福建省泉州市四校联盟2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

福建省泉州市四校联盟高二期末考试 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.设集合A={xly=√x},B={x|-2≤x≤1}，则A∩B= A.{x|0<x≤1} B.{x|0≤x≤1} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|x≤1} 2.已知向量m=(2,a),n=(1,一1)，若mn,则a= A.-2 B.2 c D- 3.(9+5i)(2一7i)的虚部为 A.43 B.53 C.-53i D.-53 _y2 4已知双曲线C:多一1(@>0，b>0)的顶点到渐近线的距离为实轴长的号，则双曲线C 离心率为 A台 B23 c D.3 5.“{a}为等比数列”是“{am}为等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某机构对2024年某地销售的新能源汽车的销售价格 个频率/组距 与销售数量进行统计，销售价格都不小于5万元，且小 于30万元，销售价格分为五组：[5,10)，[10,15)，[15， 0.08 20),[20,25),[25,30)(单位：万元).统计后制成如图 所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为 A.26 B.23 0.025 C.21 0.015 D.19 51015202530销售价格万元 【高二数学第1页（共4页）】 7.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'(x)是f(x)的导函数， ∫"(x)是f'(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x)》处的曲率K= |f"(x) (1+(f'(x)) 曲线y=ex一sinx在点(0，f(0)处的曲率为 A罗 B.√② C⑥ 5 D.2 8.已知球O的半径为3，圆锥内接于球O,当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为 A.W3-1 B.√3+1 C,43-1) D.2√3-2 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=cos(ar一君)(w>0)的最小正周期为元，则 A.u=1 B.曲线y=f(x)的一条对称轴为直线x=-5西 12 C.fx)的单调递减区间为[臣+x,径+x](∈z刀 D,将余弦曲线向右平移个单位长度可得到曲线y=f(x) 10.已知(5.x-1)°=a0十a1x十a2x2+…十agx°，则 A.ao=-1 B.a2=-900 C.(5x一1)°的展开式的二项式系数之和为4° D.ao十a2+…十ag= 4°-69 2 11.已知y=f(x一1)是定义在R上的奇函数，且f(x十2)=f(2-x),当x∈(-1,2]时，f(x) =2十x2,则 A.点（一1,0）为f(x)图象的一个对称中心 Bf-1D-号 C.f(x)的一个周期为12 D.f(2025)=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=4,c=22,A=T,则C 1起已知强数)-仁千十3G在R上举调醚塔则a的取值泡图是 14已知抛物线C:x2=2y(p>0)的焦点为F,P(3,4)为抛物线C内侧一点，M为C上一动 点，|MP|十|MF|的最小值为6，则p=▲，该抛物线C上一点A(非顶点)处的切 线1与圆W:x2+(y十2)2=4相切，则|AF|=▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 在数列{an}中，a1=3,am+1一am=2n十3. (1)求an; (2)设b,=1,求数列{6.)的前n项和S a 16.(15分) 已知正方形ABCD,沿BD将△ABD折起到△PBD的位置（如图），G为△PBD的重心. BE (1)在BC边上找-点E,使得GE/伻面PCD,并求出C的值。 (2)在(1)的条件下，设GE⊥PD ①证明：平面PBD⊥平面BCD ②求平面PGC与平面PDE所成角的余弦值. G 【高二数学第3页（共4页）】 17.(15分) 己知椭圆w:三大之 长=1(a>6>0)的离心率为号，左右焦点分别为F,F,过点F,且垂 10 直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为3： (1)求椭圆W的方程； (2)直线y=kx(k≠0)与椭圆W交于A,B两点，连接AF1,交椭圆W于点C,若△ABC的 面积为5，求直线AC的方程. 18.(17分) 某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额5%的代金券（例如：消费200元， 则赠送200×5%=10元的代金券)；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费 370元可进行三次抽奖)，每次抽奖抽到10元代金券的概率为p(0<p<1),抽到4元代金 券的概率为1一p,每次抽奖结果互不影响.每人只能选择一种方案. (1)若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为g,求力： (2)若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为X元，当E(X)十 D(X)最大时，求p; (3)若力=号，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决 策依据，帮助顾客选择方案 19.(17分) 已知函数fx)-二，gx)=ax-lhx-1 (1)若a=2,求f(x)的单调区间； (2)若f(x)十g(x)≥0恒成立，求a的取值范围： (3)若方程f(x)十g(x)=0有两个不同的根x1,x2,证明：x1x2>e2 【高二数学第4页（共4页）】 福建省泉州市四校联盟高二期末考试 数学参考答案 1.B因为A={xly=√E}={x|x≥0}，所以A∩B={x|0≤x≤1). 2.A因为mm,所以a×1=2X(一1)，即a=-2. 3.D因为(9+5i)(2-7i)=53-53i,所以其虚部为-53. 生C因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为所以中-名 5X2a, 所以g-二兰-是所以后-苧双曲线C的离心率：= 31 5.B若{a,为等比数列，则，二=qq≠0)，所以。2之=g,即{a)一定是等比数列；若{a》为 an-1 等比数列，则，号=p(p>0,所以二=士v万，即a,不-定是等比数列. an-1 6.C由频率分布直方图知，0.015×5十0.02×5+0.025×5+a×5+0.08×5=1,所以a= 0.06.设销售价格的80%分位数为t,因为1一(0.02十0.025)×5=0.775,1一0.02×5=0.9， 所以销售价格的80%分位数在[20,25)内.由(t一20)×0.025=0.025，得t=21.6.(或由(25 -t)×0.025+0.02×5=0.2,可得t=21) 7.B令f(x）=e-sinx,则f(x)=2e24-cosx,f”(x)=4e+sinx.因为f(0)=1, f(0)=4,所以曲线y=e-sinx在点(0，f(0)处的曲率为广0L (1+(f(0)2)量(1+1) =√2 8.D设圆锥的底面半径为x,则圆雕的高为3十√9一r2, 所以圆锥的体积V=3w2(3+V9-7). 令√9-7=∈0,3，则r2=9-2,所以V)=号x9-2)(3+以. 因为V(t)=一π(t一1)(t+3),所以V(t)在[0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减， 所以当t=1,即r=2√2时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为4，母线长为2√6」 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径， 所以圆维内切球的半径R=9，,5X4一25-2 a十b+c46+42 9.BC因为T=2x=元，所以uw=2,故A不正确：f(x)=cos(2x一晋)，令2x-若=x(∈ 【高二数学·参考答案第1页（共7页）】 ,得曲线)y=f)的对称轴为直线x=竞+受6∈刀，所以B正确；令2x<2红-晋≤x +2x∈2)，得fx)的单调递减区间为[器十m,爱+k]k∈刀，所以C正确；将余弦曲 线向右平移个单位长度得到曲线y=co(x一）)，所以D不正确（或由余弦曲线的周期为 2π，平移后周期不变，判断D不正确). 10.ABD当x=0时，a。=(-1)°=-1，A正确 由题意得a2x2=Cg(5x)2(-1)7=-25C3x2=-900x2,所以a2=-900,B正确. (5x一1)°的展开式的二项式系数之和为2°=512，C错误， 令x=1,得a0十a1十a2十…十ag=4°，令x=-l,得a0-a1十a2-…-ag=-6°， 两式相加得a6十a2十…十ag= 49-69 2,D正确 11.AC因为f(x一1)是定义在R上的奇函数，所以f(一x一1)=一f(x一1)，所以f(-1十 x)十f(-1-x)=0,所以f(x)的图象关于点（一1,0）对称，且f(一1)=0，故A正确，B不 正确；因为f(x+2)=f(2-x),所以f(x十5)=f(-1一x)=-f(x一1)，所以f(x+6) =一f(x),所以f(x十12)=f(x),故C正确；因为当x∈（一1,2]时，f(x)=2十x2,所以 f(2025)=f(9)=f(-3)=-f(1)=一3，故D不正确. 注：令g(x)=f(x一1)，则g(x)是R上的奇函数.因为g(0)=f(-1)=0,所以B不正确； 因为y=g(x)的图象向左平移1个单位长度可得y=f(x)的图象，所以f(x的图象关于 点（一1,0）对称，故A正确 12.吾因为a=4,c=22,A-平，所以s血C-4=合因为>c,所以C<A<香，所以 C= 61 a2>l, 13.[2,+o∞) 因为f(x)在R上单调递增，所以≥1， 得a≥2. -1十a+3≤a2, 14.4;8设点M在C的准线上的射影为D,则IMF1=|MD,要使得IMP|+IMF|取得最小 值，即IMP|十|MD|取得最小值，当D,M,P三点共线时，|MP|+|MD取得最小值，由4 -(-)=6,得力=4.设A(红o),则切线L的方程为y一0=(x一x,即2xx一8y 一x6=0,因为切线1与圆W相切，所以6一是=2，化简得8一48x=0,解得号= √4x8+64 【高二数学·参考答案第2页（共7页）】 0合去)减对=8，因为%-专-6，所以1AP-号十，-8 15.解：(1)因为an=a1十(a2-a1)十(a3-a2）十…十(am-aa-i),…3分 所以a,=3+5+7+9+…+2m+1]=n[3+(2m+1]=m2+2m 6分 2 为6，士日中 ,4…9分 所以8=-吉+++日)-+号》 3 2n+3 42(n+1)(n+2) 13分 BE 2 16.解：)当GE/平面PCD时，C=3 证明如下：取PD的中点F,连接BF,CF,GE BG BE 2 因为G为△PBD的重心，所以BF一BC 3 …1分 所以GEFC.… …2分 因为GE在平面PCD,FCC平面PCD, 所以GE平面PCD.… 4分 (2)①证明：（方法一） 取BD的中点O,连接PO,CO,FO,则PO⊥BD,CO⊥BD. …5分 因为GEFC,GELPD,所以PD⊥FC.…6分 因为PD⊥FO,FC∩FO=F,所以PD⊥平面FOC 因为OCC平面FOC,所以OC⊥PD.…7分 因为OC⊥BD,PD∩BD=D,所以OC⊥平面PBD 8分 因为OCC平面BCD,所以平面PBD⊥平面BCD. 9分 (方法二) 取BD的中点O,连接PO,CO,FO,则PO⊥BD,CO⊥BD, 即∠POC即为平面PBD与平面BCD所成角的平面角（或补角）.… 5分 因为GEFC,GE⊥PD,所以PD⊥FC.… …6分 因为F为PD的中点，所以PC=CD.…7分 因为PD=CD,所以PC=PD.…8分 因为OC=OD,所以△POD2△POC, 所以∠POC=∠POD=分，即平面PBD⊥平面BCD.…9分 【高二数学·参考答案第3页（共7页）】 ②由①知，直线OB,OC,OP两两垂直，以O为坐标原点，O克，OC,O妒的方向分别为x轴、 y轴、之轴的正方向，建立空间直角坐标系.不妨设正方形ABCD的边长为6， 则B(3√2,0,0)，C(0,32,0),D(-3√2,0,0)，E(2,22,0),G(0,0w2),P(0,0,3√2). 1…10分 连接PE,DE,D2=(42,22,0),Pi=(-32,0,-32).…11分 设平面PDE的法向量为m=(x,y,z), 刘%·D正=4Ex十22y0含z1,得m=,-2,. m·Pi=-32x-32z=0, 平面PGC的一个法向量为n=(1,0,0).…14分 设平面PGC与平面PDE所成的角为a, 则cosx=|cos(m,n〉|= lm·n=⊥= mn√6 6，所以平面PGC与平面PDE所成角的余弦值 为 15分 17.解：(1)由题意得202-10 =3,所以62=5 a. 2分 因为椭圆的离心率=二=2 a=3,所以c2= ga …3分 因为a2=62+c,所以a2=9,62=5,故椭圈W的方程为号+片=1 …5分 (2)由题意知，直线AC不垂直于y轴，设直线AC的方程为x=ty一2，A(x1,y1),C(x2, x=y2, y2),由 消去x并整理得(5t2+9)y2-20ty一25=0，…8分 5x2+9y2=45, 20t 25 所以y1十y2 5t2+9'y1y2= 5t2+9' 所以|AC1=√(t+1)(y2-y1)7=√(+1)[(y2+y1)-4y2y1J 20t121007 e2+1[+9 30(t2+1) 5t2+9 5t2+9 10分 2 因为点O(坐标原点)到直线AC的距离d= 2+1 ，且O是线段AB的中点，所以点B到 直线AC的距离为2d, 所以SaAe=号1AC1·2a=30(2+, 2 60WE+1 5t+9√e2+1 5t2+9 ……12分 由0v+ 5t2+9 =5,解得2=3或2=- （合去， 【高二数学·参考答案第4页（共7页）】 所以t=士√3，故直线AC的方程为x=士3y一2， 即x一√3y十2=0或x十5y十2=0.… 15分 18.解：(1)甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖，则抽到14元代金券的概率为 2p1-p）=名，得p=或是 3 …3分 (2)设抽奖次数为n(n∈N+),抽到10元代金券的次薮为Y,则Y一B(n,p),…4分 得E(Y=p,D(Y)=np(1一p).……5分 因为X=10Y+4(n-Y)=6Y+4n,… …6分 所以E(X)=6E(Y)十4n=6np十4n,D(X)=36D(Y)=36np(1一p).…8分 E(X)十D(X)=6np十4n十36np(1一p)=n(-36p2十42p十4).…9分 42 当p=一2X(二362时，E(X)+DX)取得最大值，所以p=2 10分 (3)①当消费金额（单位：元）在(0,100)内时，不能参与方案二，只能选择方案一.…11分 由(2)可得，当力=号时，E(X)=6m×号+4n=6m.…12分 设消费金额为100n十k(n∈N+,0<k<100), 方案一的代金券的数学期望为5n十0.05k(n∈N+,0<k<100).…13分 ②当消费金额（单位：元）在[100,120)或[200,240)或[300,360)或[400,480)或[500，+∞) 内时，6n>5n十0.05k(n∈N+,0<k<100),选择方案二.…14分 ③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，6n=5n十0.05k(n∈N+,0<k< 100),选择方案一、方案二都可以.…15分 ④当消费金额（单位：元）在(120,200)或(240,300)或(360,400)或(480,500)内时，6m<5n 十0.05k(n∈N+,0<及<100)，选择方案一，…16分 综上，当消费金额（单位：元）在(0,100)或(120,200)或(240,300)或(360,400)或(480,500) 内时，选择方案一：当消费金额（单位：元）在[100,120)或[200,240)或[300,360)或[400， 480)或[500，+∞)内时，选择方案二；当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时， 选择方案一、方案二都可以，…17分 备注：在第(3)问中，答出“当消费金额（单位：元）在(0,100)或(120,200)或(240,300)或 (360,400)或(480,500)内时，选择方案一：当消费金额（单位：元）在[100,120)或[200,240) 或[300,360)或[400,480)或[500，+c∞)内时，选择方案二；当消费金额（单位：元）为120或 240或360或480时，选择方案一、方案二都可以”，给满分 1.1解：因为f)-苦所以f)2红二1c心 …2分 令fx>0得>7令f红)<0，得0<x<或x<0, 【高二数学·参考答案第5页（共7页）】 所以f(x)在（分，十∞）上单调递增，在(-o,0》和(0，号）上单调递减，…4分 故fx)的单调递增区间为2，十o∞)，单调递减区间为(-c0,0),(0,号). …5分 (2)解：（方法-）因为.f(x)+g(x)=二+ax-nz-10恒成立，所以e-hr+ax-lnx 一1≥0恒成立.… …6分 令t=ax-lnx,则e十t一l≥0.令h(t)=e+t一l,则h(t)在R上单调递增.…7分 因为h(0)=0,所以h()>0,即t≥0.由t=ax-lnx≥0，得a≥血工 …8分 x 令9x)=,则px)-1n兰， 所以p(x)在(0，)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减，…9分 所以g()m=p(o）=是，所以a∈[片，十o.…10分 (方法二)冷h(z)-fc)计sc)-+ax-1hx-1,则h(e≥0恒成立 A)=a+a是心+a-少 …6分 x ①当a≤0时，因为x>0,所以h'(x)<0,所以h(x)在(0，十o∞)上单调递增.…7分 因为h(1)=e十a一1<0，所以h(x)≥0不是恒成立.…8分 ②当a>0时，则h(x)在(0，）上单调递减，在（日，十∞）上单调递增， 所以h(x)m=h()=ae十ina. 9分 因为函数m(a)=ae十ina在(0，十oo)上单调递增，且m()=0, 所以当a∈[己，+∞)时，x)>0恒成立. …l0分 (3)证明：设x1<x2,则由(2)知1<x1<e<x2: x1n工1'所以a=n工)n工g…11分 因为 az:=In x1一x2 因为a(x1十x2)=lnx1十lhx2, 1十1 1 所以lnx1十lnx2= nx1-lh(x,十z)=lh是 ……2分 x1一x2 x1-1 T2 T2 【高二数学·参考答案第6页（共7页）】