江苏省南京市宁海中学2024-2025学年高三下学期一模模拟数学试卷

2024-2025学年高三下学期南京宁海中学一模模拟数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知集合，则（    ） 【答案】 【详解】解：解不等式得， 所以， 所以. 故选： 2．若复数满足，则的虚部是（    ） 2 D． 【答案】 【详解】由，化简得, 得，故的虚部是. 故选： 3．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 若则 若，，则 若，，则 D．若，，则 【答案】 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故正确. 考点：空间点线面位置关系． 4．已知，则（    ） 3 D．2 【答案】 【详解】因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以，故. 故选： 5．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（    ） 5 7 9 D．11 【答案】D 【详解】因为，边的中点为，所以， 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为， 所以，，故. 故选：D． 6．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） 6 3 D．2 【答案】 【详解】设数列的首项为，公比为， 则， ， ∴，即，则， ∴， ∴， 故选： 7．已知随机变量，且，则的最小值为（    ） 5 D． 【答案】 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选： 8．已知为坐标原点，双曲线:的左、右焦点分别是，离心率为，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，，若双曲线上一点满足，则点到双曲线的两条渐近线距离之和为（    ） D． 【答案】 【详解】 设半焦距为，延长交于点，由于是的平分线，， 所以是等腰三角形，所以，且是的中点. 根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点， 所以是的中位线，所以， 又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线的方程为. 所以，，双曲线的渐近线方程为， 设，到两渐近线的距离之和为，则， 由，即， 又T在上，则，即，解得，， 由，故，即距离之和为. 故选： 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．如图，函数的部分图象与直线交于两点，点在曲线上，且的面积为，则（    ） 为偶函数 在上单调递减 D． 【答案】BCD 【详解】设，， 因为的面积为，所以， 则，则， 由图象可知，，， 两式相减得，，所以，所以，A错误； 则，将点代入得，， 由五点作图法可知，，所以， 所以， 故， 令，定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数，正确； 令，解得，， 取，则在上单调递减， 所以在上单调递减，正确； 令，，解得，， 令，解得， 所以当时，取得最小值， 所以，D正确； 故选：BCD. 10．定义在R上的偶函数，满足，则（    ） D． 【答案】AC 【详解】由，令，则， 又为偶函数，则，A对； 由上，得①， 在①式，将代换，得②，错； 在②式，将代换，得，对； 由且，即周期为2且关于对称， 显然是满足题设的一个函数，此时，D错. 故选：AC 在四棱锥中，是矩形，为棱上一点，则下列结论正确的是（    ） 点到平面的距离为 若，则过点的平面截此四棱锥所得截面的面积为 四棱锥外接球的表面积为 直线与平面所成角的正切值的最大值为 【答案】 【详解】 对于，因，又平面，故平面， 在平面内，如图 ，过点作于点，因平面，则, 又,故平面,则的长度即点到平面的距离. 在中，,则，故正确； 对于，由题知点为棱的中点，如图，取中点为，连接， 可得平面即平面截此四棱锥所得截面， (理由：因,平面,平面,则平面, 设过点的平面与平面相交于直线，则，因,且,则与重合， 即平面即平面截此四棱锥所得截面) 由项，平面，平面,则, 因，，则, ,于是, 又,故,故错误； 对于，由项，平面，如图，设的外接圆圆心为点, 四棱锥的外接球球心为点,半径为， 则平面, ,连接, 在中，由余弦定理，， 由正弦定理得,解得，则, 在直角梯形中，,解得，, 故四棱锥外接球的表面积为，故正确； 对于，如图，将四棱锥补形成直四棱柱, 因平面平面,故直线与平面所成角即直线与平面所成角. 由项知,则,连接,过点作,交于点，连接. 因平面,故得平面,故即直线与平面所成角. 设，则，由可得，， 在中，由余弦定理，， 则 ， 因，则，故当时，取得最大值为，此时， 即点为线段上靠近点的一个三等分点时，直线与平面所成角的正切值的最大值为，故正确. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 的展开式中的系数为 （用数字作答） 【答案】 【详解】可看作个相乘，有个括号提供，还有个括号都是， 则，系数为. 故答案为： 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由可得， 两式相减可得， 当时，， 故， 故答案为： 在中，角的对边分别为且. ，为外一点，如图，且，的面积为，则边长的值为 . 【答案】 【详解】解：因为 所以 所以由已知得， 由正弦定理可得， 即， 所以， 结合， 解得或 因为，所以， 故 因为且， 所以. 故的面积， 解得 则在中，由余弦定理可得 所以. 在中，由余弦定理 四、解答题:本题共小题，共题. 知函数，其中. 若，求函数的极值 是否存在实数，使得函数在内单调？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； 【答案】极小值为；存在，. 【详解】函数的定义域为 当，函数单调递减， 当，函数单调递增， 是函数的极小值点，函数的极小值为 若函数在内单调递增， 则在恒成立. 即在恒成立. 因为 所以使得函数在内单调递增的不存在， 若函数在内单调递减 则在恒成立. 即在恒成立. 因为在恒成立. 又 所以时，函数在内单调递减. 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把除颜色不同外其余均相同的个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各个，红色球与绿色球各个.现甲､乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记分，黄球每个记分，红球每个记分，绿球每个记分，规定摸球人得分不低于分获胜.比赛规则如下：只能一个人摸球；摸出的球不放回；摸球的人先从袋中摸出球：若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和. 若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率； 如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望. 【答案】；详解见解析. 【详解】记“甲第一次摸出了绿色球，甲的得分不低于乙的得分”为事件，因为球的总分为，即事件指的是甲的得分大于等于， 则 如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出个小球，则得分情况有：分，分，分，分分，分 所以的分布列为： 6 7 8 9 10 11 所以的数学期望. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面，为的中点，是棱（不与端点重合）上的点， （1）求证：平面平面； （2）当的长为何值时，平面与平面所成的角的大小为？ 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，平面与平面所成的角的大小为. 【详解】（1）因为为的中点，，则 ∴四边形为平行四边形，则,因为 又∵平面平面，平面平面，则平面，则平面, 因为平面，则平面平面. （2）由（1）可知平面.如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则则，设，则 设平面的法向量为， 则，即 令 平面的法向量为 设平面的法向量为 则，即 令 平面的法向量为 平面与平面所成的角的大小为， ∴cos60°=， ,则 即当时，平面与平面所成的角的大小为. 18．已知椭圆的离心率是，，分别为椭圆的左右顶点，B为上顶点，的面积为直线过点且与椭圆交于两点． 求椭圆的标准方程； 求面积的最大值； 设直线与直线交于点，证明：点在定直线上，并写出该直线方程． 【答案】（1）（2）（3）见证明 【详解】解：由题意知， ，即， 的面积为2， ， 解得，， 椭圆的标准方程为， 斜率不存在时，易知，，此时， 当直线的斜率存在时，设的方程为，， 设，， 将代入，整理可得， ，， ， ， 令，， ， 故面积的最大值 证明斜率不存在时，易知， 当直线的斜率存在时，直线的方程为，直线的方程为， ， ， 解得，即点的横坐标为4， 综上所述，点在定直线上． 19．在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列． (1)若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和； (2)若为阶等比数列，求证：为阶等差数列； (3)若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列． 【答案】(1)，前项和为 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为为1阶等比数列，所以为正项等比数列， 设公比为，则为正数， 由已知得 两式相除得，所以（舍去），所以， 所以的通项公式为， 前项和为； （2）因为为阶等比数列， 所以，使得成立， 所以， 又， 所以， 即成立， 所以为阶等差数列； （3）因为既是4阶等比数列，又是5阶等比数列， 所以与同时成立， 所以与同时成立， 又的各项均为正数，所以对任意的， 数列和数列都是等比数列， 由数列是等比数列， 得也成等比数列， 设， 所以，所以是等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高三下学期南京宁海中学一模模拟数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1．已知集合，则（    ） 2．若复数满足，则的虚部是（    ） 2 D． 3．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 若则 若，，则 若，，则 D．若，，则 4．已知，则（    ） 3 D．2 5．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（    ） 5 7 9 D．11 6．已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） 6 3 D．2 7．已知随机变量，且，则的最小值为（    ） 5 D． 8．已知为坐标原点，双曲线:的左、右焦点分别是，离心率为，点是的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是，，若双曲线上一点满足，则点到双曲线的两条渐近线距离之和为（    ） D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9．如图，函数的部分图象与直线交于两点，点在曲线上，且的面积为，则（    ） 为偶函数 在上单调递减 D． 10．定义在R上的偶函数，满足，则（    ） D． 在四棱锥中，是矩形，为棱上一点，则下列结论正确的是（    ） 点到平面的距离为 若，则过点的平面截此四棱锥所得截面的面积为 四棱锥外接球的表面积为 直线与平面所成角的正切值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 的展开式中的系数为 （用数字作答） 已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 . 在中，角的对边分别为且. ，为外一点，如图，且，的面积为，则边长的值为 . 四、解答题:本题共小题，共题. 知函数，其中. 若，求函数的极值 是否存在实数，使得函数在内单调？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； 最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏，班主任把除颜色不同外其余均相同的个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各个，红色球与绿色球各个.现甲､乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记分，黄球每个记分，红球每个记分，绿球每个记分，规定摸球人得分不低于分获胜.比赛规则如下：只能一个人摸球；摸出的球不放回；摸球的人先从袋中摸出球：若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和. 若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率； 如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面，为的中点，是棱（不与端点重合）上的点， （1）求证：平面平面； （2）当的长为何值时，平面与平面所成的角的大小为？ 18．已知椭圆的离心率是，，分别为椭圆的左右顶点，B为上顶点，的面积为直线过点且与椭圆交于两点． 求椭圆的标准方程； 求面积的最大值； 设直线与直线交于点，证明：点在定直线上，并写出该直线方程． 19．在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列． (1)若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和； (2)若为阶等比数列，求证：为阶等差数列； (3)若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$