精品解析：湖南省湘西州凤凰县2024-2025学年九年级下学期5月学情诊断模拟数学试题

2025年初中学情诊断(3) 九年级数学试题卷 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回． 4．本试卷三大题，26小题，满分120分，时量120分钟． 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四个图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，下列关于该几何体三视图的描述：①主视图是中心对称图形；②左视图是轴对称图形；③俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ②③ 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 正方形的对角线互相平分 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 菱形的四条边相等 6. 若一组数据，，，，的中位数和平均数相等，则的值为（ ） A. 0 B. 5 C. D. 0或5 7. 如图，是的半径，弦，是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知点,分别是中、边的中点，，相交于点，，则四边形的面积是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马天可以追上慢马，可列方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；．其中正确的有（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在实数、、、中，其中有理数的个数是______个． 12. 在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为_______． 13. 方程的解是________________． 14. 定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为______． 15. 若关于x 的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 16. 如果函数是反比例函数，且当时随的增大而增大，此函数的解析式是___________________. 17. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 18. 某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有___________天． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 21. 如图，在四边形中，，点E在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，平分，，求的长． 22. 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是： 80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 m 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 ； （2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ； （3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选； （4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 23. 某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道， 经过测量知：米，米， 步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米) 24. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 25. 在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：（为常数且），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． （1）求直线与双曲线的切点坐标； （2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与都相切于同一点？若存在，求出为的解析式；若不存在，请说明理由； （3）将直线向上平移n个单位长度后，与（2）中所求的抛物线为交于两点，求出实数n，使得． 26. 约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“优美三角形”． （1）在图2中的中，若，则______（填“是”或“不是”）关于边的“优美三角形”； （2）如图3，已知为关于边的“优美三角形”，点是边的中点，以为直径的恰好经过点．求证：直线与相切； （3）已知为关于边的“优美三角形”，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学情诊断(3) 九年级数学试题卷 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须先将自己的姓名、准考证号分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌上，由监考老师统一收回． 4．本试卷三大题，26小题，满分120分，时量120分钟． 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四个图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 2024年春节假期云南全省文旅市场创假日旅游历史新高，总体上实现了快速发展、平安有序、安全文明、优质高效的目标，期间，云南全省共接待游客约4500万人次，用科学记数法可以把数字4500万表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：4500万即45000000， ， 故选：D． 3. 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，下列关于该几何体三视图的描述：①主视图是中心对称图形；②左视图是轴对称图形；③俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，轴对称图形和中心对称图形的定义，关键是要作出几何体的三视图．根据几何体，先画出它的三视图，再依据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判定． 【详解】解：如图所示： 主视图不是中心对称图形，故①说法错误； 左视图是轴对称图形，故②说法正确； 俯视图是中心对称图形，但不是轴对称图形，故③说法错误； 故选：B． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，以及幂的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算判断即可． 【详解】解：．，计算正确，故该选项符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：A． 5. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 正方形的对角线互相平分 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 菱形的四条边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B、正方形的对角线互相平分，是真命题，不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，故本选项命题是假命题，符合题意； D、菱形的四条边相等，是真命题，不符合题意； 故选：C． 6. 若一组数据，，，，的中位数和平均数相等，则的值为（ ） A. 0 B. 5 C. D. 0或5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：当时，数据排序为0，1，4，4，11，中位数为4， 平均数为，则符合题意； 当时，数据排序为1，4，4，5，11，中位数为4， 平均数为，则不符合题意； 当时，数据排序为，1，4，4，11，中位数为4， 平均数为，则不符合题意； 故选：A． 7. 如图，是的半径，弦，是上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理，证明，圆周角定理，证明，计算即可． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图所示，已知点,分别是中、边的中点，，相交于点，，则四边形的面积是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的面积，解题关键是根据线段的比值得出相应面积的比值，根据点、分别是中、边的中点，得出与的比值，再根据三角形的面积比即可得出结论． 【详解】解：点、分别是中、边的中点， ， ， ， ， ， 四边形的面积．   故选：C ． 9. 我国古代著作《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之，”题意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，设快马天可以追上慢马，可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设快马天可以追上慢马，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 根据题意得， 整理得：， 故选：． 10. 如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④；．其中正确的有（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，开口方向，对称轴，与轴交点判断①；结合对称轴和系数的符号，判断②；特殊点判断③，对称性，根与系数的关系判断④． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴；故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴；故③正确； ∵的图象与轴交于两点，，， ∴， ∴；；故④正确； 正确的是：①③④， 故选C． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 11. 在实数、、、中，其中有理数的个数是______个． 【答案】 【解析】 【分析】整数和分数统称为有理数，先将所给的数进行化简，再根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，它是整数， ，它是整数， ，都是分数， ∴它们个均为有理数， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的定义，算术平方根，立方根．掌握有理数的定义是解题的关键． 12. 在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球．已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率公式是解题的关键，根据题意先求得白球有个，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：∵共有10个小球，任意摸出一球是白球的概率为， ∴白球有（个）， 若袋子中再加入2个红球， ∴摸出一球是白球的概率为为； 故答案为：． 13. 方程的解是________________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 检验：将代入， 则是原方程的根． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 14. 定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，若一个等腰三角形恰好是“倍角三角形”，则它的顶角度数为______． 【答案】36°或90° 【解析】 【分析】设三角形两个相等角的度数是x，则顶角为2x或x，根据三角形内角和定理构建方程即可； 【详解】设三角形两个相等角的度数是x，则顶角为2x或x， ∵x+x+2x=180°或2x+x=180° 解得x=45°或72° ∴2x=90°，x=36°， 故它的顶角的度数是90°或36°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键，需要注意分类讨论． 15. 若关于x 的方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式即可得． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 方程根的判别式，且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 16. 如果函数是反比例函数，且当时随的增大而增大，此函数的解析式是___________________. 【答案】 【解析】 【详解】解：有题意可得： 当时，随的增大而增大， 函数的解析式是： 故答案为： 【点睛】本题考查反比例函数的解析式有三种形式： 17. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：过F作于G， 由作图得：平分，，， ∴， 在中根据勾股定理得：， ，， ， ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 在中根据勾股定理得：． 故答案为：． 18. 某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有___________天． 【答案】11 【解析】 【分析】本题是一道关于天气情况的方程求解的问题．解题关键在于根据所给的 “早晨下雨则晚上晴天”“晚上下雨则早晨晴天” 以及下雨天数、早晚晴天天数等条件，建立方程来求解总天数． 解法一：设早晨下雨天数为，总天数为． 依据“早晨下雨天数与早晨晴天数关系”以及“晚上下雨天数与晚上晴天数关系”列出方程组．求解方程组得出总天数；解法二：设总天数为，早晨下雨天数为，晚上下雨天数为． 根据“下雨总天”“晚上晴天数”“早晨晴天数”这三个条件列出三元一次方程组， 解方程组即可． 【详解】解：解法一：设有x天早晨下雨，这一段时间有y天， 根据题意得：， ①+②得：， ． 所以一共有11天； 解法二：设一共有x天，早晨下雨的有y天，晚上下雨的有z天， 根据题意得：， 解得：． 所以一共有11天． 故答案为：11． 三、解答题（本题共8小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】分别化简各数，再作加减法． 【详解】解： = = =0 【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则． 20. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义．先将原式化简，然后从，，，四个数中选取使得原分式有意义的的值代入化简后的分式即可解答本题． 【详解】解： ， 由题意可知，，， ，， 当时，原式（当时，原式）． 21. 如图，在四边形中，，点E在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，平分，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）首先根据得到，然后结合即可证明出四边形是平行四边形； （2）利用角直角三角形的性质求得的长，再利用角直角三角形的性质和勾股定理求得，再根据平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴． 22. 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是： 80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 m 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 ； （2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ； （3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选； （4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 【答案】（1）83.5 （2）①八，②该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数； （3）88 （4）八年级达到优秀的人数为120人． 【解析】 【分析】(1)根据八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分，即可求出m的值； (2)根据八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论； (3)根据题意可得在抽取的50名学生中，必须有15人参加线上建党知识竞赛，观察直方图成绩是90至100分的有13人，进而可作出判断； (4)用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数． 【小问1详解】 八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分， ∴m= = 83.5(分)； 故答案为： 83.5； 【小问2详解】 在八年级排名更靠前，理由如下： ∵八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分， ∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数， ∴在八年级排名更靠前； 故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数； 【小问3详解】 根据题意得： ×50=15(人) 则在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛， 所以至少达到88分； 故答案为： 88； 【小问4详解】 因为成绩85分及以上有20人， 所以300= 120(人)， 所以八年级达到优秀的人数为120人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． 23. 某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道和观光索道， 经过测量知：米，米， 步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为求山顶点C到地面的距离的长.(图中所有点都在同一平面内，， 参考数据： ，最后结果精确到1米) 【答案】米． 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的概念是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，求出米，得到米，求出，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵步行道的坡度 ，观光索道与水平线的夹角为 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得米， ∴米， ∵ ∴（米） ∴（米）． 答：山顶点C到地面的距离的长为米． 24. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共15个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元 （2）购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需费用最少为10万元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识点， （1）设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得，再设所需费用为w元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论； 熟练掌握（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式是解决此题的关键． 【小问1详解】 设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价是0.8元，乙型充电桩的单价是0.6元； 【小问2详解】 设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需费用为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时， ∴w取得最小值为10万元， 此时，， 答：购买甲型充电桩5个，乙型充电桩10个，所需最少费用为10万元． 25. 在平面直角坐标系中，设直线l的解析式为：（为常数且），当直线l与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线l与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”． （1）求直线与双曲线的切点坐标； （2）已知一次函数，二次函数，是否存在二次函数，其图象经过点，使得直线与都相切于同一点？若存在，求出为的解析式；若不存在，请说明理由； （3）将直线向上平移n个单位长度后，与（2）中所求的抛物线为交于两点，求出实数n，使得． 【答案】（1） （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直线和双曲线的解析式得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，即可求解； （2）根据直线与得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，求出切点的坐标，求出抛物线的表达式为：，联立直线与得到关于的一元二次方程，根据方程有唯一解，得出根的判别式，据此列出关于的一元二次方程，求出的值，即可得出抛物线的解析式； （3）由（2）知，抛物线的表达式为：，将直线向上平移n个单位长度后，表达式为：与交于两点，设，，可得，，则过点，分别作，垂直于轴，垂足为，，证得，可知，进而可得，即，亦即：，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：解：由题意可知直线与双曲线有且只有一个公共点，即：只有一个解， 整理得：， 解得：， 当时，， 则切点坐标为：． 【小问2详解】 存在，理由： ∵与相切， 由题意可得，， 整理得： 解得：， 当时，， 则切点为：； ∵直线与，都相切于同一点， 即与的切点在图象上， 将、代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵与相切， 联立，得， 整理得：， 则该一元二次方程有唯一解，即， 整理得： 解得：， 故抛物线的表达式为：． 【小问3详解】 由（2）知，抛物线的表达式为：， 将直线向上平移n个单位长度后，表达式为： ∵与交于两点，设， ∴，整理得：， ∴，， 则 过点，分别作，垂直于轴，垂足为，，则， 则， ∴， ∴， ∴，即：， ∴，即， 亦即：，整理得：， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的综合应用，相似三角形的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系等，根据一元二次方程根与系数的关系建立方程求解是解决问题的关键． 26. 约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“优美三角形”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“优美三角形”． （1）在图2中的中，若，则______（填“是”或“不是”）关于边的“优美三角形”； （2）如图3，已知为关于边的“优美三角形”，点是边的中点，以为直径的恰好经过点．求证：直线与相切； （3）已知为关于边的“优美三角形”，，，求的面积． 【答案】（1）是 （2） 证明：如图，连接， ， 为关于边的“优美三角形”， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用两边成比例，夹角相等证明，即可得解； （2）连接，证明，得出，即可得证； （3）过点作于，分两种情况：若；若；分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：为边上的中线，， ， ， ， ， 是关于边的“优美三角形”， 故答案为：是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点作于， ， 为关于边的“优美三角形”，， ， 若，则， ， 在中，，则， ； 若，则， ， 在中，，设，则，， ， 由勾股定理得：，即， 解得：， ； 综上所述，的面积为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $