2025年吉林省长春市第一〇八学校九年级6月中考模拟数学试题

2025年吉林省长春108中中考数学模拟试卷（6月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的相反数为(    ) A. B. C. 2 D. 4 2.斗拱是中国古典建筑上的重要部件.如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为(    ) A. B. C. D. 3.下列函数中，自变量x的取值范围为的是(    ) A. B. C. D. 4.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.中国的航天技术已跨入世界先进行列.下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，有一池塘.要测量池塘两端A、B的距离无法直接测出，两位同学提供了不同的测量方案： 方案Ⅰ：如图①，在平地上取一个可以直接到达A和B的点O，连结AO，并延长到点C，使；连结BO，并延长到点D，使；连结DC，测量DC的长度即可. 方案Ⅱ：如图②，在平地上选定一点E，使；再选一点点A、F在BE的两侧，使；用视线确定BE和AF的交点测出BG、GE、EF的长度，可求得池塘两端A、B的距离. 柳对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是(    ) A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都不可行 D. Ⅰ、Ⅱ都可行 7.如图所示，有一架静止的秋千OA，将秋千向前推1米米到达OB的位置时，秋千与竖直方向的夹角，若绳索始终拉直，则秋千OA的长度是米. A. B. C. D. 8.已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则下列选项正确的是(    ) A. B. C. D. 或 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 9.分解因式：______. 10.一个两位数的个位数字为m，十位数字为n，则这两位数表示为______. 11.若抛物线与x轴无交点，则k的取值范围是______. 12.我国明代数学家程大位编著的《算法统宗》中有“以碗知僧”趣题：“巍巍古寺在山中，不知寺内几多僧.三 百六十四只碗，恰合用尽不差争，三人共食一碗饭，四人共进一碗羹.请问先生能算者，都来寺内几多僧？”其大意：某古寺用餐，3名僧人合吃一碗饭，4名僧人合分一碗汤，一共用了364只碗，问有多少名僧人？设寺内有x名僧人，则可列方程______. 13.如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的周长为______结果保留 14.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点C作，交AB的延长线于点E，连接EO并延长，交AD于点F，EF与BC相交于点G，若，则下列结论：①；②：：6；③；④；⑤CE：：其中结论正确的是______. 三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题6分 先化简，再求值：，其中 16.本小题6分 美育是指通过培养人们认识美、体验美、感受美、欣赏美和创造美的能力，从而使我们具有美的理想、情操、品格和素养.某校为践行美育教育，组织全校师生开展中国名画鉴赏活动，共有如图所示的A、B、C、D共4幅名画供师生选择.小长和小春参加了本次活动，两人分别从这4幅名画中随机选择一幅进行鉴赏两人选择哪一幅名画相互不受影响 请用列表法或画树状图的方法求小长和小春选择同一幅名画的概率. 17.本小题6分 某服装厂要在开学前赶制3000套校服，为尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多了，结果提前4天完成任务。问原计划每天能完成多少套校服？ 18.本小题7分 已知：如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且求证：四边形BFDE是平行四边形． 19.本小题7分 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹. 在图①中的线段AC上找一点M，连结BM，使； 在图②中的线段AB、BC上分别找一点P、点P、Q不在格点上，连结QA、PC，使； 在图③中，点D在边AB上，且，在线段CD上找一点N，连结AN，使 20.本小题7分 本学期希望中学和育才中学各随机抽查了本校24名学生，对他们的读书情况进行了统计，并分别绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图.设希望中学抽查的学生中读书册数是5册的人数为 求m的值，并直接写出希望中学学生读书册数的中位数； 分别求育才中学读4册、5册、6册、7册的人数，并写出该中学学生读书册数的众数； 两校随后又各补查了本校另外的n名学生，统计得知都读了6册，将其与本校之前的数据合并后，发现希望中学这些册数的中位数变成了另外的数，而育才中学这些册数的众数没改变，直接写出n的值. 21.本小题8分 无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”.现有一条笔直的路上依次有A、B、C三个快递网点，甲车由A网点地驶往B网点，乙车由C网点地驶往A网点，两车同时出发，匀速行驶.如图是甲、乙两车分别距离B网点的路程、单位：千米与乙车行驶时间单位：小时之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题： 甲车的速度是______千米/时； 求图象中线段DF的函数解析式，并写出自变量x的取值范围. 当两车距B网点的路程之和是360千米时，此时乙车的行驶时间为______. 22.本小题9分 问题发现： 如图1，点P是半径为2的上一点，直线m是圆外一条直线，于点Q，圆心O到直线m的距离为3，则线段PQ的最小值为______； 问题探究： 如图2，在中，，，，点D是BC边上一动点，点E是AB边上一动点，且满足，点F是DE的中点，当点D、E在运动中，用圆规和无刻度的直尺在图4中作出点F的轨迹圆，并作出，使面积最小，求此时面积的最小值； 问题解决： 如图3，有一边长为20米的菱形参观展览区ABCD，点E为AB的中点，点F是BC上一点，，根据实际情况，需要在EF右侧建造一个与对称的茶歇区，点B的对应点为M，连接BM交EF于P，连接DP，展方为了增加展区的总体收益，欲在茶歇区斜对面位置内出售高品质茶具，决定在DP上选取一点G，使，划定为茶具售卖区，已知茶具售卖区每平方米300元，则该售卖区最少需要______元 23.本小题10分 已知是等边三角形. 如图1，若，点D在线段BC上，且，连接AD，求AD的长； 如图2，点E是BC延长线上一点，，EF交的外角平分线于点F，求证：； 如图3，若，动点M从点B出发，沿射线BC方向移动至点C，以AM为边在右侧作等边，取AC中点H，连接NH，请直接写出NH的最小值； 如图3，连结CN，直接写出面积的最大值. 24.本小题12分 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线：与直线l：交于A、B两点在A左侧，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A和点B重合，连结AP、 点A的坐标为______；点B的坐标为______； 当是直角三角形时，求m的值； 以AB，AP为边构造平行四边形 ①当抛物线的图象在平行四边形ABQP内部不包括边界的部分对应的函数值y随x增大而减小时，直接写出m的取值范围； ②设点C是抛物线：的顶点，平行四边形ABQP的边与直线BC的交点为点B、C、Q、P除外，当线段BM将平行四边形ABQP的面积分成1：7时，求m的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：， 所以的反数是 故选： 根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答即可． 本题主要考查了相反数，熟练掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线， 故选： 3.【答案】D  【解析】根据函数自变量的取值逐项判断得到的取值的选项即可． 考查函数自变量取值范围的应用；解题的关键是了解知识点：分式有意义，分母不为0；被开方数是非负数． 解：自变量的取值为，不符合题意； B.自变量的取值为，不符合题意； C.自变量的取值为，不符合题意； D.自变量的取值为，符合题意． 故选 4.【答案】C  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选： 分别根据合并同类项法则，单项式乘单项式，积的乘方，单项式除以单项式法则计算即可得出答案． 本题考查整式的混合运算，掌握合并同类项法则，单项式乘单项式，积的乘方，单项式除以单项式法是解题关键． 5.【答案】A  【解析】解：既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； B.既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选： 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，关键掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 6.【答案】D  【解析】解：方案Ⅰ： 在和中， ， ≌， ； 方案Ⅱ： ，， ， ， ∽， ：：AB， 、GE、EF的长度可以测出， 可求出AB的长， 可求得池塘两端A、B的距离， 方案Ⅰ、Ⅱ都可以． 故选： 方案Ⅰ：判定≌，推出，方长案Ⅱ：判定∽，推出EG：：AB，即可求出AB的长，于是得到答案． 本题考查全等三角形的应用，相似三角形的应用，关键是判定≌，∽ 7.【答案】A  【解析】解：在中，，， 米， 由题意得：米， 秋千OA的长度是米， 故选： 在中，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，然后根据题意可得：米，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：点和点均在反比例函数的图象上， ，， ， ，即， 或， 故选： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得，，再根据，得，即，即可得出或 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征与性质． 9.【答案】  【解析】解： 找出多项式中的公因式，再进行因式分解即可． 本题考查了提公因式法分解因式，是基础题，准确找出公因式是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：一个两位数，个位数字是m，十位数字为n，则这个两位数可表示为 故答案为： m、n分别表示是十位和个位上的数字，根据十位上的数字是m表示10m，再加上个位数字n即可求解． 此题考查列代数式，理解题意，熟记计数方法是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】解：抛物线与x轴无交点， 则方程无实根， 即， 解得， 故答案为： 根据题意可得方程无实根，得出，解不等式即可求解． 本题考查了二次函数与x轴的交点问题，转化为一元二次方程无实根是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：根据题意得： 故答案为： 利用碗的总数=寺内的僧人人数寺内的僧人人数，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：五边形ABCDE是边长为6的正五边形， ，， ， 阴影部分的周长为， 故答案为： 因为五边形ABCDE是边长为6的正五边形，所以，，求得，则阴影部分的周长为，于是得到问题的答案． 此题重点考查正多边形和圆、多边形内角和定理、弧长公式等知识，正确地求出的度数是解题的关键． 14.【答案】①③⑤  【解析】解：①四边形ABCD是菱形，， ，，，，， 是等边三角形， ， ，， ， ；故①正确；， ，， ≌， ， ， ，， ，， ， 设， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ，， ；故此项②错误； ②，， ， ， ∽， ， ， 故此项③正确； ③由①得，故此项④错误； ④由①得，，， ，， ：，故此项⑤正确； 故答案为：①③⑤． ①由菱形的性质得出，根据，即可知； ②由菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，由直角三角形的特征及勾股定理得设，，由，，即可判断； ③由相似三角形的判定方法得∽，由相似三角形的性质得，即可判断； ④由②得即可判断； ⑤由勾股定理得由三角函数得，即可判断． 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，特殊角三角函数，相似三角的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，相似三角的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，特殊角三角函数进行求解是解题的关键． 15.【答案】，  【解析】解：原式 当时，原式 根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：列表如下： A B C D A B C D 共有16种等可能的结果，其中小长和小春选择同一幅名画的结果有4种， 小长和小春选择同一幅名画的概率为 列表可得出所有等可能的结果数以及小长和小春选择同一幅名画的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 17.【答案】解：设原计划每天生产x套校服，则实际每天生产套校服， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意． 答：原计划每天生产125套校服．  【解析】设原计划每天生产x套校服，则实际每天生产套校服，根据实际比计划提前4天完成任务，列方程求解． 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 18.【答案】证明：连接BD，交AC于O， 四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形BFDE是平行四边形．  【解析】先连接BD，交AC于O，由于四边形ABCD是平行四边形，易知，，而，根据等式性质易得，再根据两组对角线互相平分的四边形是平行四边形可证之． 本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，使其中出现对角线相交的情况． 19.【答案】解：如图①中，点M即为所求； 如图②中，点P，Q即为所求位置不唯一； 如图③中，点N即为所求．  【解析】取AC的中点M，连接BM即可； 取AC的中点O，连接OB，在AB上任意取一点P，连接CP，CP交OB于点J，连接AJ，延长AJ交BC于点Q，点P，点Q即为所求； 取AC的中点O，连接OB交CD于点N，连接AN即可． 本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20.【答案】8，中位数为5册；   人数见解析，众数为5册；     【解析】解：， 即希望中学学生读书册数的中位数为5册； 读4册的人数为； 读5册的人数为； 读6册的人数为； 读7册的人数为 从大到小排列，位于第12位和13位的均为5册， 育才中学学生读书册数的众数为册； 根据题意可知至少增加2人，中位数会发生变化，即 由得：原来育才中学学生读书册数的众数为5册，人数为9人，且读6册的人数为6人， 育才中学学生读书册数的众数没变， 补查后读6册的人数低于9人， ， ， 为正整数， 根据总人数求出5册的人数，即可得到中位数； 根据扇形统计图圆心角的度数进行计算即可； 根据希望中学这些册数的中位数发生变化，可得，再由育才中学这些册数的众数没变，可得，即可得到答案． 本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，以及中位数和众数，熟练掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键． 21.【答案】70 小时或8小时  【解析】甲车的速度是千米/小时 故答案为： 乙车的速度为千米/小时， 小时， ， ， 线段DF的函数解析式及自变量x的取值范围为 ， ， 当时，当两车距B网点的路程之和是360千米时，得， 解得， 当时，当两车距B网点的路程之和是360千米时，得， 解得舍去， 当时，当两车距B网点的路程之和是360千米时，得， 解得， 此时乙车的行驶时间为小时或8小时． 故答案为：小时或8小时． 根据速度=路程时间计算即可； 根据速度=路程时间求出乙车的速度，再由时间=路程速度求出点F的坐标，最后根据路程=速度时间求出DF的函数解析式即可； 写出各图象中各段的函数关系式，根据x的取值范围分别列关于x的方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 22.【答案】1；  2；    【解析】由题意知，当，且O、P、Q三点共线时，PQ最小，最小值为：， 故答案为：1； ，，， ， 如图2，记BC中点为G，连接OF， 由题意知，当D在BG上运动时，是直角三角形， ， 在以B为圆心，1为半径的圆上运动， 作于H，交于F，此时面积的最小； 当D在CG上运动时，DE在线段BC上， 由题意知，当D与C重合时，中点F到直线AC的距离最小，此时的面积为整个运动过程中的最小值， 如图，连接， ， 面积的最小值为 如图3，记BE的中点为O，连接CP， 由题意知，， ， 设P到CD的距离为h， ， ， 当h最小时，最小， 由折叠的性质可知，， 在以O为圆心，5为半径的圆上运动， 如图，作且与相切，切点为，交AD、BC于N、S，作于Q， 连接，交DC的延长线于R，则四边形AORQ是矩形，， 当P在时，h最小，为， ， ， ， 元， 该售卖区最少需要12300元， 故答案为： 由题意知，当，且O、P、Q三点共线时，PQ最小，然后求解即可； 如图2，记BC中点为G，连接OF，由题意知，当D在BG上运动时，是直角三角形，此时，F在以B为圆心，1为半径的圆上运动，作于H，交于F，此时面积的最小；当D在CG上运动时，DE在线段BC上，由题意知，当D与C重合时，中点F到直线AC的距离最小，此时的面积为整个运动过程中的最小值，如图，连接根据，计算求解即可； 如图3，记BE的中点为O，连接CP，设P到CD的距离为h，则，当h最小时，最小，由折叠的性质可知，，则P在以O为圆心，5为半径的圆上运动，如图，作且与相切，切点为P，交AD、BC于N、S，作于Q，连接OP，交DC的延长线于R，则四边形AORQ是矩形，，当P在P时，h最小，为PR，，，，根据，计算求解即可． 本题考查了垂线段最短，圆，切线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正弦，正切，矩形的判定与性质，菱形的性质等知识．熟练掌握垂线段最短，圆，切线的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，正弦，正切，矩形的判定与性质，菱形的性质是解题的关键． 23.【答案】；   见解析过程；  ；    【解析】解：过点D作于点E，如图1所示： 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得； 证明：在线段CF上截取一点G，使得，连接EG，如图2所示： 是等边三角形， ， ， 平分， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ≌， ， ； 解：连接CN，如图3所示： ，是等边三角形， ，，， ，， ， ≌， ，， ， 点N在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知当时，NH最短， 点H是AC的中点， ， ，， ， ， ； 解：如图，连接CN，过点N作于E， 由可知：≌， ，， 设，则， ，， ，， 面积， 面积的最大值为 过点D作于点E，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解； 在线段CF上截取一点G，使得，连接EG，由题意易得是等边三角形，则有，，然后可证≌，进而问题可求证； 由SAS可证≌，则有，然后可得点N在的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得NH的最小值； 由全等三角形的性质可得，，由直角三角形的性质可求NE的长，即可求解． 本题是三角形综合题，考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 24.【答案】，；   ；   ①或； ②  【解析】当时，， 解得或， ，， 故答案为：，； 是直角三角形时， ， 点横坐标为m， ， ， 解得或舍， ； ①如图，当，时，抛物线的图象在平行四边形ABQP内部不包括边界的部分对应的函数值y随x增大而减小； ②， 直线BC的解析式为， ，， 时，线段BM将平行四边形ABQP的面积分成1：7， ，， 点在P点左侧，则， ， 解得或 令，求点A、B的坐标即可； 由题可知，再由勾股定理建立方程求出m的值即可； ①数形结合解题即可； ②由题可知当时，线段BM将平行四边形ABQP的面积分成1：7，则，，又由M点在P点左侧，则，将点M代入直线BM的解析式即可求m的值． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，勾股定理，能够确定M点的坐标是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$