精品解析：云南省昆明市五县区2024-2025学年八年级下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年昆明市五县区八年级下学期 数学期末联考 （全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 0.6，0.8，1 B. 1，3，10 C. 5，10，12 D. 3，4，5 4. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数的图象与轴交点的纵坐标是，当时，，则它的解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，通常两个雨刮器的刷片长度相同，即.某时刻汽车雨刮器的位置如图所示，此时，则下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. C. D. 8. 已知两点在直线上，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 11. 已知一次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 该函数图象经过点 B. 该函数图象可以由向上平移4个单位得到 C. 该函数图象与轴的交点坐标为 D. 该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为12 12. 如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 13. 正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在(　　) A. －4和－3之间 B. －3和－2之间 C. －5和－4之间 D. －6和－5之间 15. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ） A. 由图象可知； B. 方程组的解为； C. 方程的解为； D. 当时． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 17. 如图，小云将一个三角形模型的一边放在直尺上，点分别对应刻度尺上的刻度2和8（单位：cm），点为的中点．若，则__________． 18. 在一次演讲比赛中，小南的演讲内容、演讲效果成绩分别为分和分，若按照演讲内容占，演讲效果占计算选手的综合成绩，则小南的综合成绩为__________分． 19. 如图，正方形纸片的边长为6，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在点处，已知，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，在中，，为线段上一点，，连接．若，求的长度． 22. “松茸云岭玉盘中，香透千山诱客瞳．毒影暗藏欢宴里，胭脂红处是惊风．”野生菌虽美味，但也要注意食用安全．为增强学生食用野生菌的安全意识，某校甲、乙两班联合举办了“野生菌知识竞赛”，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生的成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制折线统计图如下： 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 乙班 82.25 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，____（填“”“”或“”）； （2）你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； （3）甲班有学生52人，乙班有学生48人，按竞赛规定；80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 23. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 24. 请你根据下列素材，解决问题1和问题2． 背景 云南是我国茶叶和咖啡的主要生产地，其独特的生长环境，使得云南咖啡及茶叶以其独特的风味和品质备受推崇． 素材1 某公司计划购买茶叶和咖啡两种伴手礼，用于发放活动奖品．已知购买2盒茶叶和3盒咖啡，需560元；购买4盒茶叶和1盒咖啡，需520元． 素材2 该公司计划购买茶叶和咖啡两种伴手礼共计100盒，且购买茶叶的数量不超过咖啡数量的2倍． 解决问题 问题1 求每盒茶叶和每盒咖啡的价格分别为多少元？ 问题2 设该公司购买茶叶和咖啡的总费用为元，则的最小值为多少？ 25. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形： （2）若，求与之间的距离． 26. 探究一次函数的性质时，我们经历了“确定函数解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象，利用函数图象研究函数性质，利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表： … 0 1 2 3 … … 1 0 1 3 4 … 则__________，__________； （2）描点、连线，在所给坐标系中画出函数的图象； （3）结合函数图象，写一条函数的性质__________； （4）进一步探究函数图象，当时，自变量的取值范围是__________； 27. 【问题提出】 如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数． 方 法 一 在边上截取．易证是等腰直角三角形．接着可以证明，得到，从而可得与的关系． 方 法 二 过点作，垂足为点，易证，从而可得，所以．又，所以是等腰直角三角形，从而可得与的关系． 根据以上方法，直接写出_____； （2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，，如图3，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年昆明市五县区八年级下学期 数学期末联考 （全卷三个大题，共27个小题，共8页，满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式判断，涉及二次根式定义，根据最简二次根式的定义，按照满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐项判断即可得到答案，熟记二次根式定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、中被开方数，无平方因子，且非分数，符合最简二次根式条件，符合题意； B、中被开方数，含平方因子，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意； C、中被开方数为分数，分母有理化为，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数为分数，分母有理化为，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 数学是严谨的逻辑与优美的艺术相结合的学科．下列四个漂亮的数学图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练函数的定义是解题的关键． 设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； B．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； C．中图象，对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么就说y不是x的函数，不符合题意； D．中图象，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，符合题意． 故选：D． 3. 勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．下列各组数中是勾股数的是（　　） A. 0.6，0.8，1 B. 1，3，10 C. 5，10，12 D. 3，4，5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、0.6和0.8不是正整数，不满足定义，选项错误； B、，不满足定义，选项错误； C、，不满足定义，选项错误； D、，满足定义，选项正确； 故选：D． 4. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念及运算，由平方根及算术平方根的计算方法逐一验证各选项的正确性即可得到答案．熟记平方根和算术平方根的概念及运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、平方根表示正负两个根，应为，而等式右边仅写，等式不成立，选项计算错误，不符合题意； B、被开方数为，的算术平方根应为，但等式结果为，等式不成立，选项计算错误，不符合题意； C、平方与求平方根互为逆运算，（），故，等式成立，选项计算正确，符合题意； D、左边，右边，显然，等式不成立，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 6. 已知一次函数的图象与轴交点的纵坐标是，当时，，则它的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，掌握y轴上点的横坐标为0及二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意可知：该函数过、，然后代入中得到关于k、b的二元一次方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知：该函数过、， 把、代入中， 得，解得：， 所以一次函数的解析式是． 故选:D． 7. 汽车雨刮器是扫除车窗玻璃上妨碍视线的雨雪和尘土的重要工具，通常两个雨刮器的刷片长度相同，即.某时刻汽车雨刮器的位置如图所示，此时，则下列说法错误的是（ ） A. 四边形是平行四边形 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答． 【详解】解：， ， 又， 四边形是平行四边形， ，，， 故选项B错误，符合题意； 故选：B． 8. 已知两点在直线上，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性与一次项系数的关系成为解题的关键． 根据一次函数的一次项系数判断函数的增减性，进而比较两点横坐标的大小即可解答． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵两点在直线上且， ∴． 故选C． 9. 如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和圆的面积，解题关键是将勾股定理和圆的面积公式进行灵活的结合和应用． 根据圆的面积公式及勾股定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、， ∴在中，， ∴， 即， ， 故选：B． 10. 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．根据将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，即可求出圆柱形水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，直到水槽注满为止．圆柱形水杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，沿水槽内壁向水橧内匀速注水，水开始时不会流入圆柱形水杯，因而这段时间不变，当水槽内的水面与圆柱形水杯水平时，开始向圆柱形水杯中流水，随的增大而增大，当水注满圆柱形水杯后，圆柱形水杯内水面的高度不再变化 ，故C 正确，B错误． 故选：C． 11. 已知一次函数，下列说法中正确的是（ ） A. 该函数图象经过点 B. 该函数图象可以由向上平移4个单位得到 C. 该函数图象与轴的交点坐标为 D. 该函数图象与坐标轴围成的三角形面积为12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数性质，逐一验证各选项是否符合一次函数的性质即可． 【详解】解：A. 将代入，得，故A错误； B. 函数由向上平移4个单位得到，平移方式正确，故B正确； C. 令，解方程，得，故x轴交点坐标为，而非，故C错误； D. 函数与x轴交于，与y轴交于，围成三角形面积，故D错误． 故选：B． 12. 如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5m处，发现此时绳子底端距离打结处约1m．如果设旗杆的高度为x m，那么根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；由题意可直接进行求解 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D 13. 正比例函数（）的图象经过第二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，掌握它们的性质是解题的关键；由正比例函数（）的图象经过第二、四象限，得，则一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大，从而可判断一次函数经过的象限，由此即可判断． 【详解】解：∵正比例函数（）的图象经过第二、四象限， ∴， ∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且函数值随自变量的增大而增大， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限； 故选：B． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在(　　) A. －4和－3之间 B. －3和－2之间 C. －5和－4之间 D. －6和－5之间 【答案】A 【解析】 【详解】由勾股定理可得OP＝＝，而3<<4， 所以点A的横坐标在－4和－3之间． 故选A. 15. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ） A. 由图象可知； B. 方程组的解为； C. 方程的解为； D. 当时． 【答案】D 【解析】 【分析】先观察直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线与x轴交点的坐标可判断C；最后根据直线在直线的上方，确定自变量的取值范围解答D即可． 【详解】解：因为直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，所以； 则A正确； 因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程的解是， 则B正确； 因为直线与x轴交点的坐标是， 所以方程的解是， 则C正确； 因为从交点向左时直线在直线的上方， 所以当时，， 则D不正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 二次根式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 【详解】解：二次根式有意义， ， ． 17. 如图，小云将一个三角形模型的一边放在直尺上，点分别对应刻度尺上的刻度2和8（单位：cm），点为的中点．若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∵点为的中点．， ∴． 故答案为：3 18. 在一次演讲比赛中，小南的演讲内容、演讲效果成绩分别为分和分，若按照演讲内容占，演讲效果占计算选手的综合成绩，则小南的综合成绩为__________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：该选手的综合成绩为：， 故答案为：． 19. 如图，正方形纸片的边长为6，点分别在边上，将分别沿折叠，点恰好都落在点处，已知，则的长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，翻折变换，勾股定理，解题关键是要注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，由根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为6， ∴，， 根据折叠的性质得：，， 设， 则，，， ∵在中，， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为5． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式的运算法则，计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 21. 如图，在中，，为线段上一点，，连接．若，求的长度． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 又∵， 在中，由勾股定理得， ∴的长度为． 22. “松茸云岭玉盘中，香透千山诱客瞳．毒影暗藏欢宴里，胭脂红处是惊风．”野生菌虽美味，但也要注意食用安全．为增强学生食用野生菌的安全意识，某校甲、乙两班联合举办了“野生菌知识竞赛”，竞赛满分为100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生的成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制折线统计图如下： 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 82.25 80 乙班 82.25 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：______，______，____（填“”“”或“”）； （2）你认为哪个班成绩比较好，并说明理由（写出一条即可）； （3）甲班有学生52人，乙班有学生48人，按竞赛规定；80分及80分以上的学生可以获奖，估计这两个班获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）84，80， （2）乙班成绩比较好；理由：甲乙两班平均数相同，但乙班中位数比甲班高 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了统计图与统计表，求中位数、众数与根据数据的波动程度比较方差，样本估计总体等知识，掌握这些知识是关键． （1）按照求中位数与众数的方法进行即可；根据两个班抽取学生成绩的波动程度可判断方差的大小； （2）从中位数考虑或方差考虑即可； （3）样本估计总体，求出甲班优秀人数与乙班优秀人数的和即可． 【小问1详解】 解：将乙班学生成绩按高低排列，第4、5两个数分别为85、83，则； 甲班抽取的学生成绩中，80分出现的次数最多，则； 由折线统计图知，甲班的成绩波动程度小于乙班，则； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：乙班成绩比较好，理由：甲乙两班平均数相同，但乙班中位数比甲班高； 【小问3详解】 解：（人）， 答：这两个班获奖的总人数大约是人． 23. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1） （2），证明如下： ； （3）71 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2）略 （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 24. 请你根据下列素材，解决问题1和问题2． 背景 云南是我国茶叶和咖啡的主要生产地，其独特的生长环境，使得云南咖啡及茶叶以其独特的风味和品质备受推崇． 素材1 某公司计划购买茶叶和咖啡两种伴手礼，用于发放活动奖品．已知购买2盒茶叶和3盒咖啡，需560元；购买4盒茶叶和1盒咖啡，需520元． 素材2 该公司计划购买茶叶和咖啡两种伴手礼共计100盒，且购买茶叶的数量不超过咖啡数量的2倍． 解决问题 问题1 求每盒茶叶和每盒咖啡的价格分别为多少元？ 问题2 设该公司购买茶叶和咖啡的总费用为元，则的最小值为多少？ 【答案】问题1：每盒茶叶100元，每盒咖啡120元；问题2：10680 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设每盒茶叶元，每盒咖啡元，根据购买2盒茶叶和3盒咖啡，需560元；购买4盒茶叶和1盒咖啡，需520元；再建立方程组求解即可； （2）设该公司购买茶叶盒，则购买咖啡盒，再建立一次函数，结合一次函数的性质求解即可. 【详解】解：（1）设每盒茶叶元，每盒咖啡元． 由题意可得： ， 解得： 答：每盒茶叶100元，每盒咖啡120元． （2）设该公司购买茶叶盒，则购买咖啡盒． ∵ 解得： 又∵为整数 ∴，且为整数 ∵， ∴随的增大而减小 当时，（元）． 答：最小值为10680． 25. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，与相交于点． （1）求证：四边形是矩形： （2）若，求与之间的距离． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定、菱形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，掌握矩形的判定方法及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． （1）由条件可证得四边形为平行四边形，再由菱形的性质可求得，则可证得四边形为矩形． （2）过点做，易证，，由勾股定理得：，继而求出，，求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点做 ∵四边形是矩形， ∴， 由（1）得， ∴在中， 由勾股定理得：， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴ 即． 答：与之间的距离为． 26. 探究一次函数的性质时，我们经历了“确定函数解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象，利用函数图象研究函数性质，利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表： … 0 1 2 3 … … 1 0 1 3 4 … 则__________，__________； （2）描点、连线，在所给坐标系中画出函数的图象； （3）结合函数图象，写一条函数的性质__________； （4）进一步探究函数图象，当时，自变量的取值范围是__________； 【答案】（1）2；5 （2） 函数图象如下： （3）当时，随的增大而增大（答案不唯一，写出一条即可） （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）将和分别代入，即可求出a和b的值； （2）根据描点法即可画出图象； （3）结合图象，写出其一条性质即可； （4）结合图象，判断的图象在直线下方的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 将代入，得， 故答案为：2，5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结合图象可知函数图象关于轴对称，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故答案为：当时，随的增大而增大；（其他答案合理即可） 【小问4详解】 解：将代入，得， 解得：或， 由图象可知，当时，自变量的取值范围是， 故答案为：． 27. 【问题提出】 如图1，是菱形边上一点，是等腰三角形，，交于点，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数． 方 法 一 在边上截取．易证是等腰直角三角形．接着可以证明，得到，从而可得与的关系． 方 法 二 过点作，垂足为点，易证，从而可得，所以．又，所以是等腰直角三角形，从而可得与的关系． 根据以上方法，直接写出_____； （2）再探究一般情形，如图1，探究与的数量关系； 【问题拓展】 （3）将图1特殊化，，如图3，若，求的值． 【答案】（1）45；（2）；（3）20 【解析】 【分析】本题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似． （1）方法一：在上截取，使，连接，先证明得到，再由正方形的性质得到，则，可得到，则，进而得到． 方法二：延长，过点F作，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点A作的垂线交的延长线于点P，求出菱形的边长为40，由（2）知，，通过相似求出，即可解出． 【详解】解：方法一：在上截取，使，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 方法二：延长过点F作， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45； （2）在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． ∴ （3）过点A作的垂线交的延长线于点P， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， 由（2）知，． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴, 在上截取，使，连接，作于点O． 由（2）知，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $