精品解析：甘肃省兰州市第35中学2023-2024学年下学期九年级期中数学试卷

35中数学（二） 一、选择题：本大题共 12 小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9的平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，根据平方根的定义得，一个正数的平方根有两个，互为相反数求解即可． 【详解】解：9的平方根是， 故选：C． 2. 汉字，是中华民族文化的化石，汉字之美，美在形体、美在风骨、美在精髓、美在真情．以下汉字中，可近似看做轴对称字形的个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，根据“根据沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形”进行求解即可． 【详解】解：由图可得，近似看做轴对称字形有：黄、美， 故选：C． 3. 据报道，2024年春节假期兰州市接待游客约450万人次，旅游收入同比增长近三成，将4500000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 若，则的余角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了余角的定义，根据余角的定义，两个角的和为，则这两个角互为余角，已知，求其余角即为减去． 【详解】解：， 的余角． 故选：A． 5. 若x为正整数，要使有意义，则满足条件的x的值可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，结合为正整数，确定的可能值． 【详解】∵有意义， ∴， 解得． ∵为正整数： ∴的可能取值为1、2、3． 故选：D． 6. 每一个内角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，邻补角性质，先根据邻补角性质得出：正多边形的每一个外角都是，再根据多边形的外角和等于进行计算，即可得出答案． 【详解】解：因为正多边形的每一个内角都是， 所以正多边形的每一个外角都是， 所以正多边形的边数是，即这个正多边形是正八边形． 故选：D． 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元一次方程的知识，理解并正确运用一元二次方程的根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根．计算判别式并解方程即可求出参数的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得． 故选：C． 8. 现有三张背面花色完全一样的扑克牌，它们的正面分别写有“兰、州、好”，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则正好抽到“好”字的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．直接由概率公式求解即可． 【详解】解：∵现有三张背面花色完全一样的扑克牌，它们的正面分别写有“兰、州、好”， ∴洗匀后从中随机抽取一张，则正好抽到“好”字的概率为， 故选：B． 9. 某商店售货时，在进价基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表所示，则售价y与数量x的函数关系式为（ ） 数量x/件 1 2 3 4 … 售价y/元 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数关系式．依据题意，根据数量x与售价y如下表所示所提供的信息，列出售价y与数量x的函数关系式． 【详解】解：由题意得， 故选：C． 10. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出第二批面粉的采购量，根据“每千克面粉价格提高了0.4元”这一等量关系即可列方程． 【详解】设第一批面粉采购量为x千克，则设第二批面粉采购量为千克，根据题意，得 故选：A 【点睛】本题考查列方程解决实际问题，找出题中的等量关系列出方程是解题的关键． 11. 如图，为半圆O的直径，平分，交半圆于点D，，交于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、对顶角相等、角平分线的定义，由题意得，根据角平分线的定义得，再根据圆周角定理得，进而求得，最后根据对顶角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12. 如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】△AMN的面积= AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2； 【详解】解：（1）当0＜x≤1时，如图， 在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD； ∵MN⊥AC， ∴MN∥BD； ∴△AMN∽△ABD， ∴即， ∴MN=x； ∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1）， ∵＞0， ∴函数图象开口向上； （2）当1＜x＜2，如图， 同理证得，△CDB∽△CNM， ∴即 ∴MN=2-x； ∴y=AP×MN=x×（2-x）， y=-x2+x； ∵＜0， ∴函数图象开口向下； 综上答案C的图象大致符合． 故选C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，函数图像的识别，二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是________． 【答案】（-1，2）或（1，-2） 【解析】 【详解】解：根据位似变换的位似比 ，可直接求A′的坐标为（-1，2）．或（1，-2） 故答案为（-1，2）或（1，-2） 【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，解题时根据位似比直接由相似的性质求解即可，此题比较简单，是常考题． 15. 如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】3π 【解析】 【分析】利用平行四边形性质得出∠C=120°，然后利用扇形面积公式进一步求解即可． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB//CD， ∴∠C=180°-∠B=180°-60°=120°， ∴阴影部分面积==3π， 故答案为：3π． 【点睛】本题主要考查了平行四边形性质以及扇形面积公式，熟练掌握相关概念是解题关键． 16. 从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 合计 A 59 151 166 124 500 B 50 50 122 278 500 C 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 【答案】C 【解析】 【分析】样本容量相同，观察统计表，可以看出C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，即可得出结论. 【详解】解：样本容量相同，C线路上的公交车用时超过分钟的频数最小，所以其频率也最小， ∴乘坐C线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 故答案为：C. 【点睛】考查用频率估计概率，读懂统计表是解题的关键. 三、解答题：本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 利用负整数指数幂法则，立方根的定义，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】解： 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，分别求解出一元一次不等式的解，再取公共部分是解决本题的关键． 先求解不等式：，再求解不等式：，由数轴取公共部分即可求解． 【详解】不等式：，即，解得， 不等式：，即，解得， 把不等式和不等式的解集在数轴上表示如下： 取公共部分可得不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，实数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知：如图，为锐角三角形，，． 求作：线段，使得点P在直线上，且． 作法：①以点A为圆心，长为半径画圆，交直线于C，P两点； ②连接，线段就是所求作线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：∵， ∴ ． ∵，点B在上，， ∴． 【答案】（1） 线段就是所求作线段，如图所示； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的描述，进行作图即可； （2）先结合平行线的性质得，运用圆周角定理得出，再进行角的等量代换，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵，点B在上，， ∴． 21. 某年级共有300名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息． ①A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组，，，，，）： ②A课程成绩在这一组的是： 70，71，71，71，76，76，77，78，78.5，78.5，79，79，79.5，79 ③A、B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ． （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数． 【答案】（1） （2）B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数； （3）估计A课程分数超过的人数为180人． 【解析】 【分析】本题考查考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数的计算方法和意义是解题的关键． （1）根据中位数的概念直接进行计算即可； （2）根据成绩和中位数的关系即可知道排名更靠前的课程； （3）用总人数300乘以抽取的学生中A课程成绩超过分的比例即可． 【小问1详解】 解：∵A课程总人数为， ∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在这一组， ∴中位数在这一组， ∵这一组的是：70  71  71  71  76  76  77  78  78.5 78.5  79  79  79  79.5， ∴A课程的中位数为； 【小问2详解】 解：∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数， ∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B， 故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数； 【小问3详解】 解：解：抽取的60名学生中，A课程成绩超过的人数为36人． ∴（人） 答：该年级学生都参加测试，估计A课程分数超过的人数为180人． 22. 已知两点A（，2），B（n，）是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）， （2）6 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求反比例函数解析式，再将点B（n，）代入反比例函数解析式，求出B点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出一次函数图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积进行求解即可． 【小问1详解】 将点A（，2）代入反比例函数，得， 解得， 反比例函数解析式为； 把点B（n，）代入反比例函数，得， 解得，即， 把A、B坐标代入一次函数，得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握知识点并运用数形结合的思想是解题的关键． 23. 一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高为米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）？ （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方米处？ 【答案】（1），球不能射进球门 （2）当时他应该带球向正后方移动2米射门 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入平移后的解析式中即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； 【小问2详解】 解：设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入到得， 解得：或（舍去） ∴当时他应该带球向正后方移动2米射门． 24. 如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】 (1)证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； (2) 【解析】 【分析】(1)连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线； (2)连接，推出是等边三角形，得到，求得，得到，于是得到结论． 【详解】(1)略 (2)解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 黄河是“母亲河”，为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到河某段流域进行研学旅行，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河西岸的点A处测得河东岸的树H恰好在A的正东方向，测方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 点B，C在点A的正南方向 点B在点A的正南方向，点C在点A的正北方向 数据 请选择其中一个小组及其数据求出河宽．（精确到1m，参考数据：，，，）（注：如果选择第一小组和第二小组分别作答，按第一个解答计分．） 【答案】第一小组：；第二小组： 【解析】 【分析】第一小组：先根据直角中，的正切值可建立与的关系，再由直角中，的正切值可建立与的关系，再由建立等式求解即可． 第二小组：先根据直角中，的正切值可建立与的关系，再由直角中，的正切值可建立与的关系，再由列式求解即可． 【详解】解：选择第一小组， 在直角中，， 所以，可得， 又因为，所以， 在直角中，， 所以，可得， 所以，即， 可得， 则有， 解得， 所以河流宽度为． 选择第二小组， 在直角中，， 所以，可得， 在直角中，， 所以，可得， 又因为，且， 所以，即， 则有， 解得， 所以河流宽度为． 【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数的关系，通过在不同的直角三角形中，根据已知角度和边的长度，运用正切函数建立等式来计算河宽是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 35中数学（二） 一、选择题：本大题共 12 小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 9的平方根是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 汉字，是中华民族文化的化石，汉字之美，美在形体、美在风骨、美在精髓、美在真情．以下汉字中，可近似看做轴对称字形的个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 3. 据报道，2024年春节假期兰州市接待游客约450万人次，旅游收入同比增长近三成，将4500000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的余角等于（ ） A. B. C. D. 5. 若x为正整数，要使有意义，则满足条件的x的值可能是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 每一个内角都是的正多边形是（ ） A. 正四边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 8. 现有三张背面花色完全一样的扑克牌，它们的正面分别写有“兰、州、好”，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则正好抽到“好”字的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 某商店售货时，在进价基础上加一定利润，其数量x与售价y如下表所示，则售价y与数量x的函数关系式为（ ） 数量x/件 1 2 3 4 … 售价y/元 … A. B. C. D. 10. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，为半圆O的直径，平分，交半圆于点D，，交于点E，则的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是( ) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 因式分解：______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为 ，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是________． 15. 如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是_____． 16. 从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下： 公交车用时 公交车用时的频数 线路 合计 A 59 151 166 124 500 B 50 50 122 278 500 C 45 265 167 23 500 早高峰期间，乘坐_________（填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大． 三、解答题：本大题共12小题，共72分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知：如图，为锐角三角形，，． 求作：线段，使得点P在直线上，且． 作法：①以点A为圆心，长为半径画圆，交直线于C，P两点； ②连接，线段就是所求作线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：∵， ∴ ． ∵，点B在上，， ∴． 21. 某年级共有300名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析下面给出了部分信息． ①A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组，，，，，）： ②A课程成绩在这一组的是： 70，71，71，71，76，76，77，78，78.5，78.5，79，79，79.5，79 ③A、B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 根据以上信息，回答下列问题： （1）写出表中m的值； （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ． （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过75.8分的人数． 22. 已知两点A（，2），B（n，）是一次函数和反比例函数图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△AOB的面积． 23. 一次足球训练中，小明从球门正前方8米的A处射门，足球射向球门的路线呈抛物线，当足球飞行的水平距离为6米时，足球达到最高点，此时球离地面3米．已知球门高为米，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求y关于x的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）？ （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方米处？ 24. 如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 25. 黄河是“母亲河”，为落实黄河文化的传承弘扬，某校组织学生到河某段流域进行研学旅行，两个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河西岸的点A处测得河东岸的树H恰好在A的正东方向，测方案与数据如下表： 课题 测量河流宽度 测量工具 测量角度的仪器、皮尺等 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 点B，C在点A的正南方向 点B在点A的正南方向，点C在点A的正北方向 数据 请选择其中一个小组及其数据求出河宽．（精确到1m，参考数据：，，，）（注：如果选择第一小组和第二小组分别作答，按第一个解答计分．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $