精品解析：湖南省益阳市益阳师专附属学校2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

2024—2025学年九年级上学期期中质量监测 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：， 故选：C． 2. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， 故选：D． 3. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象与轴、轴各有一个交点 B. 点在它的图象上 C. 它的图象在第二、四象限 D. 随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐一分析选项即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、反比例函数的图象为双曲线，无限接近坐标轴但不会与轴或轴相交，故A错误，不符合题意； B、将点代入函数，，满足方程，故该点在图象上，B正确，符合题意； C、反比例函数的图象位在第一、三象限，C错误，故不符合题意； D、反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小，故D错误，不符合题意； 故选：B． 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. 所有的平行四边形都相似 B. 所有的矩形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的正方形都相似 【答案】D 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】所有正方形都相似，故D符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5. 已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，设另一个根为，结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得解，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：设另一个根为， ∵方程有两个实数根，其中一个根是（）， ∴， ∴， 故选：D． 6. 我们把练习本上的横线认定是平行且等距的格线，如图，彤彤同学在两条横线上画出，且边，与中间的另外两横线交于，，，四点，连接交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解，熟练 相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故选：C． 7. 如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式分解，由和是方程的两个根可得，进而可得，即可求解，掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴， 即， ∴多项式可以分解因式为， 故选：． 8. 对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，将式子变形为，再由并结合题意可得，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ∵对于取任意实数，多项式的值是一个正数，， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论中错误的是（　　） A. B. △ABE∽△AEF C. △ABE∽△ECF D. △ADF∽△ECF 【答案】D 【解析】 【分析】推导出∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1，从而△ABE∽△ECF，故EF=AE，进而∠AEF=∠B=90°，由此能得到△ABE∽△AEF，AE⊥EF． 【详解】解：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD， ∴∠B＝∠C＝90°，AB：EC＝BE：CF＝2：1． ∴△ABE∽△ECF． ∴AB：EC＝AE：EF＝2：1，∠AEB＝∠EFC． ∵BE＝CE，∠FEC+∠EFC＝90°， ∴AB：AE＝BE：EF，∠AEB+∠FEC＝90°． ∴∠AEF＝∠B＝90°． ∴△ABE∽△AEF． ∴A，B，C正确． 在△ADF和△ECF中，两直角边的对应比不相等，故△ADF和△ECF不相似. 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 10. 把直线的图象向下平移个单位，与反比例函数的图象只有一个交点，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 2或4 D. 1或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，先求出平移后得到新直线，联立得出，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到新直线， 联立该直线与反比例函数，消去得：， 两边乘以并整理为二次方程：， 令判别式， 解得或， 因此，的值为1或5， 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程的常数项是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式中各部分名称（二次项、一次项、常数项等）是解题的关键．明确一元二次方程一般形式，找出方程中常数项． 【详解】解：一元二次方程的一般形式是（），其中为常数项， 对于方程，对比一般形式，，，， ∵ 此方程中符合常数项定义的是， ∴ 该一元二次方程的常数项是． 故答案为： ． 12. 与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的位似比是， ∴， ∵的周长是9， ∴的周长是． 故答案为：3 13. 反比例函数过点，，则______．（填“”“”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数（）中，当时，在每个象限内随的增大而增大的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，判断其在每个象限内的增减性，再比较点、横坐标对应的函数值大小． 【详解】解：∵ 反比例函数，其中 ∴ 此反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而增大 又∵ 点，都在第四象限，且 ∴ 故答案为： ． 14. 若函数与函数（）的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象的性质等内容，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象的性质． 利用反比例函数的中心对称性即可求出另外一点的坐标． 【详解】解：将代入和，可得，， 根据反比例函数的中心对称性，另一点与点成中心对称， 所以另一点为， 故答案为：． 15. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，    由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 16. 今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设两周平均每周上涨的百分率为，根据两周的增长情况列出方程即可． 【详解】解：设两周平均每周上涨的百分率为，依题意得， ， 故答案为：． 17. 若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象经过第______象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，解题的关键是首先根据方程根的情况判定实数的取值范围． 本题根据反比例函数的图像与系数的关系及一元二次方程根的判别式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】∵一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限． 18. 如图，菱形的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点，则反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的周长求出边长，再结合面积求出顶点的坐标，最后代入反比例函数求出解析式．本题主要考查菱形的性质（周长求边长、面积公式 ）、勾股定理以及反比例函数解析式的求解，熟练掌握菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征（点在函数图象上则坐标满足解析式 ）是解题的关键． 【详解】解：∵ 菱形的周长是， ∴ 菱形的边长， 又∵ 菱形面积是，设点到轴的距离为（即高），以为底， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 设反比例函数解析式为，把代入得，， ∴ 反比例函数的解析式为， 故答案为： ． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 20. 如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【答案】 证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴，且， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定． 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】略 21. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）若是等边三角形，求方程的根； （2）若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】（1）， （2）有两个相等的实数根 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理： （1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 22. 如图，在菱形的边长为1，是边上与，不重合的一动点，连接，点是上一点，且． （1）求证：； （2）当点在上移动时，线段也随之变化，设，，求与间的函数关系式．（不考虑自变量的取值范围） 【答案】（1） 证明：∵菱形， ∴，， ∴，， ∵，而， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，而，可得，从而可得结论； （2）由，可得，即，整理即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 23. 一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． （1）求反比例函数解析式； （2）点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 24. 在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【答案】长为，宽为，高为 【解析】 【分析】通过设长方体纸盒的高为未知数，根据矩形纸张的尺寸表示出长方体纸盒底面的长和宽，再结合底面积列出方程求解．本题主要考查一元二次方程的实际应用（长方体的折叠问题 ），熟练掌握根据图形折叠关系表示出长方体的长、宽、高，以及利用面积公式列出方程求解是解题的关键． 【详解】设长方体纸盒高为，则长为，宽为， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：长方体纸盒高为，则长为，宽为． 25. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． （1）求点，的坐标； （2）当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2）存在，点的坐标为 （3）和 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【小问1详解】 解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． 【小问3详解】 设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 26. 九年级数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足 （1）【一线模型】如图1：当的顶点D在底边BC上，与两腰，分别交于点，，求证：； （2）【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； （3）【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， 又∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明； （2）通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即），求出的值； （3）作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点作， 则，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年九年级上学期期中质量监测 数学 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4.考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 2. 已知，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 3. 关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 它的图象与轴、轴各有一个交点 B. 点在它的图象上 C. 它的图象在第二、四象限 D. 随的增大而减小 4. 下列命题中，真命题是（　　） A. 所有的平行四边形都相似 B. 所有的矩形都相似 C. 所有的菱形都相似 D. 所有的正方形都相似 5. 已知方程有两个实数根，其中一个根是（），则方程的另一个根是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 我们把练习本上的横线认定是平行且等距的格线，如图，彤彤同学在两条横线上画出，且边，与中间的另外两横线交于，，，四点，连接交于点，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 4.5 7. 如果和是方程的两个根，则多项式可以分解因式为（ ） A. B. C. D. 8. 对于取任意实数，多项式的值是一个正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论中错误的是（　　） A. B. △ABE∽△AEF C. △ABE∽△ECF D. △ADF∽△ECF 10. 把直线的图象向下平移个单位，与反比例函数的图象只有一个交点，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 2或4 D. 1或5 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一元二次方程的常数项是______． 12. 与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是______． 13. 反比例函数过点，，则______．（填“”“”或“=”） 14. 若函数与函数（）的图象交于两点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标是______． 15. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为______． 16. 今年10月份以来，我国经济得到回升，股某一支股票指数由两周前的2700点涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为，可根据题意列方程为______． 17. 若一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象经过第______象限． 18. 如图，菱形的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点，则反比例函数的解析式为______． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 用公式法解方程：． 20. 如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 21. 已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）若是等边三角形，求方程的根； （2）若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 22. 如图，在菱形的边长为1，是边上与，不重合的一动点，连接，点是上一点，且． （1）求证：； （2）当点在上移动时，线段也随之变化，设，，求与间的函数关系式．（不考虑自变量的取值范围） 23. 一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． （1）求反比例函数解析式； （2）点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 24. 在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 25. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． （1）求点，的坐标； （2）当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 26. 九年级数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足 （1）【一线模型】如图1：当的顶点D在底边BC上，与两腰，分别交于点，，求证：； （2）【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； （3）【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $