精品解析： 福建省厦门市湖里区五缘第二实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

2023-2024学年福建省厦门市湖里区五缘第二实验学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含完全平方数；②分母不含根号，且被开方数不含分母，逐项进行判断即可． 【详解】A．被开方数，其中是完全平方数，可化简为，故不是最简二次根式，故A不符合题意； B．被开方数含分母，根据，可化简为，原式根号内含有分母，不符合最简条件，故B不符合题意； C．被开方数无完全平方因数，且根号内不含分母，满足最简二次根式的定义，故C符合题意； D．分母含根号，需有理化，化简为，故原式不是最简形式，故D不符合题意． 故选：C． 2. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴B选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角线的性质，熟记平行四边形的性质是解题关键． 3. 如图，矩形中，对角线交于点O，若，，则长为（　　） A. B. 4 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定好性质，根据矩形的性质，推出是等边三角形，进而求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线交于点O，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，，则的长为（　　） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，与三角形的中位线有关的计算，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∴ 故选：D． 5. 如图所示的网格是正方形网格，，，为网格线交点，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质、三角形外角和内角的关系、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据图形可知，再根据等腰三角形的性质，可以得到的度数，从而可以求得的度数． 【详解】解：由图可得， ，，， ， ， 故选：A． 6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断A；根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断B；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以判断C；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以判断 【详解】四边形是平行四边形， 当，平行四边形是矩形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选： 7. 如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ） A. －2 B. －1 C. ＋1 D. 1－ 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长． 8. 若，则代数式的值是（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，以及二次根式的运算，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 将代数式配方后代入，简化计算，即可解题． 【详解】解：将代数式配方： ， 当时，，代入上式得： ， 故选：A． 9. 如图，在菱形中，、交于O点，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，，则（　　） A. α B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据正方形的性质证明 ，得到，，证得是等腰直角三角形，过作，交于，然后证明，得 ，再根据等腰三角形的性质得 ，利用三角形的外角定义即可解决问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 过作，交于， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算： （1）_______； （2）_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法和加法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据二次根式乘法运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2） ． 故答案为：． 12. 如图，在平行四边形中，，则的度数是_________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等，是解题的关键．根据平行四边形的对角相等，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 13. 如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是_________． 【答案】四边相等的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的判定，作一条线段等于已知线段，根据作图可得，结合菱形的判定可得结论. 【详解】解：由作图可知， ∴四边形是菱形（四边相等的四边形是菱形）． 故答案为：四边相等的四边形是菱形 14. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口及以内时（图②中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．②图所示，一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确识图，理清题目中各线段的长度，运用勾股定理解题是本题的关键． 根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】如图，由题意知：，， ， ， 在中 ， 该学生头顶C到门铃A的距离为， 故答案为：5 15. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF＝2，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP，若AB＝5，则OP的长为___． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再利用勾股定理可得的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得． 【详解】解：∵四边形为正方形，， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ∵点为的中点，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键． 16. 矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接，若，，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变化，全等三角形的判定与性质，矩形的性质和判定，勾股定理，过点作于点，由矩形性质可得，，，设，则，由翻折的性质得，，，通过勾股定理求出，再证明四边形是矩形，则有，通过勾股定理得，即，解得，所以，然后证明，最后通过四边形的面积即可求解，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， 设，则， 由翻折的性质得：，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 四边形的面积． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算计算即可； （2）根据二次根式混合运算计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 18. 如图，已知中，点E为边的中点，连接并延长交延长线于点F，连接． （1）证明：； （2）证明：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为边的中点， ∴，， 在和中， ， ∴（）； （2） 证明：∵，点F在的延长线上， ∴， 由（1）得， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． （1）先根据平行四边形的性质得到，，即可证明； （2）先证明，根据得到，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值．根据题意，先化简分式，再计算出的值代入即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 20. 已知正比例函数图象经过点，求： （1）这个函数解析式； （2）在图中用描点法画出这个函数图象； （3）判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 【答案】（1） （2） 如图所示， （3）在，不在 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求得； （2）通过描点，连线作图； （3）将已知点代入解析式，分析判断即可． 【小问1详解】 ∵正比例函数图象经过点， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 正比例函数经过原点和点，且是一条直线 【小问3详解】 将代入， ∴点在这个函数图象上； 将代入， ∴点不在这个函数图象上． 故答案为：在，不在． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数图像的作图，正比例函数图像的性质，掌握正比例函数的相关知识是解题的关键． 21. 如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理等知识， （1）先证四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可判定四边形是矩形； （2）由勾股定理可求的长，可得的长，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 22. 如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 【答案】（1）如图，点为所求 （2）1 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）以点为圆心，长为半径画弧，与相交，交点即为所求； （2）由矩形的性质和平行线的性质，可证三角形全等，根据全等的性质，可得线段的长度，从而可得线段的长． 【小问1详解】 证明：以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）作图知，， 在矩形中有，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，分别交于D，交于E．已知，，，求的值． 小明发现，过点E作，交延长线于点F，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，已知和矩形，与交于点G，，求的度数． 【答案】； 【解析】 【分析】根据作图及给出的条件可证四边形是平行四边形，从而证明到，，可转化为线段，并可以发现在直角中，利用勾股定理即可求出长度；解决问题中，可以根据矩形和平行四边形的性质对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，根据，把这三条线段可转化为的三边，进而证明是等边三角形，再利用等边三角形的性质，即可获解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； 解决问题：连接，，如图． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法． 24. 【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二 数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： （1）求道路的长； （2）道路__________米； （3）任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 【答案】（1）米 （2） （3）①如图，点，为所求： ② 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件得出，进而根据等角对等边，即可求解； （2）勾股定理的逆定理证明，勾股定理求得，证明，，进而根据等面积法，即可求解． （3）①由（2）可得垂直平分，根据两点之间线段最短可得的交点到的距离之和最小，又，则到4栋距离最小的点即为点； ②先证明，根据①的结论可得，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴． ∴， 故道路的长为25米； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴ 又∵ 在中， ∵ ∴，， ∵ ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 ①略 ②解：∵， ∴ ∴ ∵在上，即的垂直平分线上， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，两点之间线段最短，平行线的性质；综合运用以上知识是解题的关键． 25. 将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． （1）直接写出点D、E的坐标：D______，E______． （2），且EF交正方形外角的平分线CF于点F． ①如图①，求证； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积． （3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值． 【答案】（1）， （2）①取OA的中点K，连接KE，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵，K为OA的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵CF是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在△AKE和△ECF中， ， ∴， ∴； ② （3） 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件和相反数的性质可得出a=6，b=3，然后根据正方形的性质即可得出答案； （2）①取OA的中点K，连接KE，证明△AKE≌△ECF（ASA），由全等三角形的性质可得出AE=EF；②延长CD，并在延长线上截取DH=OE，连接AH，证明△AOE≌△ADH（SAS），由全等三角形的性质得出∠OAE=∠DAH，AE=AH，∠AEO=∠AHD，证明△AEG≌△AHG（SAS），得出EN=EG，同理可得GM=GE，设DG=x，则CG=6-x，由勾股定理得出，解得x=2，根据计算求解即可得出答案； （3）在外角平分线上取点E，使CF=AO，证明△APB≌△CQF（SAS），得出PB=QF，当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长，过点F作FR⊥x轴于点R，由勾股定理求出OF2，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：∵a，b满足式子， ∴a=6，b=3， ∴，； 【小问2详解】 解：①略 ②延长CD，并在延长线上截取，连接AH，如图所示， ∵四边形AOCD是正方形， ∴，， ∴， ∴，，， 由①可知， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又， 设，则， ∴， ∴， 在Rt△ECG中，， 解得， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在外角平分线上取点F，使，如图所示， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当B，Q，F三点共线时，值最小，即为OF的长， 过点F作轴于点R， 在Rt△ORF中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，点的坐标等知识；熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年福建省厦门市湖里区五缘第二实验学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形中，对角线交于点O，若，，则长为（　　） A. B. 4 C. 3 D. 5 4. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是边的中点，，则的长为（　　） A. B. 1 C. D. 2 5. 如图所示的网格是正方形网格，，，为网格线交点，则( ) A. B. C. D. 6. 如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ） A. 当，是矩形 B. 当，是矩形 C. 当，是菱形 D. 当，是正方形 7. 如图，数轴上点M所表示的数为m，则m的值是（ ） A. －2 B. －1 C. ＋1 D. 1－ 8. 若，则代数式的值是（　　） A. B. C. 1 D. 2 9. 如图，在菱形中，、交于O点，，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E是边上一点，F是延长线上一点，连接交对角线于点G，连接，若，，则（　　） A. α B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 计算： （1）_______； （2）_________． 12. 如图，在平行四边形中，，则的度数是_________． 13. 如图，以点A为圆心，长为半径画弧，分别交角的两边于点B，点D；分别点B为圆心，长为半径画弧交于点C得到四边形，那么四边形是菱形的依据是_________． 14. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如①图所示，人只要移至该门口及以内时（图②中），门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．②图所示，一个身高的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距离为_____． 15. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF＝2，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP，若AB＝5，则OP的长为___． 16. 矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接，若，，则四边形的面积为______． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，已知中，点E为边的中点，连接并延长交延长线于点F，连接． （1）证明：； （2）证明：四边形是平行四边形． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知正比例函数图象经过点，求： （1）这个函数解析式； （2）在图中用描点法画出这个函数图象； （3）判断点、点是否在这个函数图象上．请直接填空： A ，B （填“在”或“不在”）． 21. 如图，菱形的对角线和交于点O，分别过点C、D作，，和交于点E． （1）求证：四边形是矩形； （2）当，时，求的长． 22. 如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 23. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，分别交于D，交于E．已知，，，求的值． 小明发现，过点E作，交延长线于点F，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）． 请回答：的值为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，已知和矩形，与交于点G，，求的度数． 24. 【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有4栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到4栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），并测量出了某些道路的长度（如表格所示），进一步抽象成几何图形（如图3），其中主干道与交于点，．小组成员又借助电子角度仪测得． 道路 长度（米） 40 30 30 18 32 25 任务二 数学计算 根据图3及表格中的相关数据，请完成下列计算： （1）求道路的长； （2）道路__________米； （3）任务三方案设计 ①根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），并画出需要增设的小路； ②“爱心衣物回收箱”到4栋住宅楼的距离之和的最小值为_______米．（保留根号） 25. 将正方形ABCD放置在平面直角坐标系中，B与原点重合，点A的坐标为，点E的坐标为，并且实数a，b使式子成立． （1）直接写出点D、E的坐标：D______，E______． （2），且EF交正方形外角的平分线CF于点F． ①如图①，求证； ②如图②，连接AF交DC于点G，作交AE于点M，作交AF于点N，连接MN，求四边形MNGE的面积． （3）如图③，连接正方形ABCD的对角线AC，若点P在AC上，点Q在CD上，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $