陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册前三章，选择性必修第二册第五 章，选择性必修第三册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.设集合A={x|-2≤x<1},B={x|-1<x≤3}，则AUB= A.{x|-2<x<3} B.{xl-1<x<1} C.{x|-1≤x≤1) D.{x|-2≤x≤3} 2.若命题p:Hx∈R,x2十1>0，则p为 A.Hx∈R,x2+1≤0 B.Hx∈R,x2+1<0 C.3x∈R,x2+1>0 D.3x∈R,x2+1≤0 3.若随机变量X满足D(X)=4,则a(3X一2)= A.12 B.23 C.6 D.36 4.已知幂函数f(x)=x,则“a>1”是“f(x)在第一象限单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某旅行社设计了4条不同的旅游路线，小夏要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出 游，则不同的出游方法有 A.24种 B.16种 C.12种 D.6种 6.A,B两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且A,B两种品牌的钢笔的次品率分 别为4%和a%.若市场上这种型号钢笔的次品率为2.5%，则a= A.1 B.2 25% C.3 B75% D.4 【高二数学第1页（共4页）】 7.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f(x)是∫(x)的导函数， f(x)是了(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,∫(x)》处的曲率K=广山 (1+(f'(x)2)” 曲线y=er一sinx在点(0，f(0))处的曲率为 A授 B.√2 D.2 8.95除以128的余数为 A.51 B.43 C.41 D.33 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.关于(x一1)10的展开式，下列结论正确的是 A.展开式共有101项 B.展开式的第2项系数为100 C.展开式的所有项的系数之和为0 D.展开式的所有二项式系数之和为2∞ 10.下列命题为真命题的是 A.若a<b<c<0,则ac2<bc2 B.若a<b<0,则a2<b2 C.若a>b>0,则a2>ab>b2 D若a>6>0,则>号 11.已知y=f(x一1)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(2-x),当x∈(-1,2]时，f(x) =2+x2,则 A.f(x)图象的一个对称中心为点（一1,0） Bf-0=8 C.f(x)的一个周期为12 D.f(2025)=3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.在一组样本数据(x1,y),(x2y2),,(xm,yn)(n≥2，x1,x2,,x。不全相等)的散点图 中，若所有样本点(x,y,)(i=1,2,…,n)都在直线y=一3x十1上，则这组样本数据的相关 系数为▲· 13.已知N8,),若P(>10)=行则P(6≤≤8)=▲ 14.六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数 为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 研究人员对某种口腔药物的使用时间x(单位：分钟)与口腔内细菌的含量水平y进行了检 验，得到了口腔内细菌的含量水平与药物使用时间的数据，如下表所示： 药物使用时间x/分钟 1 2 3 4 5 口腔内细菌含量水平y 92 85 73 65 52 (1)根据散点图可以判断，y与x呈线性相关关系，求y关于x的经验回归方程， (2)经过对这种细菌的研究发现，当口腔内细菌含量水平低于5时，可认为口腔处于健康状 态，请你计算该药物使用多长时间后口腔处于健康状态（结果精确到整数）， 附：用最小二乘法求经过点(u1v1),(u2v2),(u3v3),…,(uv:)的经验回归方程元= bu+a的系数公式，6= 2,一，一刀）含，一版 -,a=元-bm. 2(w,-2 ui-nn 16.(15分) 某平台为了解企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，对200家企业进行跟 踪调查，发现其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天线 上销售额不足50万元的企业占号。 每天线上销售额不少于50万元每天线上销售额不足50万元合计 每天线上销售时间 70 不少于8小时 每天线上销售时间 不足8小时 合计 (1)请完成上面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为企业的每天线上销售额与每 天线上销售时间有关； (2)在上述线上销售时间不足8小时的企业中，按线上销售额进行分层抽样，抽取5家企业， 再从这5家企业中抽取3家企业，求抽取的3家企业中恰有1家企业线上销售额不足 50万元的概率. 附： 0 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 n(ad-be)2 参考公式：X2=a+bC+)a十c6+而其中n=a+6+c+d. 【高二数学第3页（共4页）】 17.(15分) 已知函数fx)=营+x-mr+2 (1)若曲线y=∫(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3x一y+n=0,求m,n: (2)若∫(.x)有三个零点，求实数m的取值范围. 18.(17分) 随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如 下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 (1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X, 求X的分布列和数学期望， (2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑 战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过 互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为号 ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战 多少次？ 19.(17分) 已知函数fx)-苦g(x)=ax-lhx-1. (1)判断f(x)的单调性： (2)若f(x)十g(x)≥0恒成立，求a的取值范围， (3)若方程f(x)十g(x)=0有两个不同的根x1,x2,证明：x1x2>e, 【高二数学第4页（共4页）】 高二数学考试参考答案 1.DAUB={x|-2≤x≤3}. 2.D全称量词命题的否定是存在量词命题. 3.C因为D(X)=4,所以D(3X-2)=9D(X)=36,故g(3X-2)=√D(3X-2)=6. 4.A当a>0时，幂函数∫(x)在第一象限单调递增，所以“a>1”是“∫(x)在第一象限单调递 增”的充分不必要条件 5.C由题意可得不同的出游方法有A=4×3=12种. 6.B设从市场上任取一支该种型号钢笔，它是次品为事件A,则P(A)=25%×4%十75%× a%=2.5%,解得a=2. 7.B令f(x)=e2-sinx,则f'(x)=2e2-cosx,f'(x)=4e2+sinx.因为f'(0)=1, (0)=4,所以曲线y=e-sinx在点(0，f(0)处的曲率为 I"(o)川 (1+(f'(0)2)(1+1) =2. 8.C因为95=(8十1)5=C8s85十C81+C%8s+…十C影82+C88十C=82(C883+Cg882 十C881十…十C船)十681，旦82(C8s8十C82十C81十…十C)显然能被128整除，所以 所求余数即为681除以128的余数.因为681=128×5+41，所以95除以128的余数为41. 9.ACD展开式共有101项，A正确.展开式的第2项系数为C(一1)'=一100，B错误.令x =1,得展开式的所有项的系数之和为0，C正确.展开式的所有二项式系数之和为21，D 正确. 10.AC对于A,因为c2>0,a<b,所以ac2<bc2,故A正确：对于B,因为a<b<0,所以a2- b2=(a十b)(a-b)>0,故B不正确；对于C,因为a>b>0,所以a2-ab=a(a-b)>0,ab -=ba-b>0,故C正确：对于D.因为>6>0，所以日言-B2<0,放D不正确 11.AC因为f(x-1)是定义在R上的奇函数，所以f(-x一1)=一f(x-1),所以f(-1+ x)+f(-1-x)=0,所以f(x)的图象关于点(-1,0)对称，且f(-1)=0,故A正确，B不 正确；因为f(x十2)=f(2-x),所以f(x十5)=f(-1-x)=-f(x-1),所以f(x十6) =-f(x),所以∫(x+12)=f(x),故C正确；因为当x∈(-1,2]时，f(x)=2+x2,所以 f(2025)=f(9)=f(-3)=一f(1)=-3,故D不正确. 12.一1因为所有样本点都在直线y=一3.x十1上，所以相关系数r满足|r|=1,又因为一3< 0,所以r<0,所以r=一1. } 因为E~N8g,P(e>10)=日，所以P(6≤<8)1=2P210-号 14.1560若书本数按2,21,1分发，则有CS.CS,A=1080种不同的分配方法； AA 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 若书本数按3,1,1,1分发，则有CA1=480种不同的分配方法. 故共有1560种不同的分配方法. 15.解：(1)因为元=3，y=73.4,…2分 2xy,=1X92+2X85+3X73+4X65+5X52=1001, 4分 2女=1+4+9+16+25=5， 5分 所以，-5贡司 1001-5×3×73.4=-10,…7分 2好-5 55-5×9 所以a=-i=73.4+10×3=103.4, 8分 所以y关于x的经验回归方程为y=一10x十103.4.…9分 (2)要使口腔内细菌含量水平低于5，则y=一10x十103.4<5，…10分 解得x>9.84,…12分 故该药物使用10分钟后口腔处于健康状态. 13分 16.解：(1) 每天线上销售额不少于50万元 每天线上销售额不足50万元 合计 每天线上销售时间不少于8小时 70 30 100 每天线上销售时间不足8小时 60 40 100 合计 130 70 200 2分 因为x:=200X(70X40-60×30)200 100×100×130×70 91 2.198<2.706=xa.1, 5分 所以没有90%的把握认为企业的每天线上销售额与每天线上销售时间有关.…7分 (2)因为每天线上销售时间不足8小时的100家企业中，线上销售额不少于50万元的企业 有60家，线上销售额不足50万元的企业有40家，所以抽出的5家企业中线上销售额不少 于50万元的企业有3家，线上销售额不足50万元的企业有2家.…9分 设“抽取的3家企业中恰有1家企业每天线上销售额不足50万元”为事件A,…10分 则P(A)=CC3 Cg =5’ 13分 3 即抽取的3家企业中恰有1家企业每天线上销售额不足50万元的概率为行 。 15分 1解：1因为/x)=号+r-mx+2,所以了x)=号+2x-m 044。ee4e44。 2分 7 一m=3, 因为f1)=号-m1=名-m,所以 7 2 7 …3分 2 -m=3十n, 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 m= 解得 2, 5分 n=0. (2)因为f(x)有三个零点，且f(0)≠0， 所以关于：的方程写十x十冬-m=0有三个不同的根， 即曲线y-号+红十是与直线y=m有三个交点。 8分 令6)++ 则g'x)=x+1-名=+x-2_x3-10+(x2--x-1D(x2+2x+2 22 22 …10分 因为x2十2x十2>0，… 11分 所以g(x)在（一∞，0），(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. 12分 因为g(1)=弓，所以当m>时，直线y=m与曲线y=gx)有三个交点， 故实数m的取值范固是(？，十∞). 15分 18.解：(1)参加“徒步走”人数不低于55的学校共3所，则X的所有可能取值为0,1,2,3. …1分 P(X=0)= 0P(X=2= CC 20P(X=3)= C C C C 20' 3分 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 品0 9 品 20 444*44年*050508000000044400000000004400“000404000000504。 4分 所以E(X)=0X +1×易+2x品+3x品-是 6分 (2)①小明1次挑战成功的概率为C(兮)》°×号+C(兮》广-品 …10分 ②小明在m轮挑战中挑战成功总次数：服从二项分布，即一B(,), …12分 7 由题意可得E()=271>3,… …14分 因为n∈N”,所以解得n≥12，…16分 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 所以理论上小明至少需挑战12次.…17分 19.1)解：因为fx)-兰，所以fx)=a心 1分 当a=0时，∫'(x)<0,所以f(x)在（一∞，0）和(0，十o∞)上单调递减；… 2分 当e>0时，令fx)>0,得x>,令f(x)<0,得0<x<或x<0, 所以了x)在（日，十∞）上单调递增，在(-∞，0)和(0，）上单调递减； …3分 当a<0时，令f(x)>0,得x<,令f'(x)<0,得2<x<0或x>0, 所以f(x)在(-∞，）上单调递增，在（日，0）和(0，十∞)上单调递减。 4分 综上所述，当a=0时，∫(x)在（一∞，0）和(0，十∞)上单调递减； 当a>0时，f(x)在（日，十∞）上单调递增，在(-∞，0)和(0，)上单调递减： 当a<0时，f(x)在(-∞，）上单调递增，在(2,0)和(0，十∞)上单调递减 …5分 (2)解：（方法-）因为∫(x)十g(x)= 十a.x-lnx-l≥0恒成立，所以e-mr十ax-lnx x 一1≥0恒成立.… …6分 令t=a.x-lnx,则e十t-l≥0.令h(t)=e十t-1,则h(t)在R上单调递增.…7分 因为h(0)=0,所以h()≥0，即≥0.由=ax-lnx≥0，得a≥n 0e00044t0eg 8分 令g)=则g)n二。 x2 所以p(x)在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减， 9分 所以p(x)nm=gle)=号，所以a∈[2+)： 10分 (方法二冷A《x)=f)+gx)=兰+ar-nx-1,则h(x≥0恒成立 A=子+a心- 6分 ①当a≤0时，因为x>0,所以h'(x)<0,所以h(x)在(0，十o∞)上单调递减. 440004。 7分 因为h(1)=e十a一1<0，所以h(x)≥0不恒成立. 8分 ②当a>0时，则(x)在(0，）上单调递减，在(2，+∞)上单调递增。 所以h(x)=h(）=ae+lna.… 9分 因为函数m(a)=ae+lna在(0，+o)上单调递增，且m(日)=0， 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 所以当a∈[是，+∞)时，h(x)≥0恒成立. 10分 (3)证明：设x1<x2,则由(2)知1<x1<e<x2: 因 ax,=nx1'所以a= In z1-In z2 11分 ax2=In x2, x1一x2 因为a(x1十x2)=lnx1十lnx2, 1+1 所t以h,十n,-血二h(,十)=n …12分 x1-x2 1-1 T2 令m∈o.则nt+h当hm T2 要证x1x2>e2,只要证lnx1十lnx2>2, 即证%号nm>2,即证(m+1)nm-2(m-1)<0.…13分 令p(m)=(m+1)1nm-20m-1D,m∈(0,1），则p'0m)=lnm+m+-2.…14分 令g(m)=1nm+m+1-2. 因为gcm=六-之=2<6，所以pm在0,1止单调递减，…15分 所以p(m)>p'(1)=0,所以p(m)在(0,1)上单调递增.…16分 因为p(m)<p(1)=0,所以(m十1)lnm-2(m-1)<0成立，故x1x2>e2.…17分 第（③洞中关于证明%牛山m>2,可用下面方法。 欲证物十， 7五1nn2,即正1n2—+1之0 …13分 令p(m)=lnm- m+1,则p'(m)=1、4 2(m-1) =(m-1)2 m(m+1)2-m(m+1)>0,…14分 所以p(m)在(0,1)上单调递增，所以p(m)<p(1).…15分 因为p(1)=0,所以p0m）=nm-2》<0放>e.…17分 m+1 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】