精品解析：北京市房山区北京师范大学良乡附属中学高一直升班和1+3下学期期末测试数学试题

良乡附中直升班和1+3第二学期期末测试卷 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为，函数的值域为，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 10. 已知函数，其中．若在上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______． 12. 不等式的解集为________. 13. 若关于的不等式的解集为，则的值为______. 14. 已知函数，则______；的单调递增区间为______． 15. 设函数 ①若，则的最小值为 ； ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ． 三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求不等式的解集． 17. 已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数． （1）求a的值； （2）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 18. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 19. 已知函数，其中且． （1）已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； （2）若，求的最小值； （3）若在区间上的最大值为2，求a的值． 20. 两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． （1）把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； （2）为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 21. 已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设. （1）求，的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 22. 已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． （1）若集合，直接写出所有满足条件的集合； （2）已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 良乡附中直升班和1+3第二学期期末测试卷 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、单选题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可. 【详解】命题的否定是. 故选：B 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 3. 将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象变换关系进行求解即可 【详解】将函数的图象向左平移1个单位，得到， 再向下平移1个单位，得到， 所以， 故选：A 4. 已知函数，满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知函数为增函数，然后列出式子计算即可. 【详解】由题可知：任意的实数，都有成立 所以函数为上的增函数，所以，得到，即 故选：C 5. 函数的定义域为，函数的值域为，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数定义域及值域化简集合，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数中，，即，解得，即， 函数的值域，集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 一种细胞的分裂速度（单位：个/秒）与其年龄（单位：岁）的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的．若这种细胞5岁和60岁的分裂速度相等，则（ ） （参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得以及，解方程组即可求出. 【详解】由已知细胞5岁和60岁的分裂速度相等，即， 所以，整理得①， 又分裂速度变化是连续的，则，整理得， 所以， 解得 故选：B, 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据指数函数在上的单调性比较，的大小；再根据幂函数在上的单调性比较，的大小即可求解. 【详解】∵函数在上单调递减，且，，即. ∵函数在上单调递增，且，，即. . 故选：C. 8. 如图，函数的图象为折线段，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，解不等式求结论. 【详解】函数的图象为折线段，且, 故可设， 且，，， 所以，， 所以， 当时，不等式可化为，， 即，故（舍去）， 当时，不等式可化为，， 即，故. 所以不等式的解集是. 故选：D. 9. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对参数范围分类讨论，再结合复合函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由对数函数性质得或，下面，我们对的范围进行分类讨论， 令，则是由和构成的复合函数， 当时，由对数函数性质得单调递增， 由一次函数性质得单调递减， 由复合函数性质得单调递减，不符合题意，故排除， 当时，由对数函数性质得单调递减， 若在区间上单调递增，故在区间上单调递减， 此时，解得，且恒成立， 由一次函数性质得的最小值为， 得到，解得， 综上，得到的取值范围为，故B正确. 故选：B 10. 已知函数，其中．若在上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知的最大值为，且，求得，结合图像即可得结果. 【详解】当时，在内单调递减， 则，且； 若在上的值域为， 则在上的最值点在内， 可知的最大值为，且，可得， 令，解得或， 结合的图像可知实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于定义域和值域的开闭问题，可知在上的最值点在内，进而结合二次函数分析最值. 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得解出即可. 【详解】要使函数有意义， 则，即， 所以函数的定义域为：， 故答案为：. 12. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式转化为不等式组可解得. 【详解】解：原不等式等价于不等式组 解得， 所以所求不等式的解集为. 故答案为: . 【点睛】本题考查了分式不等式,一元二次不等式,属于基础题. 13. 若关于的不等式的解集为，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，转化为和是方程的两个实数根，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解. 【详解】由关于的不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 可得，解得，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，则______；的单调递增区间为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】代入求出函数值；利用分段函数单调性求出递增区间. 【详解】函数，则； 函数在上单调递增，在上单调递增， 而当时，， 所以函数的单调递增区是. 故答案为：； 15. 设函数 ①若，则的最小值为 ； ②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】(1)-1，(2)或. 【解析】 【详解】①时，，函数在上为增函数且，函数在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为-1； （2）①若函数在时与轴有一个交点，则， ，则，函数与轴有一个交点，所以； ②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当当时与轴有无交点，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或. 考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论. 三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式求出定义域. （2）利用对数函数单调性，结合对数运算求解不等式. 【小问1详解】 函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 不等式， 则，即，解得或， 所以原不等式的解集为. 17. 已知函数的图象关于原点对称，其中a为常数． （1）求a的值； （2）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出，检验，舍去，时满足要求； （2）变形得到，根据函数单调性求出的最大值，从而得到. 【小问1详解】 函数的图象关于原点对称， 则函数为奇函数，有， 即，解得， 当时，，不满足真数大于0，不满足题意， 当时，满足要求， 故； 【小问2详解】 由，得，即， 令，易知在上单调递减， 则的最大值为．又当时，恒成立， 即在恒成立，所以． 18. 已知关于的方程. （1）若该方程的解集中只有一个元素，求的值； （2）若，且当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）或 （2） （3） 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分当和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解； （2）当时，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解； （3）根据题意，不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由关于的方程， 当时，方程即为，解得，满足题意； 当时，若该方程的解集中只有一个元素，则满足， 即，解得， 综上可得，实数的值为或. 【小问2详解】 解：当时，不等式为，即， 由时，恒成立，即为时，恒成立， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 即实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：由不等式，可化为， 因为，可得，即为， 当时，即时，解得，不等式的解集为； 当时，即时，不等式为，此时不等式的解集为； 当时，即时，解得，不等式的解集为， 综上可得： 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数，其中且． （1）已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； （2）若，求的最小值； （3）若在区间上的最大值为2，求a的值． 【答案】（1）； （2）； （3）3. 【解析】 【分析】（1）求出即可得出结果； （2）由已知，令，，可得，即可求出最小值； （3）令，则.分类讨论当以及时，根据指数函数的单调性求出在上的值域.进而根据二次函数的性质，求出最大值，根据已知得到方程，求解即可得出a的值． 【小问1详解】 因为，所以定点坐标为. 【小问2详解】 当时，. 令，. 则，当，即时，函数有最小值. 【小问3详解】 令，则. ①当时，可知在上单调递减，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或. 因为，所以两个数值均不满足； ②当时，可知在上单调递增，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或（舍去），所以. 综上所述，. 20. 两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． （1）把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； （2）为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】（1），； （2）当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【小问1详解】 依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 21. 已知函数（）在区间上有最大值4和最小值1.设. （1）求，的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的对称轴，利用二次函数的性质判断函数在区间上的单调性，利用最值求参数a和b； （2）将原不等式转化为求函数的最值. 【小问1详解】 的对称轴为，因为， 所以在区间上的单调递增， 所以，， 解得，. 【小问2详解】 ，， 因为不等式在上有解，令， 则在上有解，代入得，即， 令，则在上有解， 因为在处取得最大值1，所以，实数的取值范围. 【点睛】（1）判断二次函数的对称轴，进而判断单调性，求最值； （2）换元，分参，将原不等式转化为求函数的最值. 22. 已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． （1）若集合，直接写出所有满足条件的集合； （2）已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 【答案】（1），，，； （2）（ⅰ）又，，，， 由①知，，， 由②知，， （ⅱ）因为中至少有个元素，， 不妨设，其中，互不相等的整数， 则，且， 所以中至少存在两个正整数， 不妨设，，，又， 由①知，，，， 由②知，，， 故由，，，，可推出， 同理由可推出，， 由，可推出， ， 所以对于大于等于的正整数，都属于， 因为， 由（ⅰ），，，， 所以任意的正整数都属于， 所以. 【解析】 【分析】（1）由条件证明，设设，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（ⅰ）由条件先证明，再证明， （ⅱ）先证明中至少有两个正整数，设正整数，由此证明，同理证明出大于等于的正整数属于，结合（ⅰ）证明小于的正整数属于，由此完成证明. 【小问1详解】 因为，又，且，总有， 所以，即， 设，由，且，总有， 可得， 所以或或， 但， 所以满足条件的集合有，，，； 【小问2详解】 略 【点睛】解新定义题型的步骤：（1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.（3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $