精品解析：辽宁省沈阳市大东区2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题 

2024-2025学年度（下）七年期末学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题满分120分 考试时间100分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小病毒粒（），是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为米的二十面体．数据“”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 小明在罚球线上投篮一次，投中 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 太阳从西边升起 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的同位角是（ ） A. B. C. D. 6. “二十四节气”是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它包括立春、惊蛰、春分、立夏等，同时它与白昼时长密切相关，如图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（ ） A 惊蛰 B. 立夏 C. 秋分 D. 大寒 7. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ） A B. C. D. 8. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（    ） A. B. C. D. 9. 在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A. 平板弹墨线 B. 建筑工人砌墙 C. 弯河道改直 D. 测量跳远成绩 10. 如果多项式是一个完全平方式，则m的值是（ ） A. ±3 B. 3 C. ±6 D. 6 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个角的补角为度，则这个角的度数为______度． 12. 计算的结果是______． 13. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，小明对二维码开展数学实验活动．如图，小明将自己的微信二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______． 14. 小明从家跑步到学校，到达学校后马上沿原路步行回家，如图所示的是小明离家的距离与时间之间的关系图象，则小明回家的速度是每分钟步行___________m 15. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若，则___________（用含的数式表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 先化简，再求值：[（x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2． 18. 如图，点在直线上，点在的两侧，，． （1）说明：； （2）若，求的长． 19. 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． （1）求小明摸到球面数字为5的概率； （2）你认为这种方法公平吗？请说明理由． 20. 某市出租车车费收取标准如下：3千米以内含（3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费元． （1）写出应收费（元）与出租车行驶路线（千米）之间的关系式（其中） （2）小明乘出租车行驶5千米，应付多少元？ （3）小颖付车费元，那么出租车行驶了多少千米？ 21. 如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 22. 问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在中，，． 【解决问题】 （1）如图1，若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当的度数不变时，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数； 拓展应用】 （3）创意小组将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数． 23. 【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（下）七年期末学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题满分120分 考试时间100分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 小病毒粒（），是最小且最简单的病毒．小病毒粒是直径约为米的二十面体．数据“”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为正整数，确定a与n的值是解题的关键．根据科学记数法的方法进行解题即可． 【详解】解：数据“”用科学记数法可表示为． 故选：B 3. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 小明在罚球线上投篮一次，投中 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 太阳从西边升起 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件．根据必然事件的定义，即在一定条件下必然会发生的事件，逐一分析各选项是否为必然事件即可． 【详解】解：A．小明罚球投篮可能投中或未中，属于随机事件，不是必然事件． B．交通信号灯可能为红、黄、绿，遇到绿灯是随机事件，不是必然事件． C．根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和恒为，是必然事件． D．太阳从西边升起违背自然规律，是不可能事件． 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘除的法则，单项式乘单项式的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5. 如图，的同位角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同位角的定义，正确理解同位角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．根据同位角的定义判断即可． 【详解】解：的同位角是． 故选：A． 6. “二十四节气”是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它包括立春、惊蛰、春分、立夏等，同时它与白昼时长密切相关，如图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中，白昼时长不足11小时的节气是（ ） A. 惊蛰 B. 立夏 C. 秋分 D. 大寒 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图的知识，读懂折线统计图是解题的关键． 根据折线统计图确定每个节气白昼时长即可得到正确选项． 【详解】解：观察折线统计图得：白昼时长不足11小时的节气有立春，立冬，冬至，大寒． 则D选项符合题意． 故选：D 7. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，小球停在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算整个图形的面积和阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：整个图形面积， 阴影部分面积， ∴小球停在阴影区域的概率， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何概率公式，解题的关键是掌握几何概率公式：一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 8. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作一个角等于一直角的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据尺规作图可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴， ∴依据是， 故选：B ． 9. 在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释是（ ） A. 平板弹墨线 B. 建筑工人砌墙 C. 弯河道改直 D. 测量跳远成绩 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 【详解】A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． 10. 如果多项式是一个完全平方式，则m的值是（ ） A. ±3 B. 3 C. ±6 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据可进行求解． 详解】解：∵， ∴如果是一个完全平方式，则m的值是； 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 一个角的补角为度，则这个角的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角的定义，根据补角的定义列式计算即可求解，掌握补角的定义是解题的关键． 【详解】解：这个角的度数为， 故答案为：． 12. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据积的乘方的逆运算计算即可，掌握积的乘方的逆运算法则是解题的关键． 详解】解： 故答案为：． 13. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，小明对二维码开展数学实验活动．如图，小明将自己的微信二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故答案为： 14. 小明从家跑步到学校，到达学校后马上沿原路步行回家，如图所示的是小明离家的距离与时间之间的关系图象，则小明回家的速度是每分钟步行___________m 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查函数图象，从图象获取信息，利用速度等于路程除以时间进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为：80． 15. 如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，过点作交于点．若，则___________（用含的数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、等角对等边、平行线的性质，熟练掌握尺规作角平分线的方法是解题的关键．由作图可得，平分，得到，利用平行线的性质得到，则有，推出，即可得出答案． 【详解】解：由作图可得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，实数的运算， （1）利用同底数幂的乘法，幂的乘方将原式化简，然后再合并好可； （2）利用多项式除以单项式的运算法则进行运算即可； （3）利用零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 17. 先化简，再求值：[（x+y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝﹣2． 【答案】； 【解析】 【分析】原式中括号里利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝（x2+2xy+y2﹣x2+4y2）÷（﹣2y） ＝（2xy+5y2）÷（﹣2y） ＝﹣x﹣y， 当x＝1，y＝﹣2时， 原式＝﹣1﹣×（﹣2） ＝﹣1+5 ＝4． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 如图，点在直线上，点在的两侧，，． （1）说明：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）平行线的性质得到，利用即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴． 19. 2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． （1）求小明摸到球面数字为5的概率； （2）你认为这种方法公平吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）这种方法不公平，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，游戏的公平性，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）分别计算出两人获得电影票的概率，比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有2个，且每个小球被摸到的概率相同， ∴小明摸到球面数字为5的概率为； 【小问2详解】 解：这种方法不公平，理由如下： 由题意得，小颖得到电影票的概率为， 小明得到电影票的概率为， ∵， ∴这种方法不公平． 20. 某市出租车车费收取标准如下：3千米以内含（3千米）收费8元；超过3千米的部分每千米收费元． （1）写出应收费（元）与出租车行驶路线（千米）之间的关系式（其中） （2）小明乘出租车行驶5千米，应付多少元？ （3）小颖付车费元，那么出租车行驶了多少千米？ 【答案】（1） （2）元 （3）8千米 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键， （1）根据题意列出时关系式，化简即可得到答案； （2）将代入（1）中的表达式中即可得到答案； （3）将代入（1）中的表达式中即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴， 【小问2详解】 解：∵， 当时，， 答：应付元； 【小问3详解】 解：∵， 当时，， 解得：， 答：出租车行驶了8千米． 21. 如图，中，的垂直平分线交于点，交于点，且，连接． （1）求证：； （2）若的周长为，，求长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质可得，，于是结论得证； （2）由的周长为可得，再结合，可得，即，由（1）可得，再结合，可得，于是得解． 【小问1详解】 证明：垂直平分， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：的周长为， ， ， ， ， 由（1）可得：， 又， ， 即：， 长为． 22. 【问题情境】 在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在中，，． 【解决问题】 （1）如图1，若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，当的度数不变时，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数； 【拓展应用】 （3）创意小组将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，直角三角形的性质，角平分线的定义， 对于（1），根据平角定义求出，再根据“两直线平行，同位角相等”得出答案； 对于（2），作，先根据平行线的性质求出，进而求出，再根据“两直线平行同旁内角互补”得出答案； 对于（3），先根据角平分线的定义求出，再作，根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，然后根据平行线的性质得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴． ∵， ∴； （2）如图，过点B作， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）∵，平分， ∴． 如图所示，作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 23. 【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（）①；②；③；（） 【解析】 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $