1.3 公式法 课件-2024-2025学年湘教版八年级数学上册

湘教版 ·八年级数学上册 第1章因式分解 1.3公式法 复习导入 如图，在边长为a 米的正方形上剪掉一个边长为b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此 图形变换，你能得到什么等式? a米 b 米 → (a—b)米 a米 b米 a²—b²=(a+b)(a—b) 在平方差公式中，将y 用5代入得到等式： (x+5)(x-5)= x²—52 x²—25 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x²—25因 式分解： x²—25= x2—52 =(x+5)(x—5). 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把 某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式 法. 说一说 探索新知 例 1 把多项式25x²—4y² 因式分解. 分析 由 25 x²=(5x)² 和 4y²=(2y)² 可 知， 解：原式=(5 x )² 一 ( 2y)²=( 5x+2y)(5x-2y). x² —y²=( x+y)(x—j) (1)a²+b² (2)—a²—b² (3)-x²+y² (4)x²-25y² (5)m²-1 X 一 (a²+b²) × y²—x²√ (x+5y)(x-5y)√ (m+1)(m—1)√ ★符合平方差的形 式的多项式才能用 平方差公式进行因 式分解， 即能写成： (²一 () ²的形式. 两数是平方， 减号在中央。 下列多项式能否用平方差公式 来因式分解?为什么? 做一做 把多项式 一(x-y)² 因式分解. y² =( x +y )( x-y) 解：原式=[(x+y) + (x-y]I (x+y) —(x-y)) =2x·2y=4xy. 方法总结： 公式中的 x 、y 无论表示数、单项 式、还是多 项 式，只要被分解的多项式能转 化 成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 例2 把多项式 x⁴—y⁴因式分解. 解 ： x⁴—y⁴=(x²)² 一(y²)² =(x²+y²)(x²—y²) =(x²+y²)(x+y)(x—y). 因式分解后，一定要检查是否 还有能继续分解的因式，若有， 则需继续分解. 练习分解因式： (1)(a+b)²—4a²; (2)9(m+n)²—(m—n)². 解：(1)原式=(a+b—2a)(a+b+2a) =(b—a)(3a+b). (2)原式=(3m+3n—m+n)(3m+3n+m—n) 若用平方差公式分解 后的结果中还有公因 式，一定要继续提公 因式分解 =(2m+4n)(4m+2n) =4(m+2n)(2m+n). 例3 把多项式x⁵-x³y² 因式分解. 分析 多项式 x⁵—x³y² 的各项有公因式 x³ , 故应 先提公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解 ：x⁵—x³y²=x³(x²—y²) =x³(x+y)(x—y). 方法总结： 因式分解前应先分析多项式的特点， 一般先提公因式，再运用公式.注意因式分解必 须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 练习 因式分解： (1)5m²a⁴—5m²b⁴; (2)a²—4b²—a—2b. 解：(1)原式=5m²(a⁴—b) =5m²(a²+b²)(a²—b²) =5m²(a²+b²)(a+b)(a—b). (2)原式= (a²—4b²)一(a+2b) =(a+2b)(a—2b) 一(a+2b) =(a+2b)(a—2b—1). 例4 把多项式x⁴-9 因式分解. 解 ： x⁴—9=(x2)²—32 =(x2+3)(x2—3) =(x2+3)[x2—(√3)² (x²+3)(x+√3)(x—√3). 方法总结：在进行因式分解时，必须进行 到每一个因式都不能分解为止. 用简便方法计算： (1)6.1²—3.9²; (2)0.12²—0.882. 解：(1)原式=(6 .1+3.9)(6.1— 3.9) (2)原式=(0. 12+0.889(212=0.88) 22. =1×(一0.76)=—0.76. 做一做 1. 把下列多项式因式分解：【选自教材P11 练习第1题】 (1)1—25y²; (2)x2—16y²; =(1+5y)(1-5y) =(x+4y)(x—4y) (3)(x—y)²—(x+y)²; =[(x—y)+(x+y)][(x—y)一(x+y)] =2x ·(一2y) 练 习 随堂练习 =—4xy (6)x⁶—3x; =x(x2—3) =x(x+√3)(x—√3) (4)x—81yA; =(x2+9y2)(x²—9y2) =(x²+9y²)(x+3y)(x-3y) (5)x³—xy²; =x(x²—y²) =x(x+y)( 2. 用 简 便 方 法 计 算 ：【选自教材P11 练习第2题】 (1)49.6²—50.42; (2)13.32—11.72. 解：原式=(49.6+50.4)(49.6— 原式=(13.3+11.7)(13.3-11. 50.4) =25×1.6 =100×(一0.8) =40 (3)0.150—0.35². 原式=(0.15+0.35)(0.15—0.35) =0.5×(一0.2) =—0.1 3.已知4m+n=40,2m—3n=5, 求(m+2n)² 一 (3m—n)² 的值 . 解：原式= (m+2n+3m—n)(m+2n—3m+n) =(4m+n)(3n—2m) =—(4m+n)(2m—3n). 当4m+n=40,2m—3n=5 时， 原式=—40×5=—200. a²—b²=(a+b)(a—b) 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有 没有分解到不能再分解 式 骤 公 步 课堂小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 湘教版 ·八年级数学上册 第1章因式分解 1.3公式法 复习导入 1.什么叫因式分解? 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式 2.我们已经学过哪些因式分解的方法? ① 提公因式法 ②平方差公式 a²—b²=(a+b)(a—b) 在完全平方公式1中，将y 用2代入得到等式 (x+2)²= x²+4x+4 ● 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式 x²+4x+4 因式分解：x²+4x+4= (x+2)² 完全平方公式1: (x+y)²=x²+2xy+y² 完全平方公式2: (x-y)²=x²—2xy+y2 说一说 请说出完全平方公式. 探索新知 ● 典例精析 例5 把多项式9x²—6x+1 因式分解. 分析 由于9x²=(3x)², 1=1²,2 ·3x · 1=6x , 因 此 9x2—6x+1 符合完全平方式2 右边的形 式，于是从右到左使用完全平方公式2,就可把 9x2—6x+1 因式分解. 解： 9x2—6x+1 =(3x)²—2 ·3x · 1(3x¹²1)2. 与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全 平方公式分解因式? 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 两个数的平方和加上 (或减去)这两个数积 的 2 倍，等于这两个 数的和(或差)的平 方. x² ±2xy +y² 个 首² + 尾² ±2×首×尾 =(x±y)² (首±尾)² 议一议 例6 把下列多项式因式分解： (1)一4x²+12xy—9y²; (2)x⁵+2x³y+xy². 分析 (1))首顺有因式 x, 般 选 糖 添 括 法 迷 其 变形肉式分解；—12xy+9y2) , 然后再利用公式因式分解 解：(1)—4 x²+12xy—9y² (2) x⁵+2x³y+ =—(4x²-12xy+9y²) =-[(2x)²—2·2x·3y (3y)²] (9v_22 xy²=x(x⁴+2x²y+y²) =x[(x²)² 十 2·x²·y+y²] =x(x²+v)²2 十 =(x²)²—2·x²·1+1 =(x²—1)² =[(x+1)(x-1)]² =(x+1)²(x—1)² . 例7 把多项式x⁴—2x²+1 因式分解. 解 ： x⁴—2x²+1 因式分 解时，必须进行 到每一个因式都 不能分解为止. 可以利用完全平方公式把多项式(x+y)²—4(x+y) +4因式分解吗?试一试 . 分析：将 x+ y 看成一个整体，如 x+y=m, 则原 式化为 m²—4m+4. 解：(x+y)²—4(x+y)+4 =(x+y)²—2·(x+y)·2+22 =(x+y-2)² . 做一做 练习 1.分解因式： (1)一3a²x²+24a²x—48a²; (2)(a²+4)²-16a². 解 ： ( 1 ) 原 式 = - 3a²(x²—8x+16) =-3a²(x—4)² . (2)原式=(a²+4)²—(4a)² =(a²+4+4a)(a²+4—4a) =(a+2)²(a—2)². 有公因式要 先提公因式 要检查每一个多 项式的因式，看 能否继续分解. 2.利用完全平方公式简便计算： (1)100²—2×100×99+ 99²; (2) 342+34×32+16² . 解：(1)原式=(100 — 99)² = 1. (2)原式=(34+16)2 =2500. 本题利用完全平 方公式分解因式， 可以简化计算. 随堂练习 【选自教材P13 练习第1题】 1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式?说明理由 . (1)x2—12xy+36y²; (2)x2—10xy—25; 解：(1)能.可以看作x与6y的 (2)不能.—25无法看 差的完全平方. 作是一个数的平方。 原式= x2—2 · x · 6y+ (6y)² 练 习 (4)—2xy—x²—y2; (4)能.先提出一个负号， 剩下的部分可以看成是x 与y的和的完全平方的。 原式= 一 (3)9x2y2—3xy+1; (3)不能. 中间项不是 3xy与1的积的2倍. (x²+2xy+y2) =—(x+y)² 2.把下列多项式因式分解： (1)x2+2x+1; 解：原式=x2+2·x·1+12 =(x+1)² (3)x2—10x+25; 原式=x2—2·x·5+52 =(x—5)² (5)x+2x²+1; 原式=(x2)²+2 ·x2 · 1+1² =(x²+1)² 【选自教材P13 练习第2题】 (2)x2+8x+16; 原式=x²+2·x·4+42 =(x+4)² (4)162—24y+9; 原式=(4y)²—2·4y·3+32 =(4y—3)² (6)3x⁴+6x³y+3x2y² . 原式=3x²(x²+2 ·x ·y+y²2) =3x²(x+y)² 3.计算：(138.9² —2×38.9×48.9+48.9² ; (2)2023²—2023×4044+20222. 解：(1)原式=(38.9一 48 .9)2 = 100 (2)原式=2023²—2×2023×2022+20222 =(2023—2022)² = 1 4. (1)已知a—b=3, 求 a(a—2b)+b² 的值； (2)已知ab=2,a+b=5, 求a³b+2a²b²+ab³的值. 解：(1)原式=a²—2ab+b²=(a—b)². 当a—b=3 时，原式=3²=9. (2)原式=ab(a²+2ab+b2)=ab(a+b)². 当ab=2,a+b=5 时， 原式=2×5²=50. 5.已知x²—4x+y²—10y+29=0, 求 x²y²+2xy+1的值. 解：由题可知 x2—4x+y²—10y+29 =x2—4x+4+y²—10y+25 =(x—2)²+(y—5)²=0 因为(x—2)²≥0, ( y 一5)²○ 所以x—2=0,y—5=0, 所以x=2,y=5. 几个非负式的和 为0,则这几个 非负式都为0 所以 x2y2+2xy+1=(xy+ 11²=121. a²±2ab+b²=(a±b)² (1)要求多项式有三项； (2)其中两项是某数或式的平 方和，另一项则是这两数或式 的乘积的2 倍，符号可正可负 公 式 特 点 利用完全 平方公式 因式分解 课堂小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 湘教版 ·八年级数学上册 第1章因式分解 习题 1.3 1.把下列多项式因式分解：【选自教材P13 习题1.3 第1题】 (1)x2—49; (2)x²—y2; 解：原式=(x+7)(x—7) 原式=(x+y)(x—y) (3)9(x—y)²—25; (4)(x²—y)²—(2y—2)²; 原式=[3(x—y)+5][3(x-y)—5 原式=(x²+y—2)(x²—3y+2) 学而时习之 1.把下列多项式因式分解：【选自教材P13 习题1.3 第1题】 (5)x-81; (6)3x⁶—3x2. 原式=(x²+9)(x²—9) 原式=3x²(x⁴—1) =(x²+9)(x+3)(x—3) =3x²(x²+1)(x²—1) =3x²(x²+1)(x+1)(x-1) 学而时习之 2.把下列多项式因式分解： 【选自教材P13 习题1.3第2题】 (1)x2²+14x+49; (2)25x²+20xy+4y²; 解：原式=x²+2·x·7+72 原式=(5x)²+2 ·5x ·2y+(2y)² =(x+7)² =(5x+2y)² (3)—x²+14xy—49y2; (4)x⁴—2x³+x2; 原式=—(x2—14xy+49y2) 原式=x²(x2—2x+1) =—[x2—2·x·7y+(7y)²] =—(x—7y)² =x²(x²—2·x·1+1²) =x²(x-1)² (5)x⁴—8x²y2+16yA; (6)(x+y)²+12(x+y)+36. 原式=(x2)²—2·x²·4y²+(4y2) 原式=(x+y)²+2·(x+y)·6+62 =(x²—4y2)² =(x+y+6)² =[(x+2y)(x—2y)]2 =(x+2y)²(x—2y)² (1)4x²—(y²—2y+1); 解：原式=4x2—(y—1)² =(2x—y+1)(2x+y—1) (3)(x+4)(x+1)+3x+12; 原式=(x+4)(x+1)+3(x+4) =(x+4)(x+4) =(x+4)² (2)(x⁴+4x2+4)—4y2; 原式=(x²+2)²—4y2 =(x²+2+2y)(x2+2—2y) (4)(x—y)²+6(x—y)+9. 原式=(x—y)²+2 · (x-y) ·3+3 =(x—y+3)² 3.把下列多项式因式分解：【选自教材P13 习题1.3第3题】 温故而知新 【选自教材P13 习题1.3 第4题】 4.两个连续奇数的平方差能被8整除吗?说明理由. 解：设这两个连续奇数为2n—1、2n+1(n为整数). 由题意得(2n+1)²—(2n—1)² =4n·2 =8n 8n能被8整除，故两个连续奇数的平方差能被8整除. 5.当a取什么值时，多项式9x²+ax+16能利用完全平 方 公 式 进 行 因 式 分 解 ?【选自教材P13 习题1.3 第5题】 解：由 9x2+ax+16应满足完全平方式的特点 得 9x²+ax+16=(3x)²+ax+4²=(3x±4)² 则 a=±(2×3×4)² =±24 $$