精品解析：福建省部分学校教学联盟2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级期末质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则计算，结合复数的几何意义得出对应点的坐标即可判断． 【详解】因， 所以，其对应的点为， 即在复平面内复数z对应的点在第四象限， 故选：D． 2. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 3. 从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】这4个数任取两个数，有，，，，，共6种情况， 两个数的和为偶数，则这两个数是奇数或是偶数，有和，共2种情况， 所以两个数之和为偶数的概率. 故选：A 4. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形即可逐一判断即可. 【详解】对于A，平行于同一个平面的两条直线不一定平行，如下图所示正方体，故A错误； 对于B，如下图所示正方体，由图可知B错误； 对于C，若，则，如下图所示正方体，由图可知C正确； 对于D，如下图所示正方体，由图可知D错误； 故选：C． 5. 已知高均为1的圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积相等，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥底面半径，根据侧面积相等得到方程，求出后可求圆锥体积. 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为，高，故 ，解得，故圆锥的体积为. 故选：B 6. 若，且为锐角，为钝角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的范围，再根据同角三角函数的关系求得的值，利用，可求，最后根据，运用余弦差角公式求值即可. 【详解】由题意可知，， 所以，，得， 又，且，所以， . 故选：B． 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 【答案】C 【解析】 【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由，，即可判断A；由即可判断B；由即可判断C，由即可判断D. 【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间如下： ，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，共36个. 则事件包括，，，，，，共6个，， 事件包括，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18个，， 事件包括，，，，，共5个，， 事件包括，，，，，，共6个，. 对于A，，，所以与不为对立事件，故A错误； 对于B，事件且包括，则，又，， 所以，即与不相互独立，故B错误； 对于C，事件且包括，，，则，又，， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，事件且包括，，，则，即与不为互斥事件，故D错误. 故选：C. 8. 已知点是平行四边形内的一点，且满足，设三角形和平行四边形的面积分别是和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，作辅助线，利用向量的线性关系将原等式化简，计算，可确定点P的位置，最后根据面积公式可得结果. 【详解】连接交于点，则. 所以， 所以. 因为，所以. 又，所以. 所以.这说明. 所以，而是平行四边形面积的， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若且，则 D. 与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，由可得，解得，故C正确； 对于D，，， ， 所以，故D正确； 故选：BCD 10. 已知函数的部分图象如图所示，，，，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 当在上恰有4个零点时， 【答案】AB 【解析】 【分析】设函数的最小正周期为.根据图象可知及，即可求解判断选项A；根据和，即可求解判断选项B；由选项AB可知，求出的解析式，即可判断选项C；令，则，根据正弦函数在上有4个零点可得，即可判断选项D. 【详解】设函数的最小正周期为. 因为，所以，解得. 由题图可知，所以，，所以，故选项A正确； 因为，所以.因为，所以或. 当时，，， 所以不符合题意，所以，故选项B正确； 由选项AB可知，所以，不是奇函数，故选项C错误； 令，则，所以当在上恰有4个零点时，即为在上有4个零点，即，解得，故选项D错误. 故选：AB. 11. 如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形，内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点F轨迹的长度为 B. 直线与不可能垂直 C. 当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，举反例即可根据棱锥体积公式分析即可，对C，由最小时，体积最小，得到为异面直线所成角，即可求解；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接， 又正方体中，为棱的中点，可得,， 平面,平面,又， 且平面，平面平面, 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界）， 平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由可知三角形为等腰三角形， 当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为, ，而，,故选项B不正确； 对C，由侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以最小时，体积最小，∵，可得在处时最小， 由知此时与所成角为，等腰三角形中，，故选项C正确； 对D，同理可得当在处时，三棱锥的体积最大， 由已知得此时，所以在底面的射影为底面外心，，，， 由勾股定理易知底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为， 如图，设外接球半径为，由，，可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的面积，再利用该三角形与其原图形关系求得答案. 【详解】在中，轴，轴，则为等腰直角三角形，， 又，于是所对原图形为，边， 边上的高，所以的面积为. 故答案为：10 13. 如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为______. 【答案】2 【解析】 【分析】由图形确定，再结合正弦定理即可求解. 【详解】中，，则， 由图可知，， 则， 中，由正弦定理， 得， 中，， 即 故答案为：2 14. 已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和对称性可推出函数具有周期性，再利用恒等式进行赋值，即可计算结果. 【详解】由函数是定义域为上的奇函数，可得，， 再由可得：， 赋值可得， 由上两式可得: ，赋值可得， 再用代替得：， 由上两式可得：， 即是一个周期为的函数，因为， 所以 ， 故答案为：0 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在［50，100］内），将所得数据分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）估计这200名员工评分的第60百分位数； （3）为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 【答案】（1），79.5 （2）85 （3）24 【解析】 【分析】（1）根据小矩形面积和为1得到关于m的方程，解出m值，再利用频率分布直方图中平均数公式求解即可； （2）根据百分位数定义列方程求解即可. （3）求出各区间人数，再根据分层抽样的特点即可得到答案. 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计这200名员工评分的平均数. 【小问2详解】 前3组的频率为， 前4组的频率为， 则第60百分位数位于，设为， 则，解得， 即这200名员工评分的第60百分位数为85. 【小问3详解】 评分落在的人数：， 评分落在的人数：， 评分落在的人数：， 所以评分落在区间的员工的人数比例为， 所以应抽取的评分落在内的人数为. 16. 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求证以及，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）取线段的中点，求证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可； （3）求出各边长，利用棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 连接， 因为平面，平面，所以， 因四边形为菱形且，则为正三角形， 又为的中点，则， 又，平面，则平面. 【小问2详解】 设为线段的中点，连接、， 因为中点，则，且， 又且，为的中点，则且， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面； 【小问3详解】 ∵，为正三角形， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∴， 故三棱锥的体积为. 17. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 【答案】（1）； （2）1.5小时. 【解析】 【分析】（1）根据题图及图象所过的点，结合给定模型求函数关系式； （2）经分析有，结合指数函数单调性及指对数关系求范围，即可得结论. 【小问1详解】 由图，直线过点，所以图象中线段的方程为， 又点在曲线上，所以，则， 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为. 【小问2详解】 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室， 则，所以，所以，解得， 所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室. 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． （2）若是的角平分线，，求的最大值． 【答案】（1）①；② （2）1． 【解析】 【分析】（1）①由条件得，在中，利用余弦定理求出，继而求得，再在中利用余弦定理即可求得；②结合题意推出四点共线，利用正弦定理分别求出和的外接圆半径，继而求出和即可求得； （2）结合三角形的角平分线，由面积相等推得，在中由余弦定理和基本不等式求得，再由和基本不等式即可求出的最大值(两次不等式等号成立条件相同). 【小问1详解】 ①由题意得，， 在中，由余弦定理得， 即，解得． 又，则，． 在中，由余弦定理得． ②如图，易得四点共线． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 故． 【小问2详解】 因， 则得， 即(*). 在中，由余弦定理得： ， 因，且，故可得， 当且仅当时，等号成立. 此时，由(*)可得：， 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为1． 19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形得到，取中点，结合平面平面得平面，从而，进而平面，再得到，平面； （2）过点作，垂足为，则为与平面所成角，从而通过解三角形可得； （3）取的中点为，连接，过点作，垂足为，连接，则为二面角的平面角，由此通过解三角形可得． 【小问1详解】 ，，为等边三角形， 为的中点，， 取中点，连接，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，． 又，，、平面，平面． 平面ABD，． 又，、平面， 平面． 【小问2详解】 过点作，垂足为．如图所示 由（1）知，平面．平面，． 又，平面，平面， 为与平面所成角． 由（1）知，平面ABD，平面，． 在中，，，， 为的中点，． 在中，，， 在中，， 在中，由余弦定理得， ． 与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 取的中点为，连接， 为线段的中点，，， 由（1）知，平面，平面． 又平面，所以． 过点P作，垂足为，连接． ，平面，平面． 又平面，， 为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为的中点，． 由（1）知，平面ACD． 又平面，所以． 在中，， 由（2）知，，即，解得． 平面，平面，． 在中，，． 所以二面角的平面角的余弦值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是通过作辅助线找到二面角的平面角，再结合勾股定理、等面积法等求出相关长度，最后再利用三角函数定义即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期福建省部分学校教学联盟高一年级期末质量检测 数学试卷 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. B. 0 C. D. 3. 从1，2，3，4这四个数中随机取两个数，则这两个数之和为偶数概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知高均为1圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积相等，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，且为锐角，为钝角，则（ ） A. B. C. D. 7. 依次抛掷两枚质地均匀的骰子，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 8. 已知点是平行四边形内的一点，且满足，设三角形和平行四边形的面积分别是和，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若且，则 D. 与夹角的余弦值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，，，，则（ ） A. B C. 为奇函数 D. 当在上恰有4个零点时， 11. 如图，棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形，内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ） A. 动点F轨迹的长度为 B. 直线与不可能垂直 C. 当三棱锥的体积最小时，直线与所成角的余弦值为 D. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为______． 13. 如图，在使用无人机测量某塔高度的过程中，发现在地面上选择一个观测点C，在C处测得A处的无人机和塔顶M的仰角分别为30°，45°，且在A处无人机测得点M的仰角为15°，点B，C，N在同一条直线上.则塔的高度MN与无人机距地面的高度AB之比为______. 14. 已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某企业为了解员工对“工作任务安排”的认可程度，人力部门随机抽取了200名员工，根据这200名员工对“工作任务安排”的认可程度给出的评分（评分均在［50，100］内），将所得数据分成五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求值，并估计这200名员工评分的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； （2）估计这200名员工评分的第60百分位数； （3）为了了解部分员工对“工作任务安排”的认可程度较低的原因，人力部门从评分落在，的员工中用分层抽样的方法随机抽取54人进行沟通，求抽取的评分落在内的人数. 16. 如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面，，为的中点，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求三棱锥的体积. 17. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 18. 如图，在中，是上一点，是上一点，且． （1）已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． （2）若是的角平分线，，求的最大值． 19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $