精品解析：山西省忻州市2024-2025学年下学期期末测试八年级数学试卷

2024-2025学年忻州市义务教育阶段学生学情“大调研” 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列出关于的不等式即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：． 2. 已知点和点都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性，由直线解析式中的的值确定函数的增减性，进而比较两点纵坐标的大小即可. 【详解】解：∵ 直线 中， ， ∴ 函数值 随 的增大而增大； ∵ 点 的横坐标 小于点 的横坐标 ， ∴ ； 故选：B 3. 要调查某校八年级500名学生每周的课外阅读时间，下列调查对象选取最合适的是（ ） A. 选取该校一个班级的学生 B. 选取该校80名男生 C. 选取该校80名女生 D. 随机选取该校80名八年级学生 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抽样调查中样本的选取方法．逐一判断各选项的抽样方式是否合理，确保样本能代表总体．要调查八年级500名学生的课外阅读时间，样本应能代表全体学生． 【详解】解：选项A：仅选取一个班级的学生，样本可能受班级特性（如学习水平）影响，无法代表全年级； 选项B和C：仅选取单一性别学生，忽略了性别差异对阅读时间的影响，样本缺乏代表性； 选项D：随机选取80名八年级学生，每个学生被选中的机会均等，能较好反映整体情况，符合随机抽样原则． 故选：D． 4. 智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架点出发，先向正东方向行驶6米到达点，再向正北方向行驶8米到达点．为优化路线，若机器人从点沿直线方向直接行驶到点，则线段的长为（ ） A. 7米 B. 10米 C. 17米 D. 20米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算和性质，根据二次根式的运算法则和性质，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A． ，运算正确． B． ，而选项结果为3，错误． C． ，结果错误． D． ，而选项结果为，错误． 故选A． 6. 为了推进“阳光体育”的实施，学校积极开展球类运动．在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，八年级某班统计了全班50名学生投中的个数，并记录如下： 投中个数 0 1 2 3 4 5 人数 1 ● 12 ● 17 6 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中个数的统计量中，可以确定的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，方差．本题需确定在数据被遮盖的情况下，哪个统计量仍可确定．通过分析众数、中位数、平均数和方差的计算方式，结合已知数据即可得出结论． 【详解】解：∵总人数为50，投中0个、2个、4个、5个的人数分别为1、12、17、6， ∴投中1个和3个的人数之和为人， ∵众数是出现次数最多的数据，且投中4个的有17人，为当前最大人数． 无论投中1个和3个的人数如何分配投中4个的人数始终最多， ∴众数为4，保持不变，故C选项符合题意． ∵投中0个、1个、2个、3个的人数为人， ∵投中1个和3个的人数之和为14人，而无法确定投中3个的人数， ∴中位数可能为3个或2个， ∴中位数无法确定，故B选项不符合题意． ∵平均数需计算总投中个数，且投中1个和3个的人数未知， ∴总个数和平均数无法确定，故A选项不符合题意， 又方差依赖平均数， ∴方差也无法确定，故D选项不符合题意． 故选C． 7. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质等知识点，先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积是， 故选：． 8. 若直线经过一、三、四象限，则图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据直线经过一、三、四象限，判断出系数的正负，然后根据的系数特点，即可判断直线所过的象限． 【详解】解：∵直线经过一、三、四象限， ， ∴直线过一、二、四象限． 故选：A． 9. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C. 本次充电持续时间是120分钟 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由函数图像读取信息，仔细观察函数图像，正确读取信息逐项进行分析解答即可 【详解】解：A、由函数图像可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意； B、由函数图像可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意； C、由函数图像可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意； D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时， 到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意， 故选：D 10. 红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．贝贝家也有一幅这样的“中国结”挂饰．他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线过点且与垂直，分别与交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握菱形的对角线相等，且垂直平分．以及菱形的面积等于底乘高，或菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形的性质，得出，，，推出是等边三角形，，根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果最简二次根式与可以合并，则x=__________ 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义求解即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴2x+1=5， ∴x=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 12. 