精品解析：福建省泉州市十校2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

2025年春季期末联考高二年数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知盒中有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中6个白球和4黑球.从盒中一次随机地取出2个球，其中至少有1个黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________. 5. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 美妙的声音无处不在，各种噪音也会时时影响人们的生活，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB）．对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设dB的声音强度为，dB的声音强度为，则是的（ ） A. 倍 B. 10倍 C. 倍 D. 倍 7. 设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于函数和，下列正确的有（ ） A. 与有相同零点 B. 与有相同最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 10. 如图，在直三棱柱中，，，M为的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为12π 11. 针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的.女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）人 附表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附：， A. 40 B. 45 C. 63 D. 70 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为_______． 13. 已知是定义在上的可导函数，若，则___________． 14. 毕业晚会结束后，学生们排队合影留念.将10个座位和10名学生从1-10进行编号，编号为1的学生先从10个座位中任选一个，从编号为2的学生开始按照编号从小到大的顺序依次选座，选座规则为：若学生编号对应的座位未被选，则该学生坐在对应编号的座位，若学生编号对应的座位已被选，则该学生从剩余的座位中任选一个，则3号学生坐在3号座位的概率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5的浓度y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （1）根据上表数据，请在坐标系中画出散点图； （2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；若周六同一时间段车流量是25万辆，预测此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）? 参考公式：，. 16. 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知，，分别为内角，，的对边： （1）请用向量方法证明余弦定理； （2）若，其中为边上的中线，求的长度. 17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 18. 如图所示，在四棱锥中，底面，四边形中，，，，． （1）求证：平面平面． （2）设． ①直线与平面所成的角为，求线段的长； ②线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，讨论零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季期末联考高二年数学科试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的概念，为全集中不属于的所有元素组成的集合，需要逐个检查中的元素，找出不在集合中的元素. 【详解】∵集合，， . 故选：C. 2. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算计算即可. 【详解】由得 故选：C. 3. 已知盒中有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中6个白球和4黑球.从盒中一次随机地取出2个球，其中至少有1个黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】依题意，至少有1个黑球的概率为. 故选：B 4. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________. 【答案】2 【解析】 【分析】由图得，根据向量与共线，结合共线向量基本定理设，即可解得实数的值. 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 5. “”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】当“”时，如，，故不能推出“” .当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题. 6. 美妙的声音无处不在，各种噪音也会时时影响人们的生活，不同场合人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB）．对于一个强度为I的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设dB的声音强度为，dB的声音强度为，则是的（ ） A. 倍 B. 10倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度与声音强度的值，再计算出倍数． 【详解】解：由题意，得，则有．同理得，所以． 故选：B 7. 设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设事件A，B发生的概率分别为，，则，而A与B都发生的概率，根据基本不等式求解即可． 【详解】解：设事件A，B发生的概率分别为，，则 ， ∴， 当且仅当时取“=”， 或（舍）， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查基本不等式的运用，属于基础题． 8. 若定义在上的函数，且，，函数在区间上的所有零点为，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的周期性作出函数的图象，再作出的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】因为，且当时，关于对称， 所以的函数图象在上关于点对称， 又，所以的周期， 因此的图象关于点对称， 又的图象关于点对称， 所以在上的所有零点两两关于点对称， 作出与的函数图象如图所示： 由图象可知与在区间上有8个交点， 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 对于函数和，下列正确的有（ ） A. 与有相同零点 B. 与有相同最大值 C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出两函数的零点判断A；根据最大值判断B；求出两函数的最小正周期判断C；求出两函数的对称轴判断D. 【详解】令，解得：；令，解得：； 所以与零点不相同，故A错误； 与有相同最大值1，故B正确； 与与的最小正周期都是， 所以函数和最小正周期都为，故C正确； 与有相同的对称轴为，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在直三棱柱中，，，M为的中点，则（ ） A. B. 三棱锥的体积为 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球的表面积为12π 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A:已知，M为的中点，利用直三棱柱的性质，有，，.利用勾股定理，得出、、，再根据勾股定理得出与间的关系，判断选项A;选项B: 设N，G分别为，的中点，连接，，，，易得平面，即为三棱锥的高，根据三棱锥体积公式计算；选项C：易知，则与所成的角为，根据勾股定理和直三棱柱的性质，解三角形即可；选项D：根据三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球，结合球面积公式求解. 【详解】在直三棱柱中，有，，. 因为，M为的中点， 所以，. 又，所以，， 则，从而与不垂直，A不正确. 如图，设N，G分别为，的中点，连接，，，， 因为,,,,与交于点F，所以平面， 则，B正确. 因为M、G为、的中点，四边形为矩形，所以，则与所成的角为， 由，， 得，C正确. 底面和完全一样，直三棱柱的外接球经过三棱锥所有的点，球心为中点，直径为, 故三棱锥的外接球即为直三棱柱的外接球， 该外接球的直径为， 则三棱锥的外接球的表面积为，D正确. 故选：BCD. 11. 针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的.女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ）人 附表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附：， A. 40 B. 45 C. 63 D. 70 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合卡方分布的计算公式得到方程进而求解出，从而得到结果. 【详解】设男生人数为n，则男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，所以，， 由题意知，，且n是5的整数倍. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项. 【详解】展开式通项为：； 令，解得：，展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的可导函数，若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数定义的极限表达式代入计算可得结果. 【详解】由导数定义可知. 故答案为： 14. 毕业晚会结束后，学生们排队合影留念.将10个座位和10名学生从1-10进行编号，编号为1的学生先从10个座位中任选一个，从编号为2的学生开始按照编号从小到大的顺序依次选座，选座规则为：若学生编号对应的座位未被选，则该学生坐在对应编号的座位，若学生编号对应的座位已被选，则该学生从剩余的座位中任选一个，则3号学生坐在3号座位的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到1号学生选择1，2，3号座位的概率，接着利用条件概率求解出，，，再结合全概率公式求解即可. 【详解】设事件分别为1号学生选择1，2，3号座位， 事件为1号学生选择4-10号座位，易知，. 设事件B为3号学生坐在3号座位，所以，，， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5的浓度y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （1）根据上表数据，请在坐标系中画出散点图； （2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；若周六同一时间段车流量是25万辆，预测此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）? 参考公式：，. 【答案】（1） （2）37 【解析】 【分析】（1）将表中数据描出即可 （2）求出y关于x的线性回归方程，带入，求解即可. 【小问1详解】 散点图如图所示； 【小问2详解】 ∵， ， ∴，， ∴， ∴， ∴y关于x的线性回归方程是：； 当时，， 所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37. 16. 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，也是在勾股定理的基础上，增加了角度要素而成.而对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，向量与三角形的知识有着高度的结合.已知，，分别为内角，，的对边： （1）请用向量方法证明余弦定理； （2）若，其中为边上的中线，求的长度. 【答案】（1） 如图，设， 则有，可得， ， . （2）. 【解析】 【分析】（1）如图，设，由三角形法则有，利用数量积的性质展开可得，即可得出结论. （2）如图，由（1）求出的值，两次在不同三角形中利用即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， ， 如图，则，， ， 在中， ， 解得. 17. 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，估计这位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） （2）若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； （3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，，的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望． 附参考数据：若，则①；②；③． 【答案】（1） （2） （3）的分布列为： 0 1 2 3 期望为【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图以及平均数的计算方法计算即可； （2）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （3）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【小问1详解】 根据频率分布直方图得： ． 【小问2详解】 由题意知，即， 所以． 【小问3详解】 由题意可知，和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面，四边形中，，，，． （1）求证：平面平面． （2）设． ①直线与平面所成的角为，求线段的长； ②线段上是否存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等？说明理由． 【答案】（1）平面，平面， ， 又，，平面， 平面， 又平面， 平面平面. （2）①； ②不存在，解法一：如图所示，假设线段上存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等． 设，则，，． 因此由，得，即， 又由，得， 联立两式，消去并化简，得，由 ∵方程没有实数根， ∴在线段上不存在一个点，使得点到点，，，的距离都相等． 解法二：假设在线段上存在一个点到、、、的距离都相等， 由，得， 从而，即， 所以， 设，则，， 在中， ， 这与矛盾， 所以在线段上不存在一个点，使得点到、、的距离都相等， 从而，在线段上不存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）①以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的定义，结合空间向量夹角公式进行求解即可； ②解法一：假设存在，设，利用空间距离公式得到方程，推出方程无解，即可判断；解法二：假设存在，根据题意，结合勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）， 在平面内，作交于点， 则 在中，， 设，则，， 由，得， 所以，，, ， 设平面的法向量为， 由，，得， 取得平面的一个法向量为， 又， 故由直线与平面所成的角为得， 即 解得或（舍去，因为），所以； ②略 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，讨论零点的个数. 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）利用切线的斜率是导数的值结合直线的方程求解即可， （2）单调递增转化为函数在这个区间内导函数大于或者等于零求解出范围即可， （3）利用导数结合极值点和最值点以及函数零点的存在定理求解即可. 【小问1详解】 当时，，， 所以切点为（0，0） 所以，， 即切线的斜率为1，由点斜式直线方程得，所以切线方程为； 【小问2详解】 因为，由函数在上单调递增，则， 即在上恒成立. 令，，. 当时，，所以恒成立. 所以在上单调递增，所以 所以，a的取值范围； 【小问3详解】 由，则. 所以是的一个零点. 因为，由（2）知，函数在上单调递增，，无零点. ①当时，∵，∴，∴，无零点. ②当时，∵，设，， ∴在上递增，又∵，， ∴存在唯一零点，使得 当时，，在上递减； 当时，，在上递增，所以， 又，，， 所以，函数在上有且仅有1个零点. 综上，当时，函数有且仅有2个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $