精品解析：辽宁省沈阳市大东区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度（下）七年期末学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间100分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 在回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 据医学研究：猴痘病毒的平均直径约为0.00000023米，0.00000023米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 391人中至少有两人的生日在同一天 B 抛掷一次硬币反面一定朝上 C. 任意买一张“某歌手”的演唱会门票，座位号都会是2的倍数 D. 某种彩票的中奖率为0.1%，购买1000张彩票一定能中奖 5. 如图，在平面内，一组平行线穿过，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（ ） A. 两定确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 7. 小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A. B. C. D. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 C. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D. 三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 9. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晩，乌龟还是先到达终点、用、分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的中线，交的延长于点，，，则的取值可能是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 40°角的余角是_____． 12. 如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是_____． 13. 据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约毫升．小明同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小明离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，则与之间的函数关系式是____________． 14. 如图，平分，是上一点，过点作于，，是上任意一点，连接，则的最小值为______． 15. 如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 计算 （1） （2）． 17. 先化简，再求值，其中，． 18. 如图，已知：直线，直线分别交，于点，． （1）实践与操作 尺规作图：作线段垂直平分线，分别交，于点，，交点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）猜想与证明：试猜想线段和的数量关系，并说明理由． 19. 如图，在长方形中，，，点为边上一动点，连接，随着点的运动的面积也发生变化． （1）求的面积与的长之间的关系式； （2）当时，求的值． 20. 沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 21. 如图，四边形中，，平分，连接，若，． （1）求证：； （2）若，求证：CD∥AB． 22. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______． 【迁移运用】 （2）如图3，，分别是两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______． 【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 23．综合与实践 23. 问题情境： 已知：，于点，，点在直线上，点，在直线的同侧． （）如图，过点作于点，则与的数量关系是______，此时，，之间的数量关系是______． 探究证明： （）如图，在直线上取点，使，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （）在直线任取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角三角形，作于点，写出在图，图中，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度（下）七年期末学情诊断 数学学科 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间100分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题3分，共30分） 1. 在回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 据医学研究：猴痘病毒的平均直径约为0.00000023米，0.00000023米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：0.00000023米=米． 故选：A 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方和合并同类项进行计算即可得到正确答案． 【详解】解：A、，计算正确； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算错误； 故选：A． 【点睛】本题考查积的乘方、同底数幂相乘、幂的乘方和合并同类项，解题的关键是掌握相关运算的法则． 4. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 391人中至少有两人的生日在同一天 B. 抛掷一次硬币反面一定朝上 C. 任意买一张“某歌手”的演唱会门票，座位号都会是2的倍数 D. 某种彩票的中奖率为0.1%，购买1000张彩票一定能中奖 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断. 【详解】解：A、是必然事件，故本选项正确，B、不一定发生，是随机事件，故本选项错误；C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误；D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，故选A. 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 5. 如图，在平面内，一组平行线穿过，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质．根据平行线的性质求出，进而求出，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， ∵， ， 故选：C． 6. 如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩即可固定，这里所用的数学道理是（ ） A. 两定确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 垂线段最短 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，根据加上窗钩，可以构成三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释，正确理解三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所用的数学道理是三角形的稳定性， 故选：． 7. 小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小．    故选：C． 8. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 C. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D. 三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形的角平分线、中线和高．根据三角形的角平分线的定义和三角形重心的定义进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，所以本选项不符合题意； B、三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，所以本选项符合题意； C、三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，所以本选项不符合题意； D、三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，所以本选项不符合题意． 故选：B． 9. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晩，乌龟还是先到达终点、用、分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，乌龟的运用图像是正比例函数，兔子的运动图像是分段函数，且分为三段，其特点是第一段正比例函数且图像更靠近y轴，第二段是平行x轴的线段，且线段的两个端点位于乌龟图像的两侧；第三段为一次函数，但是图像没有交点，根据这些信息判断即可． 【详解】解：根据题意，乌龟的运用图像是正比例函数，兔子的运动图像是分段函数，且分为三段，其特点是第一段正比例函数且图像更靠近y轴，第二段是平行x轴的线段，且线段的两个端点位于乌龟图像的两侧；第三段为一次函数，但是图像没有交点，根据这些信息判断，而且乌龟比兔子早到，故A，B，C不符合题意，符合描述的只有D选项． 故选D． 【点睛】本题主要考查函数图象实际应用，能够熟练的把文字信息转化为图象的信息是解题关键． 10. 如图，是的中线，交的延长于点，，，则的取值可能是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系．先由得，，由此可证明和全等，则，，，然后由三角形三边之间的关系得，即，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ，， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， 即， ，， ， ， 即， ， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 40°角的余角是_____． 【答案】50° 【解析】 【分析】根据互余的两角和为90°解答即可． 【详解】解：40°角的余角是90°﹣40°＝50°． 故答案为50°． 【点睛】此题考查余角的问题，关键是根据互余的两角和为90°进行分析． 12. 如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据黑色区域四个，白色区域四个，落在黑色或白色区域等可能，对计算求解即可． 【详解】解：∵黑色区域共四个，白色区域共四个， ∴小球落在黑色石子区域内的概率是：． 故选A． 【点睛】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确的计算． 13. 据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约毫升．小明同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小明离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，则与之间的函数关系式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】水龙头每分钟滴出100滴水，每一滴水0.05毫升，一共滴了分钟，所以水龙头这段时间的滴水量应该是把这些量都乘起来. 【详解】 【点睛】本题主要考查了用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间关系，会分析并理解题意，找到自变量与函数之间的关系是解题的关键. 14. 如图，平分，是上一点，过点作于，，是上任意一点，连接，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，解题关键是找到最短距离的位置．根据垂线段最短确定点N的位置，再根据角平分线的性质即可得到最短距离． 【详解】解：∵是上任意一点， ∴当时，的值最小， 又∵平分，是上一点，，， ∴的最小值为8． 故答案为：8． 15. 如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质．令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：，， ． 令， 和关于直线对称， ，， ． ，且平分， ． ，， ． 同理可得，， ． 当时， ，即， 解得：， ． 当时， ． 当时， ． 综上所述，的度数为：或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤和推理过程） 16. 计算 （1） （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，单项式乘多项式，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）先算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可； （2）先算单项式乘多项式，完全平方公式，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值，其中，． 【答案】，6 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 18 如图，已知：直线，直线分别交，于点，． （1）实践与操作 尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点，，交点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； （2）猜想与证明：试猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了基本作图作垂直平分线，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用尺规作图线段垂直平分线的作法，进行作图即可； （2）根据平行线的性质可得，，再由垂直平分线的性质得，即可证明，进而得到结论． 【小问1详解】 解：直线为所求． ； 小问2详解】 解：， 理由如下：∵， ，， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ． 19. 如图，在长方形中，，，点为边上一动点，连接，随着点的运动的面积也发生变化． （1）求面积与的长之间的关系式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查函数关系式，掌握三角形面积的计算方法是正确解答的前提． （1）根据三角形的面积公式即可得出答案； （2）将代入（1）中的函数关系式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由三角形的面积公式得， ， 答：的面积与的长之间的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，， 答：当时，． 20. 沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】（1）0.9，0.9 （2）①估计这批花卉成活18000棵：②估计还需要移植280000棵 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【小问1详解】 解：由图可知，这种花卉成活率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 故答案为：0.9； 【小问2详解】 解：①估计这批花卉成活的棵数为： （棵）； ②估计还需要移植：（棵）． 21. 如图，在四边形中，，平分，连接，若，． （1）求证：； （2）若，求证：CD∥AB． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据∠DAE=∠CAB，可得∠DAC=∠EAB，然后根据SAS证明，即可； （2）根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=72°，从而得到∠ABE=36°，再根据全等三角形的性质可得∠ACD=∠ABE=36°，即可求证． 【小问1详解】 证明：∵∠DAE=∠CAB， ∴∠DAE-∠CAE=∠CAB-∠CAE． ∴∠DAC=∠EAB， 在△DAC和△EAB中， ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵AB=AC，∠CAB=36°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∵平分， ∴∠ABE=36°， ∵， ∴∠ACD=∠ABE=36°， ∴∠ACD=∠CAB， ∴CD∥AB． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 22. 【阅读理解】 定义：在同一平面内，点，分别在射线，上，过点垂直的直线与过点垂直的直线交于点，则我们把称为的“边垂角”（四边形内角和等于360°）． （1）如图1和2，若是的“边垂角”，则与的数量关系是______． 【迁移运用】 （2）如图3，，分别是的两条高，两条高交于点，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______． 【拓展延伸】 （3）如图4，若是的“边垂角”，且．交于点，点关于直线的对称点为点，连接，，且，延长和相交于点． ①请说明：； ②请说明：． 【答案】（1）或（2）；（3）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题的关键． （1）根据图形可得两种情况，分别利用三角形内角和和四边形内角和推导即可； （2）由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为； （3）①由“边垂角”可证，再根据题干已知条件即可得证； ②由①全等推出，，然后证，得到，最后通过线段的和差即可得证． 【详解】（1）解：若是的“边垂角”，分两种情况： ①如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； ②如图 是的“边垂角”， ，， ，， ， ； 综上，或． 故答案为：或； （2）解：由“边垂角”定义可得，的“边垂角”为， 故答案为：； （3）证明：①是的“边垂角”， ，， ， ， ， ， ； ②证明：， ，， ， ， ， ， ， ． 点关于直线对称点为点， ， ， ． 23．综合与实践 23. 问题情境： 已知：，于点，，点在直线上，点，在直线的同侧． （）如图，过点作于点，则与的数量关系是______，此时，，之间的数量关系是______． 探究证明： （）如图，在直线上取点，使，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸： （）在直线任取一点，连接，以点为直角顶点作等腰直角三角形，作于点，写出在图，图中，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）；． 【解析】 【分析】（）由余角性质可得，进而由即可证明，得到，进而得到，，据此可得； （）过点作于点，如图，同理（）可得，得到，由等腰三角形三线合一得到，即得； （）如图，作于点，作，作于点，作于点，可得四边形和四边形是长方形，得到，，同理（）可得，，得到，，即得，进而得到；如图，作于点，同理（）得到，，即得，，进而可得； 本题考查了余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：，； （）， 理由如下： 过点作于点，如图， 同理（）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴； （）如图，作于点，作，作于点，作于点， 则四边形和四边形是长方形， ∴，， 同理（）可得，， ∴，， ∴， ∴， 即； 如图，作于点， 同理（）可得，， ∴，， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$