精品解析：云南省大理州2024一2025学年下学期质量监测 八年级数学试题卷

大理州2024—2025学年下学期质量监测 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可． 【详解】解：A、中被开方数含有可开方的因数4，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、中被开方数含有分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，，5 B. 1.5，2.5，4 C. 4，5，6 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．根据勾股定理逆定理逐项计算即可． 【详解】解：A、∵， ∴，，5不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1.5，2.5，4不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． D、∵， ∴9，12，15能构成直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列图像中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，根据函数定义判断所给出的图像是否是函数．函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则x叫自变量，y是x的函数．根据定义再结合图像观察就可以得出结论． 【详解】解：根据函数定义，如果在某变化过程中，有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照对应法则，y都有唯一确定的值和它对应．而C中的y的值不具有唯一性，所以不是函数图像． 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，直角三角形的两锐角互余．由平行四边形的性质证明，结合，得到，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∵， ． ∴． 故选：A． 5. 为了落实“双减”政策，某学校对学生学期各学科的学业成绩规定如下：平时作业成绩占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．若小颖数学学科的平时作业成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别为80分，90分，92分，则小颖这学期数学学科的学业成绩为（ ） A. 92分 B. 90分 C. 89分 D. 85分 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义进行求解即可． 【详解】解：分， ∴小颖这学期数学学科的学业成绩为89分， 故选C． 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟知加权平均数的计算公式是解题的关键． 6. 如图，为测量位于一水塘旁，两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理．根据三角形中位线定理“三角形中位线等于第三边的一半”解答即可． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 7. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象经过第一、三、四象限 B. 函数图象与轴交点为 C. 函数图象可由直线向下平移1个单位长度得到 D 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的性质及正比例函数的性质等知识点．先根据题意画出示意图，再结合图形对所给选项依次判断即可解答． 【详解】解：一次函数的图象如图所示： A、函数图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； B、函数图象与y轴的交点坐标为，故本选项符合题意； C、将函数的图象向下平移1个单位长度，所得函数图象的解析式为，故本选项不符合题意； D、由函数图象可知：当时，，故本选项不符合题意． 故选：B． 8. 下列命题是假命题的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 矩形对角线相等且互相平分 C. 菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定和性质．根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定和性质定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则原命题是真命题，本选项不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，则原命题是真命题，本选项不符合题意； C、菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角，则原命题是真命题，本选项不符合题意； D、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，则原命题是假命题，本选项符合题意； 故选：D． 9. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘除法．结合选项分别进行二次根式的加减运算和乘除运算，然后选择正确选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能相加，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得M点表示的数． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵A点表示， ∴M点表示的数为：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理、实数与数轴，矩形的性质，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 11. 如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（ ） A. 40海里 B. 32海里 C. 24海里 D. 20海里 【答案】A 【解析】 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了32海里，24海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了(海里)，(海里)， 根据勾股定理得：（海里）． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 12. 若一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该正比例函数的解析式为：，代入点，即可求出，问题得解． 【详解】设该正比例函数的解析式为：， ∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， 即该正比例函数的解析式为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了求解正比例函数的解析式的知识，掌握正比例函数的基本形式，是解答本题的关键．正比例函数的基本形式：． 13. 3月23日早晨，“母亲河畔的奔跑-2013重庆国际马拉松赛”在南滨公园门口鸣枪开跑，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：其中，错误的说法是（ ） A. 起跑后小时内，甲在乙的前面 B. 第小时两人都跑了千米 C. 甲比乙先到达终点 D. 两人都跑了千米 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知起跑后1小时内，甲在乙的前面；在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了21千米；乙比甲先到达终点；根据纵坐标，可得两人跑的距离，则可求得答案． 【详解】解：根据图象得： 起跑后1小时内，甲在乙的前面，故选项A正确，不符合题意； 在跑了1小时时，乙追上甲，此时都跑了21千米，故选项B正确，不符合题意； 乙比甲先到达终点，故选项C错误，符合题意； 两人都跑了42.195千米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了从函数图象获取信息．解题的关键是根据题意理解各段函数图象的实际意义，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程． 14. 观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律变化，二次根式的化简．根据数据可得第个数为，据此即可求解． 【详解】解：由数据可得，第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， 第个数为， ， ∴第个数为， ∴第9个数据应是， 故选：C． 15. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于_____． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 周长． 故答案为：17． 18. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于、的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键． 先求出A点坐标，再观察图象，即可解答，从函数图象的角度看，就是确定直线与函数的图象的交点． 【详解】解：在中， 令时， 则， ， ， 由图可得：关于x、y方程组的解是函数与函数交点的坐标， ∵交点坐标为， ∴方程组的解是， 故答案为：． 19. 如图，菱形中，垂直平分，垂足为E，．那么长是___． 【答案】 【解析】 【分析】先证明是等边三角形，得出，再得出，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可得出的长． 【详解】解：∵菱形中，垂直平分， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质，证明等边三角形、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出是解决问题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据绝对值的性质、二次根式的乘除法运算法则先化简，再合并即可； （）根据零指数幂、负整数指数幂、平方差公式化简，再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，掌握二次根式和实数的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 如图，在中，，，点是边上的一点，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，，发现是一组常见的勾股数，故易证是直角三角形； （2）由（1）易得是直角三角形，再根据勾股定理列出关于直角三角形的三边关系式，结合，可以将关系式转为是关于的方程，解出即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 是直角三角形． 【小问2详解】 解：是直角三角形， ， 在中，， ， ， ， 解得， 故的长为． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键找到一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方是解本题的关键． 22. 2025年，“人形机器人”“”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球．随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格． 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 95 8.2 人工 89 90 108.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______． （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作700次，优秀次数约为多少次？ （3）根据以上数据，从平均数和方差的角度分析机器人和人工在操作技能方面谁更有优势，并说明理由． 【答案】（1），100 （2）490人 （3）机器人，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了方差和众数、中位数，样本估计总体，以及利用方差做决策，解题的关键是： （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）先计算出优秀所占的比例，再乘700即可； （3）根据统计表数据解答即可． 【小问1详解】 解：把机器人数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是91和92，故中位数； 在人工数据中，100出现的次数最多，故众数， 故答案：，100； 【小问2详解】 解：， ∴优秀次数约为490人； 【小问3详解】 解：机器人 理由：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定（答案不唯一）． 23. 在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：． （2）矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化，二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据题目中的例子进行分母有理化解答本题； （2）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵矩形的面积为，一边长为， ∴其邻边长为， ∴该矩形的周长为． 24. 据相关数据显示，截至2025年5月24日，《哪吒之魔童闹海》累计总票房158.59亿元，排名全球影史票房第5．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用400元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共30个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共60个（两种都购买），且种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进两种玩偶最少要花多少钱？ 【答案】（1）A种哪吒玩偶单价是20元，B种哪吒玩偶单价是40元 （2）最少要花1500元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共30个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费y元，利用总价=单价×数量，可找出y关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解，且符合题意 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是20元，B种哪吒玩偶单价是40元． 【小问2详解】 解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得：， 设总花费为元，由题意得： 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，元 答：此次购进最少要花1500元． 25. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用矩形的判定即可证明； （2）由可得，平行四边形是菱形，得到，再利用勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，． 26. 已知关于的一次函数的图象为直线． （1）证明：无论为何值，直线总经过点； （2）当时，函数最大值与最小值的差为6，求的解析式． 【答案】（1）见解析 （2）的解析式为或． 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键． （1）将整理得，当时，，即可求解； （2）分两种情况：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴无论为何值，直线总经过点； 【小问2详解】 解：， 当时，随增大而增大， 则当时，，为最小值， ，为最大值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 当时，随增大而减小， 则当时，，为最大值， ，为最小值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 综上，的解析式为或． 27. 如图1，四边形是一个边长2的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点，不重合，点与点，不重合），且，连接、相交于点． （1）求证：； （2）如图2，当点、运动到、中点时，求的长； （3）在（2）的条件下，连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用正方形的性质和全等三角形的判定即可证明； （2）利用正方形的性质得到，，根据中点的定义得到，利用勾股定理求出，利用全等三角形和直角三角形的性质得到，最后利用等面积法即可求解； （3）延长和交于点，通过证明，得到，由（2）中的结论得到，再根据直角三角形斜边中线定理得到，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形边长为2， ∴，， ∵点运动到的中点， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：是等腰三角形，理由如下： 如图，延长和交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵点运动到的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大理州2024—2025学年下学期质量监测 八年级数学试题卷 （全卷共三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，，5 B. 1.5，2.5，4 C. 4，5，6 D. 9，12，15 3. 下列图像中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 为了落实“双减”政策，某学校对学生学期各学科学业成绩规定如下：平时作业成绩占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．若小颖数学学科的平时作业成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别为80分，90分，92分，则小颖这学期数学学科的学业成绩为（ ） A. 92分 B. 90分 C. 89分 D. 85分 6. 如图，为测量位于一水塘旁，两点间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则（ ） A. B. C. D. 7. 关于一次函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象经过第一、三、四象限 B. 函数图象与轴交点为 C. 函数图象可由直线向下平移1个单位长度得到 D. 当时， 8. 下列命题是假命题是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 9. 下列各式中，计算正确是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的数为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（ ） A. 40海里 B. 32海里 C. 24海里 D. 20海里 12. 若一个正比例函数的图象经过点，则它的表达式为（ ） A. B. C. D. 13. 3月23日早晨，“母亲河畔的奔跑-2013重庆国际马拉松赛”在南滨公园门口鸣枪开跑，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．有下列说法：其中，错误的说法是（ ） A. 起跑后小时内，甲在乙的前面 B. 第小时两人都跑了千米 C. 甲比乙先到达终点 D. 两人都跑了千米 14. 观察并分析下列数据，寻找规律：，，，，，，，，那么第9个数据应是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为_______． 17. 如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于_____． 18. 如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于、的方程组的解是______． 19. 如图，菱形中，垂直平分，垂足为E，．那么的长是___． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20 计算： （1）； （2）． 21. 如图，在中，，，点是边上的一点，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求线段的长． 22. 2025年，“人形机器人”“”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球．随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制）如下： 分析数据，得到下列表格． 平均数 中位数 众数 方差 机器人 92 95 8.2 人工 89 90 108.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______． （2）若成绩90分及以上为优秀，请你估计机器人操作700次，优秀次数约为多少次？ （3）根据以上数据，从平均数和方差的角度分析机器人和人工在操作技能方面谁更有优势，并说明理由． 23. 在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： （1）化简：． （2）矩形的面积为，一边长为，求它的周长． 24. 据相关数据显示，截至2025年5月24日，《哪吒之魔童闹海》累计总票房158.59亿元，排名全球影史票房第5．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用400元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共30个． （1）求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共60个（两种都购买），且种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的3倍，问此次购进两种玩偶最少要花多少钱？ 25. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 26. 已知关于的一次函数的图象为直线． （1）证明：无论为何值，直线总经过点； （2）当时，函数最大值与最小值的差为6，求的解析式． 27. 如图1，四边形是一个边长2的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点，不重合，点与点，不重合），且，连接、相交于点． （1）求证：； （2）如图2，当点、运动到、中点时，求的长； （3）在（2）的条件下，连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$