江苏省南京市田家炳高级中学2024- 2025学年高三下学期4月月考数学试卷

2024-2025学年高三下学期南京田家炳中学4月月考数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每题5分） 1．已知复数满足，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等差数列的前4项为，，2，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知，是两个单位向量，与的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D． 6．已知直线与圆相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则（    ） A． B． C．2 D． 7．已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A． B． C． D． 8．若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B．从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C．将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D．名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 11．如图，在边长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．，则点的轨迹长度为 C．若，则直线与平面所成角的正弦值的最小值是 D．若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 三、填空题 12．在的展开式中，项的系数为60，则的值为 . 13．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为 ；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为 ． 四、解答题 15．已知的内角的对边分别为．已知． (1)求角： (2)若，求的面积． 16．在长方体中，，为的中点，平面，且．    (1)求的值； (2)求点到平面的距离． 17．已知函数． (1)若存在，使成立，求的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求的最小值． 18．为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第个台阶的概率为 (1)求的值； (2)设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； (3)求． 19．已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中，均为常数，动点的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线为曲线，点是上位于第一象限的一点，点关于原点中心对称，点关于轴对称．延长至，使得，且直线和曲线的另一个交点位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线斜率为，直线斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三下学期南京田家炳中学4月月考数学试卷 一、单项选择题（共8小题，每题5分） 1．已知复数满足，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【详解】已知，即．则． 可得． 故选：C． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知集合，根据绝对值的性质，绝对值不等式等价于． 可得，即．所以集合． 已知集合，则．解得或． 所以集合或． 可得，即． 故选：B． 3．已知双曲线，则“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】的渐近线方程为， 当的渐近线互相垂直时，则，故，因此离心率为, 故“的渐近线互相垂直”是“的离心率等于”的充要条件， 故选：A 4．已知等差数列的前4项为，，2，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】由题意可知，2，成等差，故，解得， 故公差， 故， 故选：A 5．已知，是两个单位向量，与的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】因为，是两个单位向量，与的夹角为， 所以， 所以 . 故选：B 6．已知直线与圆相交于，两点，若劣弧与弦围成的图形面积为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设，由题意可知:圆心为坐标原点，半径为， 则劣弧与弦围成的图形面积， 由于故在单调递增， 又，所以，则， 所以圆心到直线的距离为1，即，解得 故选：D 7．已知函数在上有且仅有个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：A. 8．若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，函数的定义域为，． 因为函数图象上存在两点处的切线与直线垂直， 故有两个不同的大于1的解， 即有两个不同的大于1的根． 令， 则，即， 所以． 故选：A 二、多选题 9．将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【详解】依题意可得， 因为，故A正确； ，故B错误； 由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确. 故选：ACD 10．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生人，女生人，则下列说法正确的是（    ） A．从中选人，人做正组长，人做副组长，共有种不同的选法 B．从中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人，共有种不同的选法 C．将这名学生排成一排，位女生排在一起的方法共有种 D．名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中，则共有种排法 【答案】AC 【详解】对于A选项，从个人中选人，人做正组长，人做副组长选法共有种，故A正确； 对于B选项，从个人中选人参加数学竞赛，其中男、女生各人选法共有种，故B错误； 对于C选项，将个女生捆绑在一起，形成一个大“元素”，与个男生一起排序， 由捆绑法可知，不同的排法种数为种，故C正确； 对于D选项，名学生排成一排，已知名男生已排好，现将名女生插入队伍中， 由倍缩法可知，不同的排法种数为种，故D错误. 故选：AC. 11．如图，在边长为4的正方体中，分别是棱的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是（    ） A．若平面，则点的轨迹长度为 B．，则点的轨迹长度为 C．若，则直线与平面所成角的正弦值的最小值是 D．若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】ACD 【详解】 分别取棱，的中点，连接， 易证，， 平面，平面，所以平面， 且平面，平面，所以平面， 又平面，则平面平面， 因为平面，且是正方形内的动点， 所以点的轨迹是线段. 因为，所以，因为，所以， 故A正确. 因为，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的个圆， 则点的轨迹长度为，则B错误. 以A为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向， 建立如图1所示的空间直角坐标系. 由题中数据可知则，，. 设平面的法向量为，则，得. 设直线与平面所成的角为，则. 因为，所以，所以， 所以，则，故C正确. 是棱的中点，则外接圆的圆心为正方形的中心，半径为2. 如图2，设，则三棱锥的外接球的半径满足，解得， 从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．在的展开式中，项的系数为60，则的值为 . 【答案】 【详解】展开式的通项公式， 令，可得，则项的系数为，可得. 故答案为： 13．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】对于，则， 因为在区间上单调递增， 所以在恒成立， 显然，所以在恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以，则或（舍去）， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为 ；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为 ． 【答案】 2 / 【详解】由，得，则， 因为过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形， 所以或， 所以，得， 所以，得，解得， 所以离心率为， 因为直线的斜率大于零，是腰长为8的等腰三角形， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以直线的斜率为， 因为，所以直线为， 由，得，解得或， 因为直线的斜率大于零，点在第一象限，所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 设圆的半径为，则， 所以，解得. 故答案为：2， 四、解答题 15．已知的内角的对边分别为．已知． (1)求角： (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得 在中，，则，即， 故． （2）由余弦定值知：， 即，则， 所以． 16．在长方体中，，为的中点，平面，且．    (1)求的值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接．由平面平面，且平面平面， 平面平面，所以． 解法一：连接，．同理可得，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，即． 解法二： 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，设， 则，，， 由，得，即，则，又，所以． 解法三：连接，．由平面平面，且平面平面， 平面平面，所以， 同理可得，所以四边形为平行四边形， 所以．    连接，因为，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，又为的中点，所以，所以． （2）由（1）中解法二的空间直角坐标系可得，，，所以，， 设为平面的法向量， 则即 令，得为平面的一个法向量． 又，所以点到平面的距离． 解法二： 由（1）知，，又平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离． 在Rt中，，，所以， 在Rt中，， 设点到平面的距离为，由得， 所以， 所以点到平面的距离为． 17．已知函数． (1)若存在，使成立，求的取值范围； (2)已知，若在上恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由得， 可得存在，使成立， 令，，令得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 若存在，使成立，则； （2）， 若在上恒成立， 则在上恒成立， 令，则， 令，则（舍）或， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 则，则的最小值为． 18．为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第个台阶的概率为 (1)求的值； (2)设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； (3)求． 【答案】(1)， (2)分布列见解析，数学期望为5； (3) 【详解】（1）由题可知， （2）随机变量所有可能取值为：3，4，5，6， 的分布列 3 4 5 6 ； （3）爬到第个台阶有两种情况： 情形一：爬到第个台阶，下一步上两个台阶爬到第个台阶， 情形二：爬到第个台阶，下一步上一个台阶爬到第个台阶， 故， 则， 所以， ，又，故是等比数列， ， 故. 19．已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中，均为常数，动点的轨迹称为曲线． (1)若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ (2)设曲线为曲线，点是上位于第一象限的一点，点关于原点中心对称，点关于轴对称．延长至，使得，且直线和曲线的另一个交点位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线斜率为，直线斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)（ⅰ）；（ⅱ）， 【详解】（1）由，得， 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 则，则， 所以当，且时，曲线为双曲线； （2）方法一：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，，设点，由， 即， 即，得，则， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，得， 由直线与双曲线有2个交点，则， 又因为满足， 由韦达定得，解得， 因为，且， 得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为，所以， 所以，可得，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以， 因为，则，则， ； 方法二：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，， 设点，由．即， 即，得，则， 直线的斜率为， 所以直线的方程为， 设点（，），因为， 所以，所以，， 同理，由， 两式作差得， 将直线方程代入并化简得（*） 所以，所以， 可得，即的取值范围为； （ⅱ）由（*）式可得， 所以， 由（ⅰ）得， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$