5.4.3 正切函数的性质与图象课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

问题1:类比之前已经学过的正弦函数、余弦函数的图象与 性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质? 定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性 描点法初步探究图像 y=tan x tan x 如何描出坐标为无理数的点? 如何精确取值? 最基本的方法”回到定义” - π π2 X 探究：如何画出函数y=tan x,x ∈ 的图象? 0 44y 0 3 π 6 √3 3 0 0 π π 3 √3 π 2 \ π 4 1 TT X 2 1 π2 2 如图所示，角x的终边与单位圆的交 点B(x₁,y₁), 过B 作x轴的垂线，垂足 为M; 过点A(1,0)做x轴的垂线与角x 的终边交于点T, 则 根据研究正弦函数图像的过程，可以利用单位圆来研究。 角 的终边T Y 的缝边 T₂ 的路边 0.5 A X -0.5 T₁ π 角 - 6的终边 6 的终边 角一一的集边 4 -1.5 角 - 3的 终 的终边 5π 4 5π 6 涌 π一4 一6 w 角 角 角 a 1.5 -2 定义域是由实数集每隔π个单位挖去一个实数产生， 正切函数图象被这些平行线分割成无数个部分 图象向上向下无限延伸 画单位圆根据定义直观说明π是正切函数 的最小正周期，后面可以根据图象加以确认 图象关于原点对称 一般地，研究函数常见的方式有两种： (1)当对函数的性质知之甚少时，可以通过 描点绘图，通过观察图象获得对函数性质的 直观认识，比如正余弦函数；(2)当对函数 性质有一定的了解时，可以先根据性质“精细化” 质。正切函数采取了第二种思路。 值域 可以从形到数，也可以从数到形 周期性 奇偶性 为什么正弦函数一开始作图，而 正切函数不画图象而研究性质呢? 2、 利用性质，画出图象 作出“精美化”的图象，再利用图象研究其他性 R π 奇 y=tan x 递增 ,k ∈ Z 单调性 2 5.4.3正切函数的性质与图像 函数的图象，怎样画出 - 2 , 0 的 图 像 呢 ? ∵正切函数为奇函数 ∴图象关于原点(0,0)对称 问题2: 知 道了0,]上正切 y 3 元 " 2 我们把正切函数的图象叫做正切曲线。 问题3:知道了 上正切函数∵正切函数以π为周期 的图象，怎样画出R 的图像呢? ∴图象每隔π个单位长度“周而复始” 渐近线 渐近线 渐近线 渐近线 渐近线 渐近线 3元 2 5π 2| 5π 2 忧 2 π 2 从图中可以看出，正切曲线是被与y轴平行的一系列直线 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的. 定义域 值域 R 周期性 T=π 奇偶性 奇函数 单调性 渐近线 在每一个开区间内都是单调增函数. 能不能 说正切函数在整个定义域上单调递增? 3、结合图像，归纳性质 问题 ： y=tanx 是否还有其他性质? 对称中心： 定义域 值域 R 周期 T=π 奇偶性 奇函数图象关于原点对称 单调性 上单调递增 对称性 渐近线 tan x 3π X 2 归 纳 总 结 y 2 y 二 2 3π 2 【思考】如何做出正切曲线的简图? "两线" 直 "三点" (0,0) 正切函数的图像 x π 亿 4 1 π T 1 2 - + y 求证：f(x)=Atan(wx+φ)的周期是 证明：当w>0时， f(x)=Atan(wx+φ)=Atan(wx+φ+π)↵ 当w<0时， f(x)=Atan(wx+4)=Atan(wx+φ-π)↵ 1 ∴ 解：(1)定义域： (2)周期： T (3)单调区间： (1)求出它的定义域、周期、单调区间和对称中心坐标； 例1 . 已知函数 4、例题分析 | 例1.已知函数 (1)求出它的定义域、周期、单调区间和对称中心坐标； ,k∈Z得对称 ,k∈Z) 定义域 值域 R 周期性 T=π 奇偶性 奇函数 单调性 增区间 渐近线 对称中 心 性质决定图像； 图像凸显性质。 课堂小结 类比思想，整体代换思想。 思想方法上： $$