. B. C. D. 8.木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是(    ) A. 垂线段最短 B. 等腰三角形的“三线合一” C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 9.如图1，在中，，D是斜边AB的中点，动点E从点A出发，沿运动，设，点E运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则CD的长为(    ) A. 1 B. C. 2 D. 4 10.如图，中，的平分线与AC边的垂直平分线交于点D，过D作于点E，连接CD，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______. 12.分解因式：______. 13.将两个完全相同的正五边形按如图方式摆放，点A、B、F在一条直线上，则______度. 14.如图，在中，CD平分，于点E，且，，，则的面积是______ 15.如图，四边形ABCD中，，，，点M，N分别为线段BC，AB上的动点含端点，但点M不与点B重合，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为______. 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题9分 解不等式组：； 解分式方程： 17.本小题7分 先化简，再求值：，其中 18.本小题8分 如图，已知点、、 将绕点O逆时针旋转得，画出； 画出关于原点O成中心对称的图形； 在平面直角坐标系内找点D，使得A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______. 19.本小题8分 如图，在中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得，连接DE，AD，EF， 求证： 若，，，求DF的长. 20.本小题9分 如图，，，CF垂直平分AE，交AE于点 若，求的度数； 若，，求的周长. 21.本小题10分 为推进节能环保工作的开展，某市相关管理部门要为市区的一个主干道更换一批智能LED太阳能充电路灯.经调研，市场上有甲型、乙型两种符合要求的路灯组件在售，已知甲型路灯组件比乙型路灯组件的单价少万元，用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等. 求甲型、乙型路灯组件的单价各是多少？ 该市决定购买甲型、乙型路灯组件共300个，且花费不超过200万元，则至少购买甲型路灯组件多少个？ 22.本小题12分 阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题.例如： ①分解因式：： ②求多项式的最小值： ，， 当时，有最小值，最小值是 解决问题：若多项式是完全平方式，则常数k的值为______； 分解因式：； 当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值. 拓展应用： 若实数a，b满足，则多项式的最小值为______. 23.本小题12分 综合与实践 【问题情境】 如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，，，，点E为AB的中点，连接EO并延长，交CD于点 判断线段OE与OF的数量关系，并说明理由； 在图1的基础上，若点G是BC的中点，连接GO并延长，交AD于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形EGFH的形状是______.并说明理由； 【图形变式】 在图2中，隐去线段EF与GH，将四边形EGFH绕点O顺时针方向旋转，如图3，当点G，H首次分别落在边AD，BC上时，请直接线段AG的长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断如下： A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项符合题意； C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此分析判断即可． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：把分式中的x和y都扩大2倍， 即， 故分式的值不变． 故选： 把分式中的分子，分母中的x，y都同时变成原来的2倍，就是用2x，2y分别代替式子中的x，y，看得到的式子与原式子的关系即可． 本题考查了对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小n倍，只要将原数乘以或除以n，再代入原式求解是关键． 3.【答案】D  【解析】解：因为A选项没有将多项式化成整式乘积的形式，不正确，不符合题意； 因为B选项属于整式乘法，不正确，不符合题意； 因为C选项等式两边不成立，不正确，不符合题意； 因为D选项符合定义，正确，符合题意． 故选： 根据因式分解的定义逐项判断即可，即把一个多项式化成几个整式乘积的形式． 本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义． 4.【答案】D  【解析】解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得： 故选： 增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值． 此题考查了分式方程的增根，在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 5.【答案】A  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，，， 又， 是线段BD的中垂线， ， ， ▱ABCD的周长为60cm， ， 的周长， 故选： 根据平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线相互平分，可说明EO是线段BD的中垂线，中垂线上任意一点到线段两端点的距离相等，则，再利用平行四边形ABCD的周长为60cm可得，进而可得的周长． 此题主要考查了平行四边形的性质，中垂线的判定及性质，关键是掌握平行四边形平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分． 6.【答案】D  【解析】解：根据，无法判断四边形ABCD是平行四边形， 故A错误； B.根据，无法判断四边形ABCD是平行四边形， 故B错误； C.根据，无法判断四边形ABCD是平行四边形， 故C错误； D.， ， ， 四边形ABCD是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 故D正确． 故选： 根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 7.【答案】C  【解析】解：由题意满足条件的点是的角平分线与线段BC的垂直平分线的交点． 故选： 满足条件的点是的角平分线与线段BC的垂直平分线的交点． 本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】B  【解析】解：木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置， 当重锤经过等腰三角形的底边的中点时，就能检查出这根横梁水平，否则就不水平， 所以解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一， 故选： 根据等腰三角形的性质确定答案即可． 考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形的三线合一的性质是解答本题的关键，难度不大． 9.【答案】B  【解析】解：由图2得：三个关键点的坐标分别是，，这三个点的坐标分别对应动点E在点A处，在点C处，在点B处时的x和y的值． ①点E在点C处，对应图2的坐标为 ②点E在点B处，对应图2的坐标为 ， 点D是AB的中点， 故选： 根据图2中3个关键点的坐标，得到动点E在图1中相应的位置，进而根据点E在点C处的横坐标和在点B处的横坐标得到AC和BC的长，根据勾股定理得到AB的长，那么CD的长等于AB长的一半． 本题考查动点问题的函数图象．根据图2中关键点的坐标得到动点E在图1中相应的位置是解决本题的关键．用到的知识点为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 10.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查求角度，涉及中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，数形结合表示角度是解决问题的关键． 过点D作，连接AD，如图所示，由中垂线的性质得到，结合等腰三角形的判定与性质得到，再结合角平分线的性质及三角形全等的判定与性质得到 【解答】 解：过点D作，连接AD，如图所示： 点D在线段AC的垂直平分线上， ， ， 点D在的角平分线上， ， ， ≌， 11.【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， ， 先提取公因式x，再对余下的多项式运用平方差公式继续分解． 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式要彻底． 13.【答案】36  【解析】解：在正五边形ABCDE中，， ， 故答案为： 据正五边形性质得出外角度数和内角度数，进而可得答案． 本题考查了正多边形的内角与外角，解题的关键是结合正多边形的性质以及外角和为求出外角的度数． 14.【答案】18  【解析】解：过D点作于F，如图， 平分，，， ， 故答案为 过D点作于F，如图，根据角平分线的性质得，然后根据三角形面积公式计算． 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 15.【答案】3  【解析】解：连接 ，， ， 最大时，EF最大． 与B重合时DN最大，此时， 的最大值为 故答案为： 仔细审题，连接DN，首先根据三角形的中位线定理得出；从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得的值，从而求得EF的最大值． 本题考查三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型． 16.【答案】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 原不等式组的解集是 ， 两边同乘以得，， 解方程得，， 检验：当时，， 是分式方程的解．  【解析】求出每个不等式的解集取公共部分即可； 去分母化为整式方程并解方程，代入最简公分母检验即可． 此题考查了求不等式组的解集和解分式方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 17.【答案】解：原式 ， 当时，原式  【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 18.【答案】见解答；；   ；   或或  【解析】解：如图，即为所求，点的坐标为 故答案为： 即为所求，点的坐标为 故答案为： 如图，满足条件的点D的坐标为或或 故答案为：或或 分别作出A，B，C的对应点，，即可解决问题． 分别作出A，B，C的对应点，，即可解决问题． 根据平行四边形的定义，画出图形写出坐标即可． 本题考查旋转变换，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19.【答案】证明：点D，E分别是BC，AC的中点， 是的中位线， ，， ， ，又， 四边形ADEF为平行四边形， ； 解：，， ， ， 点E是AC的中点，，，， ，， 由可知：四边形ADEF为平行四边形， ，， 在中，， 则  【解析】根据三角形中位线定理得到，，证明四边形ADEF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； 根据勾股定理的逆定理得到，根据勾股定理求出FH，进而求出 本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理是逆定理，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 20.【答案】解：，， ， ， ， 垂直平分线段AE， ， ， ， ； ，，， ， ， ， 的周长  【解析】求出，再证明，推出，利用三角形外角的性质求解即可； 证明可得结论． 本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21.【答案】解：设甲型路灯组件的单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 万元 答：甲型路灯组件的单价是万元，乙型路灯组件的单价是万元； 设购买y个甲型路灯组件，则购买个乙型路灯组件， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：至少购买甲型路灯组件200个．  【解析】设甲型路灯组件的单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是万元，利用数量=总价单价，结合用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值即甲型路灯组件的单价，再将其代入中，即可求出乙型路灯组件的单价； 设购买y个甲型路灯组件，则购买个乙型路灯组件，利用总价=单价数量，结合总价不超过200万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22.【答案】； ； ， 当时，有最大值，最大值为8；   【解析】解：， 则， 故答案为：； ； ， 当时，有最大值，最大值为8； ， ， ， 当时，有最小值，最小值为3； 故答案为： 两式利用完全平方公式判断即可得到结果； 原式变形后，利用完全平方公式配方得到结果，分解即可； 原式变形后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得出有最大值，并求出最大值即可； 原式变形后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得出有最小值，并求出最小值即可． 此题考查了因式分解的应用，偶次方的非负性，以及完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 23.【答案】，证明见解析；   平行四边形；     【解析】， 证明：在▱ABCD中，，， ，， ≌， ； 四边形EGFH的形状是平行四边形， 理由：在▱ABCD中，，， ，， ≌， ， 由知， 四边形EGFH的形状是平行四边形， 故答案为：平行四边形； 如图，连接OG，过点O作于点则， 在中，，，， ， ， ， 在▱ABCD中，，， ， 在中，，， ， ， 在图2中，点O，G分别是AC，BC的中点， 是的中位线． ， 如图，在中，， ， 根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； 根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，由知，根据平行四边形的判定定理得到四边形EGFH的形状是平行四边形； 如图，连接OG，过点O作于点则，根据勾股定理得到AC，根据平行四边形的性质得到，在中，，，求得，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，如图，在中，，于是得到 本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确地添加辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$