导数与不等式证明讲义-2026届高三数学一轮复习

导数与不等式证明 课前学习任务 一、必备知识 1证明不等式x)>g)(或x)<gx)直接转化为证明x)一gx)>0(或f)一gx)<0), 进而构造辅助函数x)=x)一gx). 2.常见的恒成立不等式（放缩依据）： (1)e≥x+1(c∈R),当且仅当x=0时取等号： (2)c2cx,当且仅当x=1时取等号： (3)x一1≥nx(x>0),当且仅当x=1时取等号： (4)e>Inx; (5)tanx>x>sin xlaws4\alicol(xEbilcl(rc)(aws4 alicol(0,f(2)))). 注意：有时候还有对参数进行放缩（对参数直接取最值）. 课堂核心考点 考点一构造新函数求最值证明不等式 例1已知函数x)=(a+1)e,fx)是x)的导函数，且fc)一x)=2e. (I)若曲线y=fx)在x=0处的切线为y=c十b,求k,b的值： (2)在(1)的条件下，求证：x)≥a+b. 变式1求证：nx十x+lxe. 考点二隔离分析证明不等式 例2已知fx)=x2-xlnr. (1)求曲线y=x)在(1,1)处的切线方程： (2)当a∈(0,2e)时，求证：2x2-(2x+a)lnr>0. 考点三利用放缩法证明不等式 例3已知函数x)=xnx一x2一1. (I)讨论x)的单调性： (2)求证：x)<e-x+1x2-2x-1. 变式3已知函数x)=r一sinr, (I)若x)为增函数，求实数a的取值范围： (2)求证：当x>0时，e>2sinr. (提示：用x>sinx放缩) 强化训练 1.已知a>0,且a时1，函数fx)=+ln(1+x)-1. (1)记a,=n)-n(n+1)十n,Sn为数列{an}的前n项和，求证：当a=89时，So<2024: (2)若a=1e,求证：x20. 课后提升练 练基础 1.已知函数x)=一f(1)r2+x+2x. (1)求f(1),并写出x)的表达式： (2)求证：x)sr-1. 2.已知函数x)=a(x-1)-lnr十1. (1)求x)的单调区间； (2)若a2时，求证：当x>1时，fx)<-1恒成立. 3.已知函数x)=a(e十a)一x. (1)讨论x的单调性： (2)求证：当a>0时，)>2na+32. 4.已知函数x)=xex,其中e=2.71828.为自然对数的底数. (1)求函数x)的单调区间； (2)求证：x)e-1. 练能力 5.(多选)已知a=log2e,b=ln2,c=logl2)13,则下列关系式正确的是() A.a>b B.a>c C.c>a D.a十b=2 6.己知x)是定义在R上的奇函数，x十2)为偶函数，当0<x<2时，x)=1og2(x十1)， 则101)=· 7.已知函数x)=x2-2ax十5，a>1. (1)若函数的定义域和值域均为[1，a],求a的值： (②)若函数x)在区间（一o,2]上单调递减，且对任意的1，∈[1，a十1小，总有f )一x2)9成立，求实数a的取值范围. 答案解析 课堂核心考点 例1【解答】(1)因为fx)=(a+1)e,所以fx)=(a十a+1)e,因为fx)一fx)=2e ,所以a=2,则曲线y=x)在x=0处的切线斜率为fO)=3.又因为0)=1，所以曲线y=f )在x=0处的切线方程为y=3x+1,即k=3,b=1. (2)设函数g=(2x+1)e-3x-1,xeR,则g'x=(2x+3)e-3,设hx)=g(,则h '()=e(2x+5),所以当>-52时，h'x)>0,gx)单谓递增.又因为g(0)=0,所以当x>0 时，g'(x>0,gx)单调递增：当-520时，gx)0,gx)单谓递减：当x≤一52时，g(x)= (2x十3e-3<0,综上，g)在（一o,0)上单谓递减，在(0，十o)上单调递增，所以当x=0时， gx)取得最小值g0)=0,即(2x+1)e-3x-1≥0，所以x23x+1. 变式1【解答】设gx)=xex-nx-x-1,g)=(r+1)e-lx-1,0.令h)=c+ 1)er-1x一1，x0,则(x)=(x十2)ex+1x2>0,即hx)在(0，+o)上单调递增，又h as4alco10y12)=32c2》-30.M1)=2e-20,故3，Ealvs4alco10m2,1.使得h (co)=0,则xoexo=1.当x∈(0，x0)时，hx)0,g(x)在(0，xo)上单调递减，当x∈(xa,+o)时， hx)>0,gx)在(xa,十o)上单调递增，故g)mn=g(xo)=xoex一n1ex0一xo一1=0，则gx≥0， 即lnx十x+lsxe 例2【解答】(1)因为x)=x2-xlnx,所以1)=1，f(x)=2x-lnx-1,则f1)=1, 所以所求切线方程为y-1=1×(x一1)，即y=x (②)由题意可知x0,要证明2x2-(2xr十anx>0,即证x-nx>amx2x.令gx)=x-nx, 则g')=1-1x=x-1x,>0,由gx)0,得0<x<1,由g'x)>0,得x>1,所以g)在(0,1) 上单调递减，在(1，十o)上单调递增，所以gx)2g(1)=1.令hx)=amx2x,则()=a(1一n x)22,因为a∈(0,2e),所以由hx)0,得x>e,由hrxP>0,得0<e,所以hx)在(0，e) 上单调递增，在(e,十o)上单调递减，所以x)sh(e)=a2e<l,所以gx)>x)恒成立，即x一n amx2x恒成立.所以当ae(0,2e)时，22-(2xr+a)nx>0 例3【解答】(I)的定义域为(0，+o),fx)=lnx-2x+1,记)=f(),则t() =1x-2=1-2x,当x∈1aws4alco10,12)时，tx)>0,tx)单调递增； 当 x∈】 avs4 alcol(f(12),十oo时，f6x)0,ir)单谓递减，所以tx)mr=tas4 alcol(f(12)=-n2 <0,即f)<0,所以尤x)在区间(0，十o)上单调递减. (2)方法一：先证fx上一x-1,记gx)=x)+x+1,则gx)=xnx一x2+x=xnx-x +1),记m(x)=nx-x十1，则m'x)=1x-1,>0.当x∈(0,1)时，mx)>0,mx)单调递增： 当x∈(1，+ao)时，m'w)0,m()单调递减.所以max=m(1)=0,所以m(x0又x0,所 以gx0,故x)s--1.再证e+1x2-2x-1>-x-l(x0),即证e-+1x2-2x+x >0(x-0),h(x)=e-x+Ix2-2x+x(x-0),h(x)=e-*+x-1+lalvs4lalcol0f(Ix)-1)2ze-x +x一1，记px)=ex十x一l(>0),则p'x)=1一e>0,所以px)在(0，十o)上单调递增， 所以c)>p0)=0,所以hx)>0,即ex+1x2-2x-1>一x-1,所以x<e-*+12-2x-1 方法二：构造函数hx)=e一x一1，h(x)=e一1.当x0时，hx)0,x)单调递减；当 x0时，h'>0,hr)单调递增，则h)≥h(O)=0,所以c≥x+l,x0时，c>x+1.构造函数 ()=hx-x+1,9'e)=Ix-1x>0).当x∈(0,1)时，'x)>0,ox)单调递增；当x∈(1，+o) 时，p'(x)0,ox)单调递减，所以(mr=1)=0,即ox)≤0，即lnx一1恒成立，所以f c)=xnx-x2-1x-I)-x2-1=-x-1.因为e-x+1x2-2x-1>-x+1+x2-2x-1= Ix2-2x-x,则只需证明1x2-2x-之一x-1,即1x2-2x+1≥0，而avs4 alcol(1x-l) 2≥0显然成立，所以fx)ex+1x2-2x-1. 变式3【解答】(I)因为x)=m一snx,所以fx)=a一cosx,由函数f)为增函数， 知fx)=a一cos20恒成立，即a2cosx在R上恒成立.因为y=cosx∈[一1,1]，所以a21, 即实数a的取值范围是[1，十o) (2)由(I)知，当a=1时，fx)=x-sinx为增函数.当x>0时，fx)>0)=0,即sinx 要证当x>0时，e2sinx,只需证当x>0时，e>2x,即证e-2x>0在(0，+o)上恒成立.设 gx)=e-2x(r>0),则g'(x)=e-2.令g(x)=0,解得x=ln2,所以gx)在(0，ln2)上单调递 减，在(n2,+o)上单调递增，所以g(x)mm=gln2)=e2-2n2=2(1-lh2>0,所以gx2 gn2)>0,所以e>2x成立.故当x0时，e>2sinx 强化训练 1.【解答】()当a=89时，a,=laws4 alcol(f89m+n0n+1)-1-n(n+1)+n= avs4 alicol(f(89))n+n-1,S6a=lalvs4al col(f89))1+avs4al col(f789))2+...+ avs4 alcol(f89)64+(0+1+2+.+64-1)=8avs4 alcol(1-bllc\Are'4n89+2016=2 024-8×avs4alco10f89)64←2024 (2)若a=1e,则fx)=lex+ln(1+)-l,f)=11+x-lex=ex-(1十x)ex(1十x) >-1).令g)=e-(1+x)x>-1),则g'x)=e-1.当x∈(-1,0)时，g'x)0,当x∈(0，+ )时，gx)0,即gx)在(-1,0)上单调递减，在(0，十o)上单调递增，故gx2g(0)=0,即 fx)20,所以x)在（一1，十o)上单调递增.又O)=0,所以当x∈（一1,0）时，x)0,当x ∈(0，+o)时，x)>0,故x)≥0 课后提升练 1.【解答】(1)由=-f1)x2+x+2lnx,得fx)=-2f(1)x+1+2x,则f(1)=-2f (1)+1+2,解得f1)=1.将f1)=1代入x)=-f1x2+x+2lnx,可得x)=-x2+x+2n (2)设g0=t-ni,0,则g'(0=1-1t=t-1,当0<k1时，g(0<0;当P1时，g'(0 >0.所以g()在(0,1)上单调递减，在(1，十o)上单谓递增，故g(02g1)=1从而x)=一x2+ x+2Inx=-x2+x+Inx2=x-g(x2)sx-1. 2.【解答】(1)x)=ac-1)-nx+1,则fx)=m一1x,0若as0,则fx)0,x) 的单调递减区间为0，十o),无单调递增区间；若a>0,当0<1a时，f(x)0,当xla时， fx)>0,所以x)的单调递减区间为aws4 alcol0,f1a小，单调递增区间为 as4 alcol(f1a,十o).综上，当a0时，x)在(0，+o)上单调递减：当a>0时，f在1 aws4 alcol(0,f1a)上单调递减，在avs4 allcol(f1a,十o)上单调递增. (2)因为as2,所以当>1时，e-1-fx)=e-1-ax-1)十lnx-l≥e-1-2x+lnx+1, 令gx)=e-1-2x+lnx十1，则g'x)=e-1-2+1x,令)=g'x),则()=e-1-1x2在(1， +o)上单调递增，所以hx>hr(1)=0,所以hx)=g)在(1，+o)上单调递增，则g'(xPg'(I) =0,故gx)在(1，十o)上单调递增，则gx)>g(1)=0,所以当x>1时，x)e-1恒成立. 3.【解答】(1)因为x)=a(e+a)-x,定义域为R,所以f)=ae-1.当a0时， 由于e>0,则ae≤0，故fx)=ae-1<0恒成立，所以x)在R上单调递减.当a>0时，令 fx)=ae-l=0,解得x=-na,当x<-lna时，f(x0,则f)在(-o,-n)上单调递 减：当x-na时，fx)>0,则x)在（一na,十o)上单调递增.综上，当a≤0时，x)在R 上单调递减；当a>0时，x)在（一o,一lna上单调递减，在（一lna,十o)上单调递增， (2)当a>0时，由(1)得x)mm=-lna)=a(c-lna+a)+na=1+a2+lna,要证f c)>2lna+32,即证1+a2+na>2lna+32,即证a2-12-lna0▣成立.令g(ad)=a2-12-n a,则g'(a)=2a-1a=2a2-1a(a0),令g'(a)0,得0<a<22,令g(aP0,得a>22,所以g (a)在avs4 alcol(0,f0r(22)上单调递减，在avs4acol(fr(22),+o上单调递增，所以g (a)uim=gavs4 alco10f0r(22)=alvs4 aNcol(f0r(22)2-12-n22=n2>0,则g(a>0恒成立. 所以当a>0时，fx)>2lna+32恒成立. 4.【解答】(I)ax)的定义域为R,f=1一xe,所以当x<1时，fx)>0:当x>1时， fx)0.所以x)的单调递增区间为（一o,1),单调递减区间为(1，十） (2)要证fx)e-l,即证xee-l,令hx)=xex-e+1,即证hx)s0,h(x)=I一x-e2xex ，令mx)=1一x一e2,则m'(x)=一1一2e2<0,所以mx)在R上单谓递减，又m(O)=0,所 以当x0时，mx>0,h'x)>0:当>0时，mx)0,h(x)0.所以hx)在（一o,0)上单调递增， 在(0，十o)上单调递减，所以hxhO)=0,所以xe≤e一l,即xc一1，得证 5.AC【解析】a=log2e=lmem2=1m2,c=log1213=1312=lm3ln2.因为0<n2 <1,所以1m2>ln2,即a>b.因为ln3>lne=1,所以bm3n2>1m2,即c>a.所以c>a>b,故 A,C正确，B错误.a+b=1bm2+ln2>21n2=2,故D错误， 6.一1【解析】由题意可知x)=-一x),x+2)=(一x+2),所以-x+2)=一1 c一2)=+2)=x+4)=一fx)=x+8)=x),所以fx)的一个正周期为8，则101)=5) =-1)=-1)=-1og2(1+1)=-1. 7.【解答】(1)因为x)=x2-2m+5的图象开口向上，且对称轴为x=a(a>1),所以 xr)在[l,ad上单调递减，所以fx)aw=1)=6-2a,mim=a)=5一a2.因为x)的定义域和 值域均为1，a,所以6-2a=a,5-a2=1,)解得a=2. (2)因为)在（一o,2]上是减函数，所以a22,所以fx)在[1，a上单调递减，在[a,a +1]上单调递增，所以x)mm=(a=5-a2又(1)-(a+1)=a2-2a20,所以x)mx=1)= 6-2a.因为对任意的x1,2∈[1，a十1]，总有s)一)9成立，所以1)一a)9,即6-2a 一(5-a2)9,整理得a2-2a一8≤0，解得-2≤a≤4.又a心2，所以实数a的取值范围为2,4