精品解析：福建省福州市福九联盟（高中）2024-2025学年高二下学期期末联考数学试卷

2024—2025学年度第二学期福九联盟（高中）期末联考 高中二年数学科试卷 命题学校：平潭一中 考试时间：7月 9 日 完卷时间：120分钟 满 分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 等差数列的前项和为，且，则为（     ） A. 45 B. 81 C. 90 D. 162 4. 下列说法正确的是（     ） A. 函数的最小值是2 B. 函数的最小值为4 C. “且”是“”的充分不必要条件 D. 命题“”的否定是“” 5. 若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 若，则（ ） A. 1 B. C. 129 D. 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 若甲乙两组数据的相关系数分别为0.75和-0.92，则甲的数据线性相关性更强 B. 随机变量的方差越小，随机变量的取值越集中 C. 若随机变量满足，若，则 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. ，都有 C. 函数有两个零点 D. 函数在区间（-1，0）上单调递减 11. 一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（    ） A. 事件，为对立事件 B. C. 事件B，C为独立事件 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 用0，1，2，3这4个数字，可组成______个没有重复数字的三位数（用数字作答） 13. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间可以用模型去拟合，收集了4组数据，设与的数据如表格所示： 2 4 6 8 1 3 4 5 利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则__________ 14. 已知定义域为的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则___________ 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设函数 （1）试判断函数的奇偶性并加以证明； （2）若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 16. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 17. 春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 40 流感暴发后 15 合计 100 （1）完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． （2）后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．已知学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 19. 现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 （1）求； （2）求的概率分布列并求出; （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期福九联盟（高中）期末联考 高中二年数学科试卷 命题学校：平潭一中 考试时间：7月 9 日 完卷时间：120分钟 满 分：150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，进而可得交集. 【详解】根据，因为，解得， 因为，所以. 故选：A. 2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项. 【详解】对于A：的定义域为，定义域为， 定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确； 对于B：定义域为，的定义域为， 定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确； 对于C：的定义域为，定义域为， 定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确； 对于D：两函数定义域为，值域为，对应关系完全相同， 是同一个函数，故选项D正确. 故选：D. 3. 等差数列的前项和为，且，则为（     ） A. 45 B. 81 C. 90 D. 162 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质可得，即可得所求. 【详解】等差数列的前项和为， 则成等差数列，所以， 即，解得. 故选：B. 4. 下列说法正确的是（     ） A. 函数的最小值是2 B. 函数的最小值为4 C. “且”是“”的充分不必要条件 D. 命题“”的否定是“” 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由反例，根据不等式性质，可得其正误；对于B，由余弦函数的性质，根据基本不等式，可得其正误；对于C，由基本不等式，根据充分不必要条件，可得其正误；对于D，由存在命题的否定，可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，则，，，当且仅当时，等号成立，显然等号不能成立，故B错误； 对于C，当时，，当且仅当时，等号成立，所以“ 且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，“”的否定是“”，故D错误. 故选：C. 5. 若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先一元二次方程有解及一元二次不等式恒成立求解出和，进而根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解. 【详解】对于，， 所以，即. 对于，， 因为函数在上单调递增， 所以当时，， 则，即. 所以p是q的必要不充分条件. 故选：B. 6. 有10件产品，其中3件是次品，从中不放回地任取2件，若X表示取得次品的件数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件的概率公式，结合组合计数问题及超几何分布求解即得. 【详解】由题意知X的所有可能取值为0，1，2，X服从超几何分布， 则，，， 所以. 故选：C. 7. 若，则（ ） A. 1 B. C. 129 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令可得， 令可得， 即， 故选：B 8. 已知连续型随机变量服从正态分布，记函数，则函数的图象（ ） A. 关于直线对称 B. 关于直线对称 C. 关于点成中心对称 D. 关于点成中心对称 【答案】C 【解析】 【分析】先由对称性得，故，得到关于点成中心对称，C正确，AD错误；同理可得不关于直线对称，B错误. 【详解】服从正态分布，故 由对称性可知， 又，， 故，关于点成中心对称，C正确，AD错误； 又， 故， 不关于直线对称，B错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（    ） A. 若甲乙两组数据的相关系数分别为0.75和-0.92，则甲的数据线性相关性更强 B. 随机变量的方差越小，随机变量的取值越集中 C. 若随机变量满足，若，则 D. 随机变量服从二项分布，若方差，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线性相关系数的性质判断A；根据随机变量方差的意义与性质判断B，C；根据二项分布的方差求解的值，再求解的值即可判断D. 【详解】对于A，相关系数的绝对值越大数据线性相关性越强，若甲乙两组数据的相关系数分别为0.75和-0.92，则乙的数据线性相关性更强，故A不正确； 对于B，随机变量的方差越小，随机变量的取值越集中，故B正确； 对于C，若随机变量满足，若，则，故C不正确； 对于D，随机变量服从二项分布，则方差，解得，则，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. ，都有 C. 函数有两个零点 D. 函数在区间（-1，0）上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】设，则，得到，可判定A正确；利用导数求得函数单调性，得出函数的值域，可判定B不正确；令，求得函数的零点格式，可判定C错误；当时，求得恒成立，可判定D正确. 【详解】对于A中，设，则， 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 则，所以A正确； 对于B中，当时，，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，也是上最小值， 所以，函数在满足， 又因为函数为奇函数，图象关于原点对称，且， 所以函数的值域为，所以B不正确； 对于C中，当时，，令时，可得； 当时，，令时，可得； 又因为函数是定义在上的奇函数，可得， 综上可得，函数有三个零点，所以C错误； 对于D中，当时，函数，可得， 所以函数在区间上单调递减，所以D正确. 故选：AD. 11. 一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（    ） A. 事件，为对立事件 B. C. 事件B，C为独立事件 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据独立事件和互斥、对立事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率. 【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，，不可能同时发生且必有一个发生，所以为对立事件，A正确. 对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确. 对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率，积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误 对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则，根据条件概率公式可知，所以D正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 用0，1，2，3这4个数字，可组成______个没有重复数字的三位数（用数字作答） 【答案】18 【解析】 【分析】需要分步确定三位数的百位、十位和个位数字． 【详解】组成的数是三位数，故百位不能是，百位有种选择； 百位选了一个数字后，十位还有种选择； 百位和十位各选了一个数字后，个位还有种选择； 一共可以组成没有重复数字的三位数有：（个）. 故答案为：． 13. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限（单位：年）与维护费用（单位：千元）之间可以用模型去拟合，收集了4组数据，设与的数据如表格所示： 2 4 6 8 1 3 4 5 利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】先求出与，将其代入回归方程求出，由求出，即可求出. 【详解】由题意， ， ， ∵，其中斜率， ∴， 由得：， ∴， 故答案为：. 14. 已知定义域为的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件确定的周期和对称轴，然后作出函数，的图像，通过图像交点个数来确定即可. 【详解】是定义域为的偶函数，，又， 令，则，的图像关于对称； 令，则，即，， 令，则，是周期为的周期函数， 当时，，根据偶函数的性质可得当时，， 方程实数解的个数，即函数，的交点个数， 由偶函数的定义可证是偶函数， 两函数的交点是关于纵轴对称的，即只分析的情况即可得到答案， 结合条件作出两函数简要图像如下： 当时， ，此时有两个交点，即； 当时， ,过，此时有四个交点，即； 当时， ，此时有个交点，即； 以此类推可知，， 故答案：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 设函数 （1）试判断函数的奇偶性并加以证明； （2）若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明：易知函数是奇函数， 的定义域为R ， 又， 是定义在R在的奇函数， （2） 【解析】 【分析】（1）先判断奇偶性，再利用定义法证明即可； （2）利用导数或初等函数证明函数单调性，再利用奇偶性单调性解不等式，恒成立，转化为对任意的恒成立，分情况讨论即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 易知，，则恒成立， 所以在R为增函数 ； 因为函数为上的奇函数，且为增函数， ， ，即对任意的恒成立， ①当时，则有，对任意的恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 16. 已知数列中，，，且数列为等差数列． （1）求的通项公式； （2）记为数列的前n项和，证明：． 【答案】（1） （2）证明：因为， 所以 ，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 因为数列中，，，且数列为等差数列， 设数列的公差为，则，故， 所以，故. 【小问2详解】 略 17. 春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 40 流感暴发后 15 合计 100 （1）完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． （2）后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．已知学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 25 40 流感暴发后 45 15 60 合计 60 40 100 认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表，计算，再与临界值比较进行独立性检验即可. （2）先设出对应事件，再利用全概率公式求解，最后利用条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 零假设流感暴发对请假的同学中发烧的人数无关．完成列联表如下 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 15 25 40 流感暴发后 45 15 60 合计 60 40 100 由列联表可得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立； 即认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响，此推断犯错误的概率不大于． 【小问2详解】 设事件A表示“请假的学生是女生”，表示“请假的学生是男生”；事件B表示“需要输液治疗”， 依题意得，，， 由全概率公式得， 则 故这名同学是女生的概率为． 18. 已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值； （3）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增区间为；减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，令，得导函数的零点，从而确定函数单调性得单调区间； （2）分别讨论当，，时函数在上的单调性从而最大值； （3）将不等式恒成立转化为即在恒成立，构造函数，分别验证函数在，，成立的情况，即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数，易知函数的定义域为R， 则，令，得， 当变化时，的变化情况如下表所示： + 0 增 极大值 减 故函数的增区间为；减区间为； 【小问2详解】 ①当时，即时，函数在区间上单调递增，则； ②当时，即时，函数在区间上单调递增函数，在区间上单调递减， 则； ③当时，即时，函数在区间[1，2]上单调递减，； 综上所述：； 【小问3详解】 （解法一）当时，若恒成立，即在恒成立（*） ①当时，，符合题意； ②当时，因为有意义，则， 当时，，符合题意， 当时，， 令，则， 则在区间上单调递减，在区间单调递增， 所以， 依题意要使（*）成立只需，解得 ③当时，因为有意义，则， 令，则，即与（*）式恒成立矛盾，舍去 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是. （解法二）当时，若恒成立，即在恒成立（*） ①当时，，符合题意 ②当时，因为有意义，则； 当时，，符合题意， 当时，依题意只需证明（*） 令，则， 则在区间上单调递减，在区间单调递增， 由（*）可知，，即； ③当时，因为有意义，则， 令，则，即与（*）式恒成立矛盾，舍去； 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 （解法三）当时，若恒成立，即在恒成立， ①当时，恒有，符合题意 ②当时，则，当时，，，符合题意， 当时，依题意只需证明（*） 令，则 则在区间上单调递减，在区间单调递增， 故，即； ③当时，则， 令，则，即与恒成立矛盾，舍去； 由①②③可得，满足条件的实数的取值范围是 19. 现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 （1）求； （2）求的概率分布列并求出; （3）证明： 【答案】（1） （2）的分布列如下表： 0 1 2 3 P （3）证明:依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ，                                      ， ， . 【解析】 【分析】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，然后写出分布列，再求数学期望即可； （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，再根据和数学期望计算化简即可. 【小问1详解】 事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； 则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中， 则； 【小问2详解】 依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，，； ， ， ， ， ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 P 所以 . 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $