精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 考生须知： 1．本试卷共27道题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、单项选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、，是一元二次方程，符合题意； C、，分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、，最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 由线段a、b、c可以组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故选项错误； B、，故不是直角三角形，故选项错误； C、，故是直角三角形，故选项正确； D、，故不是直角三角形，故选项错误． 故选：C． 3. 红树林是一种宝贵的湿地资源．全国红树林的面积在2023年达到2.9万公顷，预计到2025年全国红树林面积将达到3.6万公顷，设平均每年的增长率为，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每年的增长率为，根据全国红树林的面积在2023年达到2.9万公顷，预计到2025年全国红树林面积将达到3.6万公顷，列出方程即可． 【详解】解：设平均每年的增长率为，根据题意得： ， 故选：A． 4. 如图所示，有一根高为18米的松树在处断裂，松树顶部C落在离松树底部B点12米远的地方，则松树断裂处A离地面的距离的长为（ ）米 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由题意可知，，，进而根据勾股定理列式求出的长即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， 在中，， ， 解得：， 即树断裂处A离地面的距离的长为5米， 故选：B 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 6. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为(　　) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得BE＝ED，设AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵长方形折叠点B与点D重合， ∴BE＝ED， 设AE＝x，则ED＝9﹣x，BE＝9﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， 即32+x2＝（9﹣x）2， 解得x＝4， ∴AE的长是4， ∴BE＝9﹣4＝5， 故选C． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键． 7. 已知点、点是一次函数图象上的两点，则与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较一次函数值的大小，根据解析式判断出增减性即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x增大而增大， ∵点、点是一次函数图象上的两点，且， ∴， 故选：B． 8. 如图，在正方形的外侧作等边，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，关键是由以上知识点求出． 由正方形的性质推出，由等腰直角三角形的性质得到，由等边三角形的性质得到，求出，由等腰三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ． 故选：A． 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三条边相等的四边形是菱形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及平行四边形的判定、矩形、菱形和正方形的判定，根据相关特殊平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原命题为假命题，不符合题意； B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题是假命题，不符合题意； C、四条边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意； D、一组邻边相等的矩形是正方形，故原命题是真命题，符合题意， 故选：D． 10. 今年端午假期，小明一家驾车从家出发前往五常凤凰山森林公园游玩，在行驶的过程中，汽车离凤凰山森林公园的路程与所用时间之间的函数图象大致用图中的两条线段表示，下列结论正确的是（ ） A. 小明家离凤凰山森林公园的路程为 B. 小明从家出发第1小时的平均速度为 C. 小明从家出发2小时离凤凰山森林公园的路程为 D. 小明从家到凤凰山森林公园共用了3h 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象．根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可． 【详解】解：时，，因此小明家离凤凰山森林公园的路程为，故A选项错误，不合题意； 时，，因此小明从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意； 时，，因此小明从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意； 小明离家1小时后的行驶速度为， ∴从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时， 因此小明从家到凤凰山森林公园的时间共用了，故D选项正确，符合题意； 故选D． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分母不为0即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，注意分母不为0即可，属于基础题． 12. 在中，，则=___________°． 【答案】60 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，再根据已知即可求解． 【详解】解：在中，， 若， 则， 故答案为：60． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质． 13. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解满足方程代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 直线y=3x-2不经过第________________象限． 【答案】二 【解析】 【分析】根据已知求得k，b的符号，再判断直线y=3x-2经过的象限． 【详解】解：∵k=3＞0，图象过一三象限，b=-2＜0过第四象限 ∴这条直线一定不经过第二象限． 故答案为二 【点睛】此题考查一次函数的性质，一次函数y=kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大； ②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大； ③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小； ④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． 15. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用中位线的性质计算即可． 【详解】∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， 又BC=12， ∴， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，中位线平行且等于第三边的一半，熟记中位线的性质是解题的关键． 16. 矩形的一边长是，一条对角线的长是6，则这个矩形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理，矩形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，，由勾股定理求出，矩形的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形， ，，， ， 矩形的面积； 故答案为： 17. 已知一次函数的图象如图所示，不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数与坐标轴的交点，数形结合求出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知，直线与轴的交点的横坐标为， 当时，直线在轴的上方， ∴不等式的解集是； 故答案为：． 18. 在平面直角坐标系中，已知，若轴上有一点，使得的值最小，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法可求出直线的解析式，再求出直线与y轴的交点即可． 【详解】解：连接，交y轴于点P，此时值最小， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 当时，则， ∴点的坐标为． 故答案为：． 19. 在中，，斜边上的中线，斜边上的高，则边长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形高线的定义，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．由题意可分类讨论：当时和当时，分别画出图形，结合直角三角形斜边中线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵斜边上的中线，斜边上的高，即， ∴不是等腰直角三角形． 分类讨论：当时，如图， ∵为斜边上的中线， ∴． ∵为斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵为斜边上的中线， ∴，． ∵为斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上可知边长为或． 故答案为：或． 20. 如图，在中，于点，为中点，连接，若，，则线段的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理和添加合适的辅助线是解题的关键． 延长与延长线交于点，根据平行四边形的性质利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，然后根据勾股定理求出，设则，可得出，建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：延长与延长线交于点 四边形为平行四边形, ， ， 为中点， 在和中 ， 在中，， 设则 ， 故答案为：． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，每题10分，共计60分） 21. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”．（写出过程） ①； ②． 【答案】是，见解析 【解析】 【分析】本题考查了新定义，涉及解一元二次方程，正确理解新定义是解题的关键．先根据直接开平方法和因式分解法分别解两个方程，再根据定义比较即可得出答案． 【详解】解：① 或 ， ② 或 ， 两个方程有且只有一个相同的实数根 这两个方程是“同伴方程”． 22. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以为一边的直角三角形，点在小正方形的格点上，且，； （2）在图中画出以为一边的菱形，点均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为4； （3）连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）如图，菱形即为所求； （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理以及菱形的性质，正确借助网格得出各边长是解题关键． （1）利用直角三角形的性质结合勾股定理得出答案； （2）利用菱形的性质结合勾股定理得出答案． （3）根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：理由：， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：理由：， ； 【小问3详解】 解：如图，． 23. 李大爷用30米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形．设边的长为（单位：米），矩形的面积为S（单位：平方米）． （1）求S与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若矩形的面积为54平方米，且，请求出此时的长． 【答案】（1） （2）9米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，对于长方形的面积公式要熟记．注意本题，因此可根据这个条件舍去不合题意的解． （1）根据长方形的面积公式求出与之间的函数关系式． （2）根据矩形的面积为54平方米，即，即可列出一元二次方程求解． 【小问1详解】 四边形是矩形， ， ， ； 【小问2详解】 由题意可得，， 解得，， 当时，不符合题意舍去， ∴的长为9米． 24. 数学活动： 人们把宽与长的比是（或长与宽的比为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（如图1）等．下面给出两种得到黄金矩形的方案． （1）方案一：如图2，在矩形中，，连接对角线，以为圆心，长为半径画弧交延长线于点，过作交延长线于，请直接写出图中得到的黄金矩形是______； （2）方案二：如图3，已知正方形，以为边向外作矩形，为中点，连接．过作交延长线于点，当时，可猜想矩形是黄金矩形，请你证明这个猜想． 【答案】（1）矩形 （2） 矩形是黄金矩形，证明如下： 四边形是正方形， ，， 设， 为中点， ， 在中，， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ， 矩形是黄金矩形． 【解析】 【分析】（1）由，结合勾股定理可得，进而得到，即可求解； （2）由正方形的性质可得，，设，则，根据勾股定理求出，证明四边形是菱形，可得，进而求出，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， 矩形是黄金矩形， 故答案为：矩形； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了黄金分割的概念，正方形的性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些知识． 25. 如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，，点的坐标为．设的面积为． （1）结合图1求S与m之间的函数解析式； （2）若是轴上一个动点，与点之间的距离为，当时，请直接写出与的函数解析式：______； （3）在图2中画出（2）中条件下的函数图象； （4）当点在（3）中所画函数图象上时，求的值． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）过点P作轴，根据题意得出，再根据点A 的坐标得出，然后根据三角形面积公式即可得出答案； （2）根据两点之间的距离公式即可得出答案； （3）分别令，，求出对应值，除去不在范围内的点即可画出图形； （4）联立求出的值，再代入函数即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点P作轴 ， S与m之间的函数解析式； 【小问2详解】 ，，， 【小问3详解】 当时，，当时， 点处为空心 如图即为所求； 【小问4详解】 根据题意，得 解得： ． 26. 在菱形中，分别是边上的两点，连接平分． （1）发现问题： 如图1，当时，求证：； （2）类比探究： 如图2，①当时，则的度数为______． ②当时，则的度数为______；（用含的式子表示） （3）拓展应用： 如图2，若的周长15，求线段的长． 【答案】（1） 证明：过点作于， ∴ ∵四边形是菱形，又 ∴四边形是正方形， ∴， ∴ ∵平分． ∴ 又∵ ∴， ∴，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，证明，，进而根据全等三角形的性质即可求解； （2）连接，过点分别作垂足分别为，证明，，，得出，则 ①根据，得出，进而求得，即可求解； ②根据，即可求解． （3）由（2）可得，，，得出，勾股定理求得，，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过点分别作垂足分别为，如图所示， ∴ ∵四边形是菱形， ∴，， 在，中， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴，， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ ①当时， ∴ ∴ ∴； ②当时 ∴ ∴ ∴ ； 【小问3详解】 解：如图所示， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴，同理可得 由（2）可得，， ∴，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点． （1）求的长； （2）如图1，点在轴的负半轴上，点在上，连接交轴于点，点为的中点，设点的横坐标为的面积为，求与的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转，交轴的负半轴于点，连接，若，求S的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定及性质、勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）令，可求出点A的坐标，从而得出，再根据勾股定理即可得出答案； （2）过作于于，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，根据点C的坐标可得出，最后根据三角形面积公式即可得出答案； （3）根据题意可得出，根据角之间的关系可得出，设，可得出，在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形的性质得出，过点作轴于点，利用证明，最后根据全等三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 对于，当时，， 在中，， 【小问2详解】 过作于于 在和中 ， ， 设直线解析式为： ； 【小问3详解】 ， ， ，且， ， 设， 则， ， ， 由题得：， ， 又 在上截取，连接， 在和中 ， 过点作轴于点， ， 在和中 ， ， 又， 在中，， 解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市香坊区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 考生须知： 1．本试卷共27道题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“准考证号码”在答题卡上填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、单项选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 由线段a、b、c可以组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 红树林是一种宝贵的湿地资源．全国红树林的面积在2023年达到2.9万公顷，预计到2025年全国红树林面积将达到3.6万公顷，设平均每年的增长率为，可列方程得（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，有一根高为18米的松树在处断裂，松树顶部C落在离松树底部B点12米远的地方，则松树断裂处A离地面的距离的长为（ ）米 A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为(　　) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 7. 已知点、点是一次函数图象上的两点，则与的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形的外侧作等边，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 三条边相等的四边形是菱形 D. 一组邻边相等的矩形是正方形 10. 今年端午假期，小明一家驾车从家出发前往五常凤凰山森林公园游玩，在行驶的过程中，汽车离凤凰山森林公园的路程与所用时间之间的函数图象大致用图中的两条线段表示，下列结论正确的是（ ） A. 小明家离凤凰山森林公园的路程为 B. 小明从家出发第1小时的平均速度为 C. 小明从家出发2小时离凤凰山森林公园的路程为 D. 小明从家到凤凰山森林公园共用了3h 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是__________． 12. 在中，，则=___________°． 13. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为_______． 14. 直线y=3x-2不经过第________________象限． 15. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为______． 16. 矩形的一边长是，一条对角线的长是6，则这个矩形的面积是______． 17. 已知一次函数的图象如图所示，不等式的解集是______． 18. 在平面直角坐标系中，已知，若轴上有一点，使得的值最小，则点的坐标为______． 19. 在中，，斜边上的中线，斜边上的高，则边长为______． 20. 如图，在中，于点，为中点，连接，若，，则线段的长为______． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，每题10分，共计60分） 21. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．根据所学定义，判断下列两个一元二次方程是否属于“同伴方程”．（写出过程） ①； ②． 22. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以为一边的直角三角形，点在小正方形的格点上，且，； （2）在图中画出以为一边的菱形，点均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为4； （3）连接，请直接写出线段的长． 23. 李大爷用30米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形．设边的长为（单位：米），矩形的面积为S（单位：平方米）． （1）求S与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若矩形的面积为54平方米，且，请求出此时的长． 24. 数学活动： 人们把宽与长的比是（或长与宽的比为）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的帕特农神庙（如图1）等．下面给出两种得到黄金矩形的方案． （1）方案一：如图2，在矩形中，，连接对角线，以为圆心，长为半径画弧交延长线于点，过作交延长线于，请直接写出图中得到的黄金矩形是______； （2）方案二：如图3，已知正方形，以为边向外作矩形，为中点，连接．过作交延长线于点，当时，可猜想矩形是黄金矩形，请你证明这个猜想． 25. 如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，，点的坐标为．设的面积为． （1）结合图1求S与m之间的函数解析式； （2）若是轴上一个动点，与点之间的距离为，当时，请直接写出与的函数解析式：______； （3）在图2中画出（2）中条件下的函数图象； （4）当点在（3）中所画函数图象上时，求的值． 26. 在菱形中，分别是边上的两点，连接平分． （1）发现问题： 如图1，当时，求证：； （2）类比探究： 如图2，①当时，则的度数为______． ②当时，则的度数为______；（用含的式子表示） （3）拓展应用： 如图2，若的周长15，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点． （1）求的长； （2）如图1，点在轴的负半轴上，点在上，连接交轴于点，点为的中点，设点的横坐标为的面积为，求与的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转，交轴的负半轴于点，连接，若，求S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $