精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

湖北省恩施土家族苗族自治州2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，需满足两个条件：根指数为2且被开方数非负，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，根指数为2，但被开方数的正负未知，若，则为二次根式，但题目未限定的范围，无法确保其恒成立，故此选项不符合题意； B、，根指数为2，被开方数2是正数，完全符合二次根式的定义，故此选项符合题意； C、，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故此选项不符合题意； D、，根指数为3，属于三次根式，非二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B ． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 3，5，6 C. 4，5，10 D. 7，7，7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，6，8，10能组成直角三角形，故本选项符合题意； B、，3，5，6不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，4，5，10不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，7，7，7不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 友人似三春朝露，润泽心田．如图所示，我们把“友”字放在平面直角坐标系中（把笔画看成线），则第几画不能看成是关于的函数图象（ ） A. 第一画 B. 第二画 C. 第三画 D. 第四画 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查函数的定义，根据函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，分别看作，当取一个值时，都有唯一的值与其相对应，其中自变量，逐一判断即可； 【详解】解：由“友”字的第三笔可以看出，当取一个值时，有两个值与其相对应，所以第三画不能看成是关于的函数图象； 故选C． 4. 八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义． 根据方差越小，成绩越稳定判断即可． 【详解】解：∵，甲更稳定， ∴， 只有D符合， 故选：D． 5. 如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，故结论A、B正确； ∴，故结论C正确； 无法证明，故结论D错误； 故选：D． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，需对各选项逐一计算验证 【详解】解：选项A： 化简为，则，故A错误； 选项B： 计算得，则，故B错误； 选项C： 根据，得，故C正确； 选项D： 根据，得，故D错误； 故答案为C 7. 已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由正比例函数的图象经过第一、三象限， 得比例系数， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 8. 已知排球队名场上队员的身高（单位：）分别是：，，，，，．现用两名身高分别是，的队员换下场上身高为，的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差、众数的定义，利用平均数、中位数、方差、众数的意义判断即可． 【详解】解：∵， ∴替换前后的平均数发生变化， ∴方差也发生变化，故A、C、不符合题意， ∵替换数据后中间的数据没有变化， ∴中位数不变． 原来的众数是：，，，，， 替换后的众数是：，，，，，． ∴众数也发生变化 故选：B． 9. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质是解题的关键．连接，证明四边形是矩形得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵于点E，于点F， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 10. 张老师给出关于的函数．同学们独立思考后，给出了4个关于这个函数的结论： ①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数； ②函数的值随着自变量的增大而减小； ③若函数图象与轴交于点，则； ④此函数图象与直线和轴围成的图形的面积必小于． 其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图形与性质，函数与坐标轴的交点，根据一次函数和正比例函数的定义、一次函数的增减性、与坐标轴的交点及三角形面积公式逐一分析各结论的正确性 【详解】解：结论①：函数为一次函数，但当时，是正比例函数，故①错误； 结论②：函数斜率的符号由决定，当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而增大，因此②不一定成立，错误； 结论③：令，解得，因，，故，③正确； 结论④：两直线交点为，与y轴交于和，面积，当时，，故④错误； 综上，仅结论③正确，正确个数为1， 故选：A 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及解不等式，由二次根式有意义，得到．熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：若有意义，则， 解得，即的取值范围是， 故答案为：． 12. 某部队一军人在一次射击训练时，连续次的成绩为次环，次环，次环，则该军人这次射击的平均成绩为_____环． 【答案】9.3 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求得该军人这10次射击的平均成绩． 【详解】解： （环， 即该军人这10次射击的平均成绩为9.3环， 故答案为：9.3． 13. 请写出一个关于的一次函数表达式，使其图象满足如下条件：①与直线平行；②与轴正半轴相交．这个一次函数表达式可以是____________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质及与坐标轴的交点问题．根据题意确定出即可求解． 【详解】解：∵函数图象与直线平行， ∴， 又∵与轴正半轴相交， ∴， ∴写出的一次函数表达式满足、即可， 故答案为：． 14. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 根据题意，得， 中，由勾股定理，得， ∴， 故答案为：． 15. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．作的平分线交于点，的平分线交于点，若点，，在同一直线上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得证是等腰直角三角形，则且结合四个直角三角形全等，故证明，得出点是中点，结合勾股定理列式，即可作答． 【详解】解：∵作的平分线交于点 ∴ ∵的平分线交于点， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ 而由题意知：四个直角三角形全等 ∴ 而 ∴ ∴ ∴ ∴点是中点 在中， ∴，， ∴ ∴ 设 则， 在中， 在中， ∴ ∴故答案为： 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算减法即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 18. 如图，在中，于点，为上一点，连接．若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟悉掌握全等三角形的判定与性质，矩形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的性质，利用证明，从而得到，可证得四边形为平行四边形，因为，所以证得四边形是矩形． 【详解】解：四边形是矩形，理由如下： 四边形为平行四边形， ∴，，，， 在与中 ，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 19. 某校开展了安全知识竞赛，据统计，所有参赛同学的得分都不低于80分．现从该校八、九年级参赛学生中各抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，成绩得分用x（分）表示，共分成四组，；B：，下面给出了部分信息： 八年级抽取的学生C组的成绩为：92，92，93，94 九年级抽取的学生D组的成绩为：95，95，95，97，100 请根据相关信息，完成下列问题： （1）补全条形统计图； （2）被抽取八年级学生成绩的中位数为____________，被抽取九年级学生成绩的众数为__________； （3）成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知八年级有180名、九年级有184名同学参加知识竞赛，估计该校八、九年级共有多少名同学被评为优秀？ 【答案】（1）见解析 （2）92.5，95 （3）146人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，用样本估计总体，中位数，众数，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算出九年级组人数，即可补全条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：九年级组人数为：（人）， 则如图所示： 【小问2详解】 解：八年级组有（人），组有（人），组有（人）， 而中位数为第人成绩的平均数，可知第人成绩在组，且为， ∴中位数为； ∵九年级组分别有人，而九年级抽取的学生D组的成绩为：95，95，95，97，100分， ∴众数为， 故答案为：92.5，95； 【小问3详解】 解：被评为优秀的人数为： （人） 答：该校八、九年级共有146名同学被评为优秀． 20. 如图，为平行四边形的对角线． （1）尺规作图：作出的垂直平分线，垂足为O，分别与边交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的作法及性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定等，正确作出图形是解题的关键． （1）根据垂直平分线的画法即可求解； （2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证． 【小问1详解】 解：如图，分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，交于点M，N，连接，与边交于点，直线即为的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：如图，连接， 有作图可知： 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 为的垂直平分线， ， 四边形是菱形． 21. 学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题． 是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． （1）推算出____________；___________（为正整数）． （2）求出的值． 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，二次根式的除法运算，数字类规律探索，求一个数的算术平方根，实数的混合运算等知识点，发现并总结出其一般规律是解题的关键． （1）根据已知条件中和的值发现并总结出其变化规律，再总结出的规律求出答案即可； （2）根据（1）中发现并总结出的规律，求出，，，，，，，再代入所求代数式，然后利用分母有理化进行计算即可． 【小问1详解】 解：，（是的面积）， ，（是的面积）， ，（是的面积）， ， ，（是的面积）， ，， ∴； 【小问2详解】 解： ． ． 22. 小亮在学习物理后了解到：在弹性限度内，弹簧长度与弹簧测力计的拉力存在一次函数关系．他通过悬挂不同质量的物体，测量对应的弹簧长度，验证了该结论．实验过程中，他将所得的几组数据制成如下表格，其中拉力读数为，弹簧长度为． … 1 2 3 4 5 … … 36 ▲ 6.8 8.4 10.0 … （1）根据表格中相关数据求出与之间函数关系式； （2）小亮发现表格中拉力为2N时，弹簧长度对应的数据模糊不清，请你帮他计算出该数据； （3）若弹簧的安全使用长度不能超过14.8cm，求弹簧可承受的最大拉力是多少N？ 【答案】（1） （2）5.2 （3）可承受的最大拉力为8N 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的应用，一元一次不等式的运用，找到数据的变化规律及掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）设与之间的关系式为为常数，且，结合表格中数据利用待定系数法求解，即可解题； （2）将代入由（1）得出的与之间的关系式求解，即可解题； （3）根据题意建立不等式求解，即可解题． 小问1详解】 解：设与之间的关系式为为常数，且， 将和分别代入中， 得， 解得， 与之间的关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）得与之间的关系式为， 当时，， 该数据为； 【小问3详解】 解：由题意可得：． 解得：， 因此，可承受的最大拉力为8N． 23. 如图，四边形是正方形，对角线，相交于点．点是线段上一点（不与O，C重合），连接，．点在的延长线上，且． （1）请直接写出和的数量关系：____________； （2）求证：； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）利用正方形性质得到垂直平分，利用垂直平分线性质，即可解题； （2）根据等角对等边得出，，结合正方形的性质得出 ，则，结合正方形的性质、三角形的内角和定理可求出，即可得证； （3）作于点，证明，得出，证明为等腰直角三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，对角线、交于点O． 垂直平分， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ． ． 【小问3详解】 解：，理由如下： 作于点 由（2）知 为等腰直角三角形 ． 24. 已知直线经过两点． （1）求直线的解析式． （2）点是平面内一点，是否存在以A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图1，点关于轴的对称点为点，点在轴上，连接BE，将沿BE翻折到，直线与轴相交于点． ①当点落在第四象限时，求的取值范围； ②若是直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）存在，点的坐标为 （3）①；②点D的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先画出图形，利用平行四边形的性质求解即可； （3）①①如图，当落在轴上时，求解，可得，再进一步利用轴对称的性质与勾股定理求解即可；②如图，当时，由对折可得：，，可得，则，当时， 结合①可得：，如图，当时，同理可得：，，求解，可得，则，如图，当时，同理可得，此时在轴正半轴，可得，从而可得答案. 【小问1详解】 解：∵直线经过两点． ∴， 解得：， ∴直线解析式为：； 【小问2详解】 解：如图， ∵， 当四边形为平行四边形时， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴； 综上：点的坐标为； 【小问3详解】 解：①如图，当落在轴上时， ∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∴，设， ∴， ∴， 解得：， ∴当点落在第四象限时，的取值范围为：. ②如图，当时， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， 结合①可得：， 如图，当时， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 如图，当时， 同理可得， 此时在轴正半轴， ∴， 综上：点D的坐标为或或或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，平行四边形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线与图形，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖北省恩施土家族苗族自治州2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列各式中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. 6，8，10 B. 3，5，6 C. 4，5，10 D. 7，7，7 3. 友人似三春朝露，润泽心田．如图所示，我们把“友”字放在平面直角坐标系中（把笔画看成线），则第几画不能看成是关于的函数图象（ ） A. 第一画 B. 第二画 C. 第三画 D. 第四画 4. 八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（ ） A B. C. D. 3 5. 如图，在中，，相交于点，则下列结论错误是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则k的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8. 已知排球队名场上队员的身高（单位：）分别是：，，，，，．现用两名身高分别是，的队员换下场上身高为，的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 9. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 10. 张老师给出关于的函数．同学们独立思考后，给出了4个关于这个函数的结论： ①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数； ②函数的值随着自变量的增大而减小； ③若函数图象与轴交于点，则； ④此函数图象与直线和轴围成的图形的面积必小于． 其中正确的有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 若有意义，则的取值范围是___________． 12. 某部队一军人在一次射击训练时，连续次的成绩为次环，次环，次环，则该军人这次射击的平均成绩为_____环． 13. 请写出一个关于的一次函数表达式，使其图象满足如下条件：①与直线平行；②与轴正半轴相交．这个一次函数表达式可以是____________________． 14. 如图，网格中每个小正方形边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为______． 15. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出弦图，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．作的平分线交于点，的平分线交于点，若点，，在同一直线上，则的值为______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 18. 如图，在中，于点，为上一点，连接．若，试判断四边形形状，并说明理由． 19. 某校开展了安全知识竞赛，据统计，所有参赛同学的得分都不低于80分．现从该校八、九年级参赛学生中各抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，成绩得分用x（分）表示，共分成四组，；B：，下面给出了部分信息： 八年级抽取的学生C组的成绩为：92，92，93，94 九年级抽取的学生D组的成绩为：95，95，95，97，100 请根据相关信息，完成下列问题： （1）补全条形统计图； （2）被抽取八年级学生成绩的中位数为____________，被抽取九年级学生成绩的众数为__________； （3）成绩在95分以上（含95分）的同学被评为优秀，已知八年级有180名、九年级有184名同学参加知识竞赛，估计该校八、九年级共有多少名同学被评为优秀？ 20. 如图，为平行四边形的对角线． （1）尺规作图：作出的垂直平分线，垂足为O，分别与边交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接，求证：四边形是菱形． 21. 学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题． 是的面积 （是的面积）； （是的面积）； …．． （1）推算出____________；___________（为正整数）． （2）求出的值． 22. 小亮在学习物理后了解到：在弹性限度内，弹簧长度与弹簧测力计的拉力存在一次函数关系．他通过悬挂不同质量的物体，测量对应的弹簧长度，验证了该结论．实验过程中，他将所得的几组数据制成如下表格，其中拉力读数为，弹簧长度为． … 1 2 3 4 5 … … 3.6 ▲ 6.8 8.4 10.0 … （1）根据表格中相关数据求出与之间的函数关系式； （2）小亮发现表格中拉力为2N时，弹簧长度对应的数据模糊不清，请你帮他计算出该数据； （3）若弹簧的安全使用长度不能超过14.8cm，求弹簧可承受的最大拉力是多少N？ 23. 如图，四边形是正方形，对角线，相交于点．点是线段上一点（不与O，C重合），连接，．点在的延长线上，且． （1）请直接写出和的数量关系：____________； （2）求证：； （3）探究与的数量关系，并说明理由． 24. 已知直线经过两点． （1）求直线的解析式． （2）点是平面内一点，是否存在以A，B，O，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图1，点关于轴的对称点为点，点在轴上，连接BE，将沿BE翻折到，直线与轴相交于点． ①当点落在第四象限时，求的取值范围； ②若是直角三角形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$