函数的图象讲义-2026届高三数学一轮复习

函数的图象 课前学习任务 一、必备知识 1．作函数图象的两种方法： (1) 描点法：①____；②____；③____． 运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处． (2) 图象变换法：包括____变换、____变换、____变换等． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1) 平移变换 (2) 对称变换 y＝f(x)的图象y＝____的图象； y＝f(x)的图象y＝____的图象； y＝f(x)的图象y＝____的图象； y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝____(a＞0且a≠1)的图象． (3) 伸缩变换 y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象； y＝f(x)的图象y＝Af(x)的图象． (4) 翻折变换 y＝f(x)的图象y＝____的图象； y＝f(x)的图象y＝____的图象． 注意：图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换．图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行． 二、练基础 1．将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与函数y＝ex的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝ex+1 B．f(x)＝ex-1 C．f(x)＝e－x+1 D．f(x)＝e－x-1 2．(人A必一P159复习参考题T1(3))如图，①②③④中不属于函数y＝logx，y＝logx，y＝log2x的一个是(　　) A．① B．② C．③ D．④ 3．(人A必一P160复习参考题T7改)已知指数函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx图象顶点的横坐标的取值范围是____． 4．已知图(1)中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图(2)中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(　　) 图(1)　　　　图(2) A．y＝f(|x|)　 B．y＝|f(x)| C．y＝f(－|x|)　 D．y＝－f(|x|) 课堂核心考点 考点一 作函数的图象 例1　分别作出下列函数的图象． (1) y＝|lg (x－1)|； (2) y＝2x+1－1； (3) y＝x2－|x|－2； (4) y＝． 变式1　作出函数y＝|x－2|(x＋1)的图象． 考点二 函数图象的识别 例2　(1) 函数y＝(3x－3－x)cos x在区间上的图象大致为(　　) A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　　D (2) 若函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 变式2　(1)下列可以作为方程x3＋y3＝3xy的图象的是(　　) 　　　　　　 (2) 已知函数y＝f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝sin x＋ex＋e－x－2 B．f(x)＝sin x－ex－e－x＋2 C．f(x)＝sin x·(ex＋e－x) D．f(x)＝ 考点三 函数图象的应用 视角1　利用图象研究函数性质 例 3－1　(1) 若∀x∈R，f(x＋1)＝f(1－x)，当x≥1时，f(x)＝x2－4x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)在(1，＋∞)上单调递增 C．f(x)min＝－4 D．f(x)在(－∞，1)上单调递减 (2) (多选)已知函数f(x)＝f(－x)，且f(x)的对称中心为(1，0)，当x∈[2，3]时，f(x)＝3－x，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小值是－1 B．f(x)在(－3，－2)上单调递减 C．f(x)的图象关于直线x＝－2对称 D．f(x)在(3，4)上的函数值大于0 视角2　解方程(或不等式) 例 3－2　(1) 已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)＝(　　) A．2 B． C．1 D．0 (2)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(x)＞|x|，则x的取值范围是____． 视角3　求参数的范围 例 3－3　已知函数f(x)＝若对任意的x∈R都有f(x)≥a(x＋2)恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A． B．[0，1] C． D．[1，e] 课后提升练 1．函数y＝1－的图象是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 2．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2，1] D．[－2，0] 3．(多选)已知函数y＝，那么下列有关该函数图象的说法中正确的是(　　) A．一定存在两点，这两点的连线平行于x轴 B．任意两点的连线都不平行于y轴 C．关于直线y＝x对称 D．关于原点中心对称 4．已知函数f(x)＝(a∈R)在R上没有零点，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)∪{0} B．(－∞，－1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) 答案解析 课前学习任务 1. (1) ①列表　②描点　③连点成线　(2) 平移　伸缩　对称 2. (2) －f(x)　f(－x)　－f(－x)　logax (4) |f(x)|　f(|x|)　 1. D　【解析】 与y＝ex的图象关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x.由题意知f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到y＝e－x的图象，所以f(x)的图象是由y＝e－x的图象向左平移1个单位长度得到的，所以f(x)＝e－x－1. 2. C　【解析】 ①②③④分别对应函数y＝logx，y＝logx，y＝log3x，y＝log2x. 3. 　【解析】 由指数函数y＝的图象可知，0<<1，所以－<－<0，所以二次函数y＝ax2＋bx图象顶点的横坐标的取值范围是. 4. C　 课堂核心考点 例1　【解答】 (1) 首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg (x－1)|的图象，如图(1)所示(实线部分). (例1(1)) (2) 将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图(2)所示． 　　　(例1(2)) (3) y＝x2－|x|－2＝其图象如图(3)所示． (例1(3)) (4) 因为y＝＝2＋，所以该函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图(4)所示． 　　 (例1(4)) 变式1　【解答】 当x≥2，即x－2≥0时，y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；当x<2，即x－2<0时，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.所以y＝其图象如图所示． (变式1) 例2　(1) A　【解析】 设f(x)＝(3x－3－x)cos x，则f(－x)＝(3－x－3x)cos (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B，D.令x＝1，则f(1)＝(3－3－1)cos 1>0，排除C，故选A. (2) D　【解析】 由图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0.由＝－且定义域为R，得B中函数为奇函数，排除；当x>0时，>0，>0，即A，C中函数在(0，＋∞)上的函数值为正，排除．经检验D符合． 变式2　(1) B　【解析】 当x<0时，x3＝3xy－y3＝y(3x－y2)<0，若y<0，则3x－y2>0，即y2<3x<0，不成立，故x<0，y<0不可能同时成立，故A，C，D错误． (2) D　【解析】 由图可知函数f(x)为奇函数，排除A，B；对于C，因为sin 1>sin ＝，所以f(1)＝(e＋)sin 1>(e＋)>1，由图知f(1)<1，故排除C；对于D，f(－x)＝＝＝－f(x)是奇函数，故D正确． 例3-1　(1) C　【解析】 由f(x＋1)＝f(1－x)，得f(x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝1对称．当x<1时，2－x>1，所以f(x)＝f(2－x)＝(2－x)2－4(2－x)＝x2－4，所以f(x)＝作出f(x)的图象如图所示．由图象可知，f(x)不关于坐标原点对称，所以f(x)不是奇函数，A错误；f(x)在(1，2)上单调递减，B错误；f(x)min＝f(0)＝f(2)＝－4，C正确；f(x)在(0，1)上单调递增，D错误． (例3-1(1)) (2) AC　【解析】 由f(x)＝f(－x)可得f(x)为偶函数，由对称中心为(1，0)，可知f(x)的图象关于点(1，0)对称，结合x∈[2，3]时，f(x)＝3－x，可画出f(x)的部分图象如图所示．由图象可知，f(x)的最小值是－1，f(x)在(－3，－2)上单调递增，f(x)的图象关于直线x＝－2对称，f(x)在(3，4)上的函数值小于0，故A，C正确，B，D错误． 　 (例3-1(2)) 例3-2　(1) B　【解析】 作出函数f(x)的图象如图所示，因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，所以即－2<a≤3，此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，所以a＝，即a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，则f(a)＝. (例3-2(1)) (2) (0，1)　【解析】 作出函数y＝log2(x＋1)和函数y＝|x|的图象如图所示，两个函数的图象相交于点(0，0)和(1，1)，当且仅当x∈(0，1)时，y＝log2(x＋1)的图象在y＝|x|的图象的上方，即不等式f(x)>|x|的解集为(0，1). 　 (例3-2(2)) 例3-3　A　【解析】 画出函数f(x)＝的图象如图所示，因为对任意的x∈R都有f(x)≥a(x＋2)恒成立，即y＝f(x)的图象恒在y＝a(x＋2)的上方(或重合)．又y＝a(x＋2)表示过定点(－2，0)的直线，设函数y＝ex(x≤1)在(x0，ex0)(x0≤1)处的切线恰好过点(－2，0)，由y′＝ex，则y′|x＝x0＝ex0，所以切线方程为y－ex0＝ex0 (x－x0)，则0－ex0＝ex0 (－2－x0)，解得x0＝－1，此时切线方程为y＝e-1x＋2e-1，切线的斜率为e-1．所以当x≤1时，f(x)≥e-1(x＋2)．当x＞1时，2x－e-1(x＋2)＝(2－e-1)x－2e-1＞2－3e-1＞0，由图可知0≤a≤e-1，即实数a的取值范围为． (例3-3) 课后提升练 1. B　【解析】 将函数y＝－的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得到y＝1－的图象． 2. D　【解析】 由题意可作出函数y＝|f(x)|，函数y＝ax的图象，由图象可知，函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线y＝|f(x)|的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限部分的解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，则切线方程为y－(x－2x0)＝(2x0－2)(x－x0)，代入(0，0)，得x0＝0，y′＝－2，故只需直线y＝ax的斜率a介于－2与0之间即可，即a∈[－2，0]. (第2题) 3. BC　【解析】 由题知y＝＝＝2＋，作出函数的图象如图所示，由图可知BC正确． 　　 (第3题) 4. A　【解析】 设g(x)＝作出g(x)的图象如图所示，问题转化为g(x)的图象与直线y＝－a没有交点，所以－a＝0或－a>1，解得a＝0或a<－1. (第4题) 学科网（北京）股份有限公司 $$