吕梁市临县是闻名全国的“红枣之乡”，这里盛产的红枣以肉厚味甜著称．某农科所培育了甲、乙、丙三个品种的红枣，统计近三年这三个品种红枣的亩产量，其平均数和方差如下表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 480 500 500 方差 6.0 8.5 6.0 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择________品种．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查了方差，平均数的应用，熟练掌握方差，平均数的特点是解题的关键． 根据方差越小越稳定，平均数越大越好等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴丙是亩产量高且稳定的优良品种． 故答案为：丙． 13. 若一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．熟记平行直线的解析式的值相等并设出一次函数解析式是解题的关键． 根据互相平行的两直线解析式的值相等设出一次函数的解析式，再把点代入解析式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像与直线平行， 设一次函数的表达式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴这个一次函数的解析式为． 故答案为：． 14. 某实验室测试新型太阳能充电器，将其置于恒定光照下，每隔两小时记录一次电池电量百分比，得到下表数据． 充电时间/小时 0 2 4 6 8 电池电量百分比 6 22 38 54 70 已知电池电量百分比（单位：）与充电时间（单位：小时）满足一次函数关系．当电池电量达到时，充电时间是_______小时． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求解析式等知识，正确求得函数解析式，求出函数自变量或函数值是解决本题的关键．先求出一次函数，然后令时，解得的值即可得答案． 【详解】解：设电池电量百分比与充电时间表达式为：， 将点代入解析式中得： ， 解得：， ∴函数的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴当电池电量达到时，充电时间是10小时． 故答案为：10． 15. 如图，正方形的边长为2，点分别在上，且与相交于点，连接，则的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．取的中点，连接，证明，可得，从而得到，进而得到．根据题意可得当在同一条直线上时，取得最小值．然后在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ， ， ， ． ， 当在同一条直线上时，取得最小值． 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和二次根式的除法将题目中的式子展开，然后计算加减法即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 某科技公司计划招聘1名研发实习生，候选人小王和小李参加了专业技能与项目协作两项考核，成绩如下表： 项目应试者 专业技能 项目协作 小王 88 92 小李 90 85 公司规定：专业技能占，项目协作占，按加权总分择优录用．通过计算，你认为哪位候选人将被录取． 【答案】小王将被录取 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数．根据加权平均数的定义列式计算即可得出答案． 【详解】解：小王的总成绩为（分）， 小李的总成绩为（分）． ， 小王将被录取． 18. 为了丰富校园文化生活，展示学生艺术风采，某中学举办了一场“校园十佳歌手”的初赛，比赛设定满分为分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组人）学生在初赛中的成绩（单位：分）： 甲组：，，，，，，，，，． 乙组：，，，，，，，，，． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 （1）在以上成绩统计表中， ， ， ． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）根据以上数据分析，若从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）小明是甲组的学生，理由见解析 （3）选乙组学生参加决赛，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案； （2）根据中位数的意义即可得出答案； （3）将两组成绩的平均数、中位数、众数进行比较，即可解答． 【小问1详解】 解：甲组的平均数， 将乙组学生成绩从大到小排列如下： ，，，，，，，，，， 数据出现了四次，次数最多，则众数， 中位数， 故答案为：；； 【小问2详解】 小明是甲组的学生． 理由：∵甲组学生成绩的中位数是分，而小明得了分， ∴小明的成绩在甲小组中属于中游略偏上的水平． 【小问3详解】 选乙组学生参加决赛． 理由：∵甲、乙两组学生成绩的平均数相同，而乙组学生成绩的中位数、众数都大于甲组， ∴选乙组学生参加决赛． 【点睛】本题考查平均数，中位数，众数的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握平均数，中位数，众数的意义是解题的关键． 19. 如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与轴交于点，根据图象，解决下列问题： （1）根据图象直接写出方程组的解． （2）设直线与轴交于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、一次函数与二元一次方程组、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据函数图象可得点为两函数图象的交点，根据两一次函数图像的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解即可解答； （2）先根据待定系数法得出直线的解析式，，即；再求得点D，点C的坐标，的值，最后再运用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：点为两函数图象的交点， 方程组的解为 【小问2详解】 解：把，代入中， 解得：， ． 如图，设直线与轴的交点为． 令，则， 点的坐标为． 令，则， 点的坐标为， ∴， 20. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 在矩形中，，相交于点， ，，， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理． （1）根据，，可得四边形是平行四边形，根据矩形的性质可推出，即可得证； （2）连接，交于点，根据四边形是菱形，可得，，，再根据勾股定理求出的值，进而得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， 菱形的面积为：． 21. 阅读与思考 下面是项目化学习的内容，请认真阅读，并完成相应任务． 项目主题：优化电商仓储配送方案 项目背景：某电商平台需从中心仓向华北、华东、西北三地配送商品．为平衡时效与成本，需科学规划配送方案．物流团队以优化运输成本为主题开展数据分析． 驱动任务：探究配送数量与总运费之间的关系 研究步骤： （1）收集中心仓每月配送商品的信息； （2）对收集的信息，用适当的方法描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1：每月需配送2000件商品，其中西北地区需求量为华北地区需求量的2倍； 信息2：运费受距离与交通条件的影响，具体如下： 运送地点 华北 华东 西北 运费（单位：元/件） 30 35 50 任务： （1）设运往华北地区的商品数量为（单位：件），总运费为（单位：元），试写出与的函数解析式．（不需要写自变量的取值范围） （2）若当月物流预算的总运费不超过80000元，华北地区最多能配送多少件商品？ 【答案】（1） （2）最多可运往华北地区的商品数量为400件 【解析】 【分析】本题考查列一次函数，一元一次不等式解决实际问题，能够根据题意列出不等式，和等量关系式解决本题的关键． （1）根据运费表列出函数关系式即可； （2）根据列出不等式，解不等式即可得． 【小问1详解】 由题意，可知运往西北地区的商品数量为件，则运往华东地区的商品数量为（2000-3x）件， 则． 答：与的函数解析式为； 【小问2详解】 根据题意，得，即， 解得． 答：最多可运往华北地区的商品数量为400件． 22. 综合与实践 定义：如图，点把线段分割成．若以为边的三角形是直角三角形，则称点是线段的“勾股分割点”． 数学思考： （1）已知点把线段分割成．若，则点是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由． 深入探究： （2）已知点是线段的“勾股分割点”． ①“善思小组”提出问题：若是以是边的三角形的最长边，且，求的长． ②“智慧小组”提出问题：若是以是边的三角形的直角边，且，，请直接写出的长． 【答案】（1）点，不是线段的“勾股分割点”，见解析；（2）①；②6或10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，理解“勾股分割点”的定义是解此题的关键． （1）根据“勾股分割点”判断即可得解； （2）①根据“勾股分割点”的定义结合勾股定理计算即可得解；②设，则，分两种情况：当为直角三角形的斜边时，当为直角三角形的直角边时，分别利用勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）不是，理由如下： ∵， ∴以、、为边的三角形不是一个直角三角形， ∴点不是线段的“勾股分割点”； （2）①点是线段的“勾股分割点”．为以为边的三角形的最长边，且， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴的长为； ②设，则， ∵点是线段的“勾股分割点”．为以为边的三角形的直角边，且，， ∴当为直角三角形的斜边时，， ∴， 解得：，此时， 当为直角三角形的直角边时，， ∴， 解得：，此时． 综上所述，的长为6或10． 23. 综合与探究 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且．求直线的函数解析式． 【模型迁移】 （3）在（2）的基础上，如图3，在平面直角坐标系中，是点关于轴的对称点，是轴上的一个动点，是直线上的一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）①过作轴于，求出，，得，，同理模型呈现可得，故，，即得，然后利用待定系数法解答即可； （3）过作轴于，过作于，设，，分两种情况画出图形，结合模型呈现，利用全等三角形对应边相等列方程组可解得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ∴，， ∴，， 同理模型呈现可得， ∴，， ∴， ∴ 设直线函数表达式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线函数表达式为； （3）过作轴于，过作于， 设，， 当在左侧时，如图： ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， 同理模型呈现可得， ∴，， ∴， 解得， ∴； 当在右侧时，如图： 同理可得， 综上所述，的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数综合应用，全等三角形判定与性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握“型“全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年忻州市义务教育阶段学生学情“大调研” 八年级数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点和点都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 3. 要调查某校八年级500名学生每周的课外阅读时间，下列调查对象选取最合适的是（ ） A. 选取该校一个班级的学生 B. 选取该校80名男生 C. 选取该校80名女生 D. 随机选取该校80名八年级学生 4. 智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架点出发，先向正东方向行驶6米到达点，再向正北方向行驶8米到达点．为优化路线，若机器人从点沿直线方向直接行驶到点，则线段的长为（ ） A. 7米 B. 10米 C. 17米 D. 20米 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了推进“阳光体育”的实施，学校积极开展球类运动．在一次定点投篮测试中，每人投篮5次，八年级某班统计了全班50名学生投中的个数，并记录如下： 投中个数 0 1 2 3 4 5 人数 1 ● 12 ● 17 6 表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了，下列关于投中个数的统计量中，可以确定的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 若直线经过一、三、四象限，则图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 某款纯电动汽车采取智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y（电池含电率=）随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是（ ） A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量 B. 本次充电40分钟，汽车电池含电率达到 C. 本次充电持续时间是120分钟 D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时 10. 红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征．贝贝家也有一幅这样的“中国结”挂饰．他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱形，测得，，直线过点且与垂直，分别与交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如果最简二次根式与可以合并，则x=__________ 12. 吕梁市临县是闻名全国的“红枣之乡”，这里盛产的红枣以肉厚味甜著称．某农科所培育了甲、乙、丙三个品种的红枣，统计近三年这三个品种红枣的亩产量，其平均数和方差如下表： 统计量 品种 甲 乙 丙 亩产量平均数 480 500 500 方差 6.0 8.5 6.0 现从中选取一个亩产量高且稳定的优良品种进行大面积种植，应选择________品种．（填“甲”“乙”或“丙”） 13. 若一次函数的图象与直线平行，且经过点，则该一次函数的解析式为_______． 14. 某实验室测试新型太阳能充电器，将其置于恒定光照下，每隔两小时记录一次电池电量百分比，得到下表数据． 充电时间/小时 0 2 4 6 8 电池电量百分比 6 22 38 54 70 已知电池电量百分比（单位：）与充电时间（单位：小时）满足一次函数关系．当电池电量达到时，充电时间是_______小时． 15. 如图，正方形的边长为2，点分别在上，且与相交于点，连接，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某科技公司计划招聘1名研发实习生，候选人小王和小李参加了专业技能与项目协作两项考核，成绩如下表： 项目应试者 专业技能 项目协作 小王 88 92 小李 90 85 公司规定：专业技能占，项目协作占，按加权总分择优录用．通过计算，你认为哪位候选人将被录取． 18. 为了丰富校园文化生活，展示学生艺术风采，某中学举办了一场“校园十佳歌手”的初赛，比赛设定满分为分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组人）学生在初赛中的成绩（单位：分）： 甲组：，，，，，，，，，． 乙组：，，，，，，，，，． 根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表： 组别 平均数 中位数 众数 甲组 乙组 （1）在以上成绩统计表中， ， ， ． （2）小明同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因． （3）根据以上数据分析，若从甲、乙两组学生中选择一组参加决赛，应选哪个组？请说明理由． 19. 如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与轴交于点，根据图象，解决下列问题： （1）根据图象直接写出方程组的解． （2）设直线与轴交于点，连接，求的面积． 20. 如图，在矩形中，，相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，则四边形的面积为 ． 21. 阅读与思考 下面是项目化学习的内容，请认真阅读，并完成相应任务． 项目主题：优化电商仓储配送方案 项目背景：某电商平台需从中心仓向华北、华东、西北三地配送商品．为平衡时效与成本，需科学规划配送方案．物流团队以优化运输成本为主题开展数据分析． 驱动任务：探究配送数量与总运费之间的关系 研究步骤： （1）收集中心仓每月配送商品的信息； （2）对收集的信息，用适当的方法描述； （3）信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1：每月需配送2000件商品，其中西北地区需求量为华北地区需求量的2倍； 信息2：运费受距离与交通条件的影响，具体如下： 运送地点 华北 华东 西北 运费（单位：元/件） 30 35 50 任务： （1）设运往华北地区的商品数量为（单位：件），总运费为（单位：元），试写出与的函数解析式．（不需要写自变量的取值范围） （2）若当月物流预算的总运费不超过80000元，华北地区最多能配送多少件商品？ 22. 综合与实践 定义：如图，点把线段分割成．若以为边的三角形是直角三角形，则称点是线段的“勾股分割点”． 数学思考： （1）已知点把线段分割成．若，则点是线段的“勾股分割点”吗？请说明理由． 深入探究： （2）已知点是线段的“勾股分割点”． ①“善思小组”提出问题：若是以是边的三角形的最长边，且，求的长． ②“智慧小组”提出问题：若是以是边的三角形的直角边，且，，请直接写出的长． 23. 综合与探究 【模型呈现】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型应用】 （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且．求直线的函数解析式． 【模型迁移】 （3）在（2）的基础上，如图3，在平面直角坐标系中，是点关于轴的对称点，是轴上的一个动点，是直线上的一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $