1.1 勾股定理 课件2024-2025学年北师大版八年级数学上册

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形。 三角形的内角和是180°。 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 有一个角是90°的三角形是直角三角形。 直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形。 ? 三角形 直角 三角形 定义 角 边 定义 角 边 知识回顾 新课导入 如图，从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索， 如果这条钢索在地面的固 定点距离电线杆底部6m, 那么需要多长的钢索? 我们带着这个问题开始探究吧! ? 8m 6m 新知探索 (1)在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长度的平方之间有怎样 的关系。与同伴进行交流。 (每个小正方形的边长均为1) A C A B B (2)如图， 直角三角形三边 长度的平方分别 是多少，它们满 足上面所猜想的 数量关系吗?你 是如何计算的? 与同伴进行交流。 左图 A 的 面 积 9 B 的 面 积 9 C 的 面 积 18 面积 关系 9+9=18 边的 关系 a^2+b2=c^ C A B C C b B (每个小正方形的边长均为1) A a 右图 A 的 面 积 4 B 的 面 积 4 C 的 面 积 8 面积 关系 4+4=8 边的 关系 a^2+b2=c A B (每个小正方形的边长均为1) C C bB Aa (每个小正方形的边长均为1) C A B B 对于右图 中的直角三角 形，是否还满 足这样的关系? 你又是如何计 算的呢? 左图 A 的 面 积 16 B 的 面 积 9 C 的 面 积 25 面积 关系 16+9=25 边的 关系 a2+b^2=^2 C C a b B (每个小正方形的边长均为1) A A B (每个小正方形的边长均为1) C C A a C b B B 右图 A 的 面 积 1 B 的 面 积 9 C 的 面 积 10 面积 关系 1+9=10 边的 关系 a2+b^2=^2 1 .6 2 .4 (3)如果直角 三角形的两条直角 边的长度分别为 1.6和2.4,那么上 面所猜想的数量关 系还成立吗?说说 你的理由。 (每个小正方形的边长均为1) 勾股定理 直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边的 平方。如果用a,b 和 c 分别表示直角三角形的两条 直角边和斜边的长度，那么a²+b²=c²。 在 Rt△ABC 中，∠C=90°, 则 a²+b²=c²。 定理变式 在 Rt△ABC 中，∠C=90°, 则 a²=c²-b²,b²=c²-a²。 符号语言 勾 股 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”, 下半部分称为“股”。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 “勾”,较长的直角边称为“股”,斜边称为“弦”。 古希腊数学家毕达哥拉斯，在公元前5世纪给出了这个定理的 证明，所以在国外这个定理也称为毕达哥拉斯定理，相传他证出这 个定理后非常高兴，宰了一百头牛进行庆祝，于是也有人把它称为 “百 牛 定 理”。 现在你会求钢索的长度吗? 解：根据勾股定理， 得8²+6² =100, 所以钢索的长度为10m。 8m 随堂练习【课本P3 随堂练习第1题】 1.求图中字母所代表的正方形的面积。 A=225+400=625 A (1) B=225÷81=144 (2) 225 400 225 B 81 随 堂 练 习【课本P3 随堂练习第2题】 2.小明家买了一部 55 in 的电视机。小明量了电视机的屏幕 后，发现屏幕只有121.5 cm 长和 68.5 cm 宽 ，他觉得一定 是售货员搞错了。你同意他的想法吗?你能解释这是为什 么吗? 1英寸(in)=2.54 厘米(cm) 55(in)=55×2.54=139.7(cm) 121.5²+68.5²≈139.7² 售货员没有搞错。 电视大小(英寸) 电视屏幕的长度 电视屏幕的宽度 32 70.84厘米 39.85厘米 37 81.91厘米 46.07厘米 40 88.55厘米 49.81厘米 42 92.98厘米 52.3厘米 47 104.05厘米 58.53厘米 50 110.69厘米 62.26厘米 55 121.76厘米 68.49厘米 62 137.26厘米 77.21厘米 65 144厘米 81厘米 70 154.97厘米 87.17厘米 75 166.03厘米 93.38厘米 80 177厘米 99.6厘米 85 188.2厘米 105.9厘米 90 205厘米 121厘米 100 221.37厘米 124.52厘米 电视尺寸对照表 题型一 直接利用勾股定理求线段长 如图，在△ABC中 ，AD⊥BC 于点D, 且 AC+AD=32, BD=5,CD=16, 求AB 的长。 求AD 求AB CD=16, AD=x, AC=32-x Rt△ABD BD=5 A D Rt△ACD B C 解：因为AD⊥BC, 所以∠ADC=∠ADB=90°。 由 AC+AD=32, 设 AD=x, 则 AC=32-x。 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得AD²+CD²=AC2, 题型一直接利用勾股定理求线段长 即 x²+16²=(32-x)², 解 得x=12, 所 以AD=12。 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD²+BD²=AB², 练 习 如图，将长为16 cm 的橡皮筋放置在数轴上，两端固定在 点A 和点B 处，然后把中点C 沿垂直于AB 的方向拉升6 cm 至点D 处，则橡皮筋被拉长了 4 cm。 【解析】由题易知 CD=6cm。 在Rt△ACD 中，由勾股定理， D 得AD²=AC²+CD²=8²+6²=100, 则AD=10 cm 。 同理可得BD=10cm。 所 以 AD+BD-AB=10+10-16=4(cm)。 故橡皮筋被拉长了4 cm。 A C B 思路分析 AD²=AB²-BD² 求AD 求S△ABC AD²=AC²-CD² B ADLBC 过点A 作 题型二 先构造直角三角形再利用勾股定理解决问题 如图，在△ABC中 ，AB=15,AC=13,BC=14, 求△ABC 的面积。 A I 口 D C 解：如图，过点A 作 AD⊥BC 于 点D, 则∠ADB=∠ADC=90°。 设 BD=x, 则 CD=BC-BD=14-x。 在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD²=AB²-BD²=15²-x²。 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD²=AC²-CD²=13²-(14-x)²。 所以15²-x²=13²-(14-x)², 解得x=9, 即 BD=9。 所以 AD²=AB²-BD²=15²-9²=144。 所以AD=12。 A.1 B.2 如图，有一张直角三角形纸片，其中∠ACB=90°,AB=5, AC=3 。 现将△ABC折叠，使点C 落在AB 边上的点D 处， 折痕为AE, 则 CE 的长为 ( C ) 题型三 利用勾股定理解决折叠问题 解析：由折叠知 AD=AC=3, CE=DE, ∠ADE=∠ACE=90°, 所以 BD=AB-AD=2, ∠BDE=180°-∠ADE=90°。 在Rt△ABC 中 ，BC²=AB²-AC²=5²-3²=16, 所以 BC=4, 所 以 BE=4-DE。 在Rt△BDE 中 ，BE²=DE²+BD², 练 习 如图，在Rt△ABC中 ，AB=9,BC=6,∠B=90°, 将 △ABC折叠，使点A 与 BC 的中点D 重合，折痕为MN, 则线 【解析】设 BN=x, 则DN=AN=AB-BN=9-x。 因 为D 是 BC 的中点， BC=6, 所 以BD=3。 在Rt△BDN 中，BN²+BD²=DN², 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方。如果用a,b 和 c 分别表示直角三 角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c²。 利用勾股定理进行计算 课堂小结 认识勾股定理 知识回顾 上节课我们已经通过探索得到了勾股定理，请问 勾股定理的内容是什么? 直角三角形两直角边长度的平 方和等于斜边长度的平方。如果用 a,b 和 c 分别表示直角三角形的两 直角边和斜边，那么a²+b²=c²。 C b A B a C 你能利用这个图说明勾股定理 的正确性吗?你是如何说明的? 与同伴进行交流。 尝试 ·思考 为了计算图中大正方形的面积，小明对这个大正方形 适当割补后，得到图①、图②。 C ② (1)将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c 的式子表示出来。 (2)图①、图②中正方形ABCD 的面积分别是多少?你有哪些 表示方式? 新知探索 勾股定理在我国有着悠久的历史。 汉末三国初数学家、天文学家赵爽在 给《周髀》作注时，给出了相对完整 的表述： “勾、股各自乘，并之为弦 实。开方除之，即弦。”他利用“勾 股圆方图”直观地论证了勾股定理。 后人通常把图①称为“赵爽弦图”, 2002年国际数学家大会会标的主要 朱算 朱 育 六 贲 贵 司 勾 股 方 窗 , 五 五 R 黄 圆 弦 大正方形的面积可以表示为c²。 也可以表示为 4×¹ab+(b-a²。 因 为c²=4×¹ab+(b-a² =2ab+b²-2ab+a² =a²+b² 所 以 c²=a²+b² a 黄实 b b 朱实 C a 1.赵爽弦图 b a 设大正方形的面积为S, b 则 S=(a+b)²=a²+b²+2ab。 又因为 a 所 以 a²+b²=c²。 a b 2.割补法 以直角三角形的勾、股、弦为 边，分别作出正方形 勾自乘为朱方 股自乘为青方 弦²=朱方+青方 弦²= 勾²+ 股² 3.青朱出入图 你能看懂下图是如何验证勾股定理吗? 设梯形的面积为S, 所以a²+b²=c²。 4.拼接法 又因为 5.无字的证明 有一类证明方法较为独特，单靠移动部分图形就直观地 证明了勾股定理，被誉为“无字的证明”。 勾股定理在数学发展中起到了重大的作用，其证明 方法据说有400多种，有兴趣的同学可以继续研究，或 到网上查阅勾股定理的相关资料。 例 题 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条 东西向公路400 m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公 路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m; 过 了10s, 测得汽车与他相距500m。 你能帮王叔叔计算蓝 方汽车这10s 的平均速度吗? 你能根据题意画出图形吗?在你画的图形中 存在一个怎样的三角形? 分析：根据题意，可以画出右图， 其中点A 表示王叔叔所在位置， 点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽 车的位置。由于王叔叔距离公路 400m, 因此∠C 是直角，这样就 可以由勾股定理来解决这个问题。 C 400m A B 500m 公路 解：由勾股定理，可以得到 AB²=BC² +AC², 也就是500²= BC²+400², 所以BC=300m。 蓝方汽车10s 行驶了300m, 那么它平均每秒行驶 300÷10=30(m), A C 400m 公路 500m B 思考交流 如果一个三角形 是钝角三角形或锐角 三角形，那么它的三 边长仍然满足“较长 边的平方等于另外两 边的平方和”吗? 说说你的判断和理由， 并与同伴进行交流。 a C b a C b ①在钝角三角形中， 三边长分别为a,b,c, 其中c 为最大边长， 则 a²+b²<c²; ②在锐角三角形中， 三边长分别为a,b,c, 其 中c 为最大边长， 则 a²+b²>c²。 S=13 C b S=9 C b S=9 a S=10 s=10 a S=25 随堂练习 【课本P6 随堂练习】 如图是某沿江地区交通平面图的一部分(单位：km), 为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q 三 城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是 5000万元/km, 该沿江高速公路的建设成本预计是多少? 题型 勾股定理在实际生活中的运用 某条例规定小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h。 如图，一辆小汽车在一条城街路上沿直线由东向西匀速行驶， 某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A 处的正前方30m 的 C 处，过了2s 后，测得小汽车在B 处与车速检测仪A 间距 离为50m, 这辆小汽车超速了吗?请通过计算进行说明。 小汽车 小汽车 A 观测点 四 思路分析 时 间 ： 超速 未超速 求BC 2 s 段路程 BC段 的速度 >70 ≤70 西 东 解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=30m,AB=50m。 根据勾股定理，得 BC²=AB²—AC²=50²—30²=1600, 所以 BC=40m。 因为小汽车2s 行驶了40m, 所以它的速度为 因为20 m/s =72 km/h, 且72>70, 所以这辆小汽车超速了。 小汽车 观测点 小汽车 BQ 西 东 练 习 如图，笔直的公路上A,B 两点相距25 km,C,D 为两村庄， DAlAB 于点A,CB⊥AB 于点B, 已 知DA=15 km, CB=10 km, 现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购 站 E, 使得 C,D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处? 解：因为DA⊥AB 于 点A,CB⊥AB 于 点B, 所 以 ∠ , 所以 AE²+AD²=DE²,BE²+BC²=EC²。 由题意可知 DE=EC, 所 以AE²+AD²=BE²+BC2。 设 AE=x km, 则 BE=AB 一AE=(25 一x)km。 因 为DA=15 km,CB=10 km, D 所以x²+15²=(25—x)²+10², 解得 x=10, 所 以AE=10 km。 所以收购站 E 应建在离A 点 1 0km 处。 A B 1.拼出图形 2.写出图形面积的表达式 3.找出相等关系 4.导出勾股定理 拼图验证 验证勾股定理 及应用 课堂小结 应用 知识技能 【教材P8 习题1.1第1题】 1.求出图中直角三角形未知边的长度。 y²=13²-5²=144 y=12 2.求斜边长为17 cm、 一条直角边长为15 cm 的直角 三角形的面积。 解：如图，在Rt△ABC中， AB=17cm,BC=15cm, 由勾股定理得AC²=AB²—BC²=17²—15²=64, 即AC=8cm,S △ABC BC·AC=60(cm²)。 2 1 【教材P8 习题1.1 第2题】 解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, A AC=3m,BC=4m。 由勾股定理得AB²=AC²+BC²=25, 即 AB=5m, 旗杆的高度AC+AB=3+5=8(m), 3.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面3m 处折断倒下， 旗杆顶部落在离旗杆底部4m 处。旗杆折断之前有多高? 【教材P8 习题1. 1第3题】 数学理解 【教材P8 习题1.1第4题】 4.如图，所有的四边形都是正方形， 5.请用如图所示的图形验证勾股定理，并说一说这一方法 与课堂上的方法之间的联系。 【教材P8 习题1.1第5题】 即a²+b²=c². a b 所 以 且 解：过点C作AB边上的高，由 “三线合一”和勾股定理可求 得高为4cm, 所以等腰三角形 ABC 的面积为12 cm²。 6.如图(单位： cm), 求等腰三角形ABC 的面积。 【教材P9 习题1.1第6题】 【教材P9 习题1.1第7题】 7.如图，某储藏室入口的截面是一个半径为1.2m 的半 圆形，一个长、宽、高分别是1.2m,1m,0.8m 的箱 子能放进储藏室吗? 解：能放进储藏室， 因为0.8²+0.5²<1.2²。 联系拓广 【教材P9 习题1.1第8题】 8.在一张纸上复制四个全等的直角三角形，并将四个 三角形剪下来，通过拼图的方法验证勾股定理。你有 哪些方法?说说你的方法与课堂上的方法之间有什么 联系与区别。 $$