福建省福州高级中学2025届高三第一次适应性测试数学试题

福州高级中学2025届高三第一次适应性测试数学试题 命卷：张平 审卷：汤钧 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．函数 的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 5．展开式中，项的系数为（　　） A．5 B．-5 C．15 D．-15 6．已知函数的部分图象如图所示．若，，，四点在同一个圆上，则（   ） A．1 B． C． D． 7．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等是在地球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等和绝对星等M满足，其中是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地球约326光年，恒星A，B的视星等满足，则（    ） A． B． C． D． 8．点M、N为正四面体的内切球球面上的两个动点，T为棱上的一动点，则当取最大值时，（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．一组数5，7，9，11，3，13，15的第60百分位数是11 B．若随机变量，满足，，则 C．一组数据的线性回归方程为，若，则 D．某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的男生人数为，则服从超几何分布 10．等差数列中，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则， 11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为 . 13．如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于 ． 14．我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列满足．设． (1)求证：数列是等比数列，并求数列通项公式； (2)设数列，且对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 16．（15分）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 17．（15分）在中，，为的中点，. (1)若，求的长； (2)若，求的长. 18．（17分）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 19．（17分）如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为.在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点.在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧. (1)当时，求的长度；当时，试将的长度表示成关于的表达式； (2)（i）在图二中，当时，若点将半圆均分成5等份，求； （ii）证明：. 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$