精品解析： 四川省成都市温江区王府外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年四川省成都市温江区王府外国语学校九年级（上）期中数学试卷 Ⅰ卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，可得图形如下： 故选：A． 2. 小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解. 【详解】解: 列表如下： ， 共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种， 所以小亮恰好站在中间的概率=． 故选B. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率. 3. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（　　） A. 200（﹣1） B. 100（﹣1） C. 100（3﹣） D. 50（﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到，把AB=200代入计算即可． 【详解】∵点C是线段的黄金分割点，且AC>BC ∴ ∵AB=200 ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段与较短线段，若较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，则这个点叫做这条线段的黄金分割点，此时较长线段是整条线段的．掌握此定义是关键． 4. 对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　） A. 点（﹣3，1）在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答． 【详解】A、∵﹣3×1≠3，故A说法不正确； B、∵k＝3＞0，∴图象在第一、三象限，故B说法不正确； C、在第一象限内，y随x的增大而减小，故C说法不正确； D、在第三象限内，y随x的增大而减小，故D说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟记基本性质是解题关键． 5. 如图，已知P是△ABC边AB上的一点，连接CP，以下条件中条件中不能判定△ACP∽△ABC的是( ). A. ∠ACP=∠B B. ∠APC=∠ACB C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可. 【详解】解： 补充 ∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB， 都有 补充AC2＝APAB， 即补充，有 而补充，没有夹角相等，不能判定 故选D. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质.识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角. 6. 如图，中，，于D，若，则的长是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，利用面积法求出，再根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选D． 7. 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2015年为10.8万人次，2017年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　） A. 10.8（1+x）=16.8 B. 16.8（1﹣x）=10.8 C. 10.8（1+x）2=16.8 D. 10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程10.8（1+x）2=16.8， 故选C． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵函数y=x﹣1的，， ∴它的图象经过第一、三、四象限． 根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限． ∵反比例函数的系数， ∴图象两个分支分别位于第一、三象限． 综上所述，符合上述条件的选项是C． 故选C． 二、填空题（本大题共有5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可设，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 设，， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 10. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，解得：， ∴方程的另一个根是， 故答案为：． 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小为_____．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限里，y随x的增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：． 12. 如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为_______． 【答案】##1.5## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式中k的几何意义，根据反比例函数解析式中k的几何意义即可解答． 【详解】解：由题意得：，则， 设， ∴， 将代入反比例函数得：，即， 又∵，即为直角三角形， ∴． 故答案为：． 13. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米． 【答案】5 【解析】 【分析】由已知易得：△MBA∽△MCO，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长． 【详解】根据题意，易得△MBA∽△MCO， 根据相似三角形的性质可知， 即， 解得AM=5． ∴小明的影长为5米． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长. 三、解答题（本大题共有5小题，共48分） 14. 计算： （1）解方程：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），； （2）， 将不等组的解集表示在数轴上如下： ． 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤对所给不等式组进行求解，并按要求将解集在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， 则不等式组的解集为：． 15. （1）已知k为实数，关于x的方程有两个实数根． ①求实数k的取值范围； ②若，试求k的值． （2）如图，在菱形中，对角线相交于点O，． ①求证：四边形是矩形； ②若，求四边形的面积． 【答案】（1）①；②； （2）①证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； ② 【解析】 【分析】（1）①把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； ②利用根与系数的关系得到，再利用得到．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值； （2）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②证明三角形是等边三角形得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：（1）①∵关于x的方程有两个实数根 即关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围为； ②∵方程的两根为， ∴， ∵，即， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）①略 ②解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是矩形， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了根的判别式，根与系数关系，矩形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各知识点是解题的关键． 16. 初2019级为了解学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）求测试结果为等级的学生数，并补全条形图； （2）在扇形统计图中，试求等级对应的圆心角度数； （3）若从体能为等级的名男生名女生中随机的抽取名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 【答案】 （1）因为10÷20%=50， 所以本次抽样调查共抽取了50名学生； 测试结果为C等级的学生数为50-10-20-4=16（人）； 补全条形图如图所示： （2）144°；（3） 【解析】 【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数，总人数减去A、B、D人数求得C等级人数，从而补全图形； （2）用360°乘以B等级人数占被调查人数的比例即可得； （3）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【详解】解：（1）略 （2）B等级对应的圆心角度数为； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2， 所以抽取的两人恰好都是男生的概率=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． 17. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，x的取值范围； （3）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数解析式为； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，图形面积计算与点坐标求解，矩形的性质等知识点的应用，掌握这些是解题的关键． （1）由题意将代入即可得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案； （2）根据图象即可求得； （3）将代入反比例函数解析式可得出N的坐标，求出四边形的面积，求出的值，即可求出P的坐标． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， 将代入得：， 把M的坐标代入得：， 反比例函数的解析式是； 【小问2详解】 当时，x的取值范围是或； 【小问3详解】 把代入得：， 即， ， 由题意得：， ， ， 点P的坐标是或． 18. （1）如图1，在中，，，过点B在同侧作且，点E为的中点，连结、，分别交于点F、G． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，求的长； （2）如图2，在等腰中，，点D为线段上一点，．过点A作，连结，且，求的值． 【答案】 （1）（ⅰ）证明：点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ． （ⅱ）； （2）10 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）先求出，再利用定理即可得证； （ⅱ）过点作，交延长线于点，先利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，然后证出，根据相似三角形的性质求解即可得； （2）过点作，交于点，先证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】证明：（1）（ⅰ）略 （ⅱ）如图，过点作，交延长线于点， ，，点为的中点， ， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，即， 解得． （2）如图，过点作，交于点， ， ，即， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键． Ⅱ卷 一、填空题 19. 设m、n是方程x2＋x﹣2020＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为______________． 【答案】2019 【解析】 【分析】由于m、n是方程x2+x-2020=0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n=-1，并且m2+m-2020=0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果 【详解】解：∵m、n是方程x2+x﹣20200的两个实数根， ∴m+n＝﹣1， 并且m2+m﹣2020＝0， ∴m2+m＝2020， ∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2020﹣1＝2019． 故答案为：2019 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件，由二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故答案为：且． 21. 如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】设点A的坐标为（a，b），结合AC=2，BD=1，EF=3可把点B、C、D的坐标及k1和k2用含a，b的式子表达出来，利用已知条件列出等式即可求得k1-k2的值． 【详解】设点A的坐标为，则由题意可得点C的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， ∴，BD=， ∵BD=1， ∴，解得：， ∴． 故答案为2． 【点睛】熟悉“反比例函数的图象和性质”及“平行于坐标轴的直线上两点间的距离与它们坐标间的关系”是正确解答本题的关键． 22. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 分点F在上、点F在上两种情况，分别依据全等三角形的性质以及矩形的性质求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点F在上时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，当点F在上时， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为：或． 23. 如图：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为平面内一动点，且，连接，作（点D在x轴上方），使，，当C点坐标为______时，长度最大，的最大值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以为直角边、A为直角顶点，构造等腰直角，如图1所示，连接、．证明，得到长度，分析出D点的轨迹，发现当A、E、D三点共线时，如图2所示，此时值最大，也能根据，求出C点坐标． 【详解】解：以为直角边、A为直角顶点，构造等腰直角，如图1所示，连接、． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴D点是在以E为圆心，为半径的圆上运动， ∵C点是在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当A、E、D三点共线时，如图2所示， 此时值最大，最大为， ∵，， ∴， ∴最大值为， 过点C作轴于点F，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形、找到D点运动轨迹是解题的关键． 二、解答题 24. 商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨2元，则每周就会少卖出10件，但每件售价不能高于50元；设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元． （1）求x与y的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2400元？ 【答案】（1） （2）售价为46元时，每周利润为2400元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是搞清楚利润、售价、销售量之间的关系． （1）根据销售利润每件的利润销售数量，构建函数关系即可； （2）令，列出方程，解方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ∵每件售价不能高于50元， ∴， ∴， ∴， ∴x与y的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得： 解之得：或（不符合题意，舍去）， ∴售价为元． 答：售价为46元时，每周利润为2400元． 25. 如图1，在菱形ABCD中，AB=，∠BCD=120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN=CD，连接CM、AM、BN. （1）当∠DCM=30°时，求DM的长度； （2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AM·DE=BE·CD； （3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是 . 【答案】（1）1; （2）证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∴CD=AB，AB∥CD ∵MN=CD，MN∥CD ∴MN=AB，MN∥AB ∴四边形ABMN是平行四边形 ∴NB=AM ∵MN∥CD ∴ ∵MN=CD，NB=AM ∴即AM·DE=BE·CD （3）当BN⊥CD时有最小值3. 【解析】 【分析】（1）过点M作MP⊥CD于点P，根据菱形的性质求∠DCM=30°，进而可知∠CDM=∠DCM，△DMC是等腰三角形，再利用等腰三线合一，求得，进而可得DM值. （2）先根据已知条件证得四边形ABCD是平行四边形，求得MN=CD，NB=AM，利用平分线所分线段对应成比例得到，再进行等量代换即可答案. （3）根据题意可知当AM⊥MN时，AM+AN的最小值，利用特殊三角函数值求得此时AM、MN的值即可. 【详解】（1） 过点M作MP⊥CD于点P ∵四边形ABCD是菱形, AB= ∴CD=AB=BC= ∴∠CDB= ∵∠DCM=30° ∴∠CDM=∠DCM ∴△DMC是等腰三角形 ∵MP⊥CD ∴ ∴DM= （2）略； （3）由（2）可知MN=AB=,那么根据题意当AM⊥MN时，AM+AN最短. ∵∠CDB=（已求），DC∥AB ∴∠MBA=∠CDB= ∵AM⊥MN,MN∥AB ∴∠MAB= ∵AB= ∴AM=1 ∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得 则AM+AN=1+2=3 ∴当BN⊥CD时，AM+AN有最小值3. 【点睛】本题考查了菱形、平行四边形性质、线段比以及特殊三角函数值解直角三角形的综合应用型题目，难度较大，能找到对应关系是解答此题的关键. 26. 如图（1），在边长为4的正方形中，在的延长线上取点，使，连接． （1）点是线段的中点，连接，求线段的长； （2）点在线段上，且到，的距离分别为，，当时，求，的值； （3）如图（2），在第（1）、（2）问条件下，延长交直线于点，动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在延长线上，沿直线向终点匀速运动，它们同时出发且同时到达终点．当点运动到中点时，点恰好与点重合． ①在运动过程中，设点的运动路程为，，用含的代数式表示． ②过点作于点，在运动路程中，当与的一边平行时，求所有满足条件的的长． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出BC，再利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题； （2）如图1中，作于，于，进而根据，由平行线截比例线段，构建方程即可解决； （3）①动点、同时做匀速直线运动，同时出发且同时到达终点，当点运动到中点时，点恰好与点重合及，推出点Q的初始位置离C的距离等于，为，根据点、的运动路程与总里程的比相等，构建关系式即可解决问题； ②分两种情形：（i）当时，如图2，，作轴于点，则，并根据，构建方程解决问题即可； （ii）当时，如图3，过点作于点，过点作于点，设交于，利用及，构建方程即可解决． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 如图1中，作于，于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 ①∵动点、同时做匀速直线运动，同时出发且同时到达终点，当点运动到中点时，点恰好与点重合，设的初始位置为， ∵，， ∴点的初始位置离的距离为， ∵动点、同时做匀速直线运动，它们同时出发且同时到达终点， ∴， ∴． ②（i）当时，如图2，， 作轴于点，则， 中，，， ∴， ∵， ∴由， ∴， ∴， ∴由得， ∴； （ii）当时，如图3，过点作于点，过点作于点，设交于， 由得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （iii）由图形可知不可能与平行； 综上所述，当与的一边平行时，的长为或． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的性质和判定，三角函数的定义，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用方程思想，分类讨论思想去解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市温江区王府外国语学校九年级（上）期中数学试卷 Ⅰ卷 一、选择题（本大题共有8小题，每小题4分，共32分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（　　） A. 200（﹣1） B. 100（﹣1） C. 100（3﹣） D. 50（﹣1） 4. 对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　） A. 点（﹣3，1）在它的图象上 B. 它的图象在第二、四象限 C. 当x＞0时，y随x的增大而增大 D. 当x＜0时，y随x的增大而减小 5. 如图，已知P是△ABC边AB上的一点，连接CP，以下条件中条件中不能判定△ACP∽△ABC的是( ). A. ∠ACP=∠B B. ∠APC=∠ACB C. D. 6. 如图，中，，于D，若，则的长是( ) A. B. C. D. 7. 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2015年为10.8万人次，2017年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　） A. 10.8（1+x）=16.8 B. 16.8（1﹣x）=10.8 C. 10.8（1+x）2=16.8 D. 10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有5小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则__________． 10. 已知是方程的一个根，则方程的另一个根是______． 11. 若点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小为_____．（用“”连接） 12. 如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为_______． 13. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米． 三、解答题（本大题共有5小题，共48分） 14. 计算： （1）解方程：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 15. （1）已知k为实数，关于x的方程有两个实数根． ①求实数k的取值范围； ②若，试求k的值． （2）如图，在菱形中，对角线相交于点O，． ①求证：四边形是矩形； ②若，求四边形的面积． 16. 初2019级为了解学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为，，，四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题： （1）求测试结果为等级的学生数，并补全条形图； （2）在扇形统计图中，试求等级对应的圆心角度数； （3）若从体能为等级的名男生名女生中随机的抽取名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率． 17. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O与原点重合，A、C分别在坐标轴上，，，直线交，分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． （1）求反比例函数的解析式； （2）直接写出当时，x的取值范围； （3）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标． 18. （1）如图1，在中，，，过点B在同侧作且，点E为的中点，连结、，分别交于点F、G． （ⅰ）求证：； （ⅱ）若，求的长； （2）如图2，在等腰中，，点D为线段上一点，．过点A作，连结，且，求的值． Ⅱ卷 一、填空题 19. 设m、n是方程x2＋x﹣2020＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为______________． 20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__． 21. 如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是_______． 22. 如图，正方形的边长为4，点E在边上，，若点F在正方形的某一边上，满足，且与的交点为M，则______． 23. 如图：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为平面内一动点，且，连接，作（点D在x轴上方），使，，当C点坐标为______时，长度最大，的最大值为_____． 二、解答题 24. 商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨2元，则每周就会少卖出10件，但每件售价不能高于50元；设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元． （1）求x与y的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2400元？ 25. 如图1，在菱形ABCD中，AB=，∠BCD=120°，M为对角线BD上一点（M不与点B、D重合），过点MN∥CD，使得MN=CD，连接CM、AM、BN. （1）当∠DCM=30°时，求DM的长度； （2）如图2，延长BN、DC交于点E，求证：AM·DE=BE·CD； （3）如图3，连接AN，则AM+AN的最小值是 . 26. 如图（1），在边长为4的正方形中，在的延长线上取点，使，连接． （1）点是线段的中点，连接，求线段的长； （2）点在线段上，且到，的距离分别为，，当时，求，的值； （3）如图（2），在第（1）、（2）问条件下，延长交直线于点，动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在延长线上，沿直线向终点匀速运动，它们同时出发且同时到达终点．当点运动到中点时，点恰好与点重合． ①在运动过程中，设点的运动路程为，，用含的代数式表示． ②过点作于点，在运动路程中，当与的一边平行时，求所有满足条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $