初中数学几何模型研究大讲堂 专题二 2-1 “双角平分线”模型 2025-2026学年北师大版（2024）七年级数学上册4.2 角

初中数学几何模型研究大讲堂 专题二：双角平分线模型 2-1 角中的双角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) AD为∠BAC内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. （双角平分线和型） 1.. AD为∠AOB内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠BAC. （双角平分线差型） 1.. AD为∠BAC外一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. （双角平分线周角型） 1.. 点O在直线上，平分，平分. （双角平分线邻补角型） 1.=90°. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“双角平分线”模型角度 求角 1.在选择题或填空题或解答题中考查. 角平分线的定义 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，难度有所提升，学生必须要掌握该模型，还是注意一定要学会推模型结论，看懂证明过程，学会逆向思维，可结合前面的双中点模型类比学习，特别注意要能够举一反三，答好七年级上学期压轴题. 证明过程： 1. AD为∠BAC内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD.求证：.（双角平分线和型） 证明：∵AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. ∴，. ∴. 2.AD为∠AOB内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠BAC.求证：（双角平分线差型） 证明：∵AE、AF分别平分∠BAD，∠BAC. ∴，. ∴. 3.AD为∠BAC外一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD.求证：（双角平分线周角型） 证明：∵AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. ∴，. ∴. 4.点O在直线上，平分，平分.求证：=90°.（双角平分线邻补角型） ∵平分，平分， ∴， ∴ PART 5——模型解析. 1.（2024·重庆渝北期末）如图，已知点O在直线上，平分，平分，则的度数为（    ）. A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角的计算和角平分线，解题的关键是掌握角的和差，角平分线的定义． 利用角平分线的定义进行解答即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， 故选：A． 2.（2023·浙江杭州校级期末）如图，，射线是内部任意一条射线，、分别是、的平分线，下列叙述正确的是（　　） A．的度数不能确定 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是对角平分线的性质的考查．根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解． 【详解】、分别是、的平分线， 、， 又， ． 故选：B． 3.（2024·陕西西安期末）如图，，射线在外，且，若平分，平分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先根据周角的定义得到，进而得到，再有角平分线的定义得到，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（原创）如图，，，分别平分和，交于点O， °． 【思路点拨】利用对顶角相等得到，注意做题时应准确勾画. 【答案】 【分析】此题考查了角平分线和对顶角的性质，根据角平分线定义得到，，则，再利用对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵交于点O， ∴ 故答案为： 5.（2023·贵州毕节、黔西南州期末）如图，已知，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若是内任意一条射线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】根据平分，平分，可得，．从而得到．进而得到．即可求解； （2）根据平分，平分，可得，．从而得到．即可求解． 【详解】（1）解：因为平分，平分， 所以，． 因为， 所以． 所以． 所以． （2）解：因为平分，平分， 所以，． 因为， 所以． 因为， 所以． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 6.（2024·山东枣庄校级月考）如图，已知射线在的外部，，，平分，平分．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义求出以及的度数是解题的关键．直接利用角平分线的性质结合已知角得出以及的度数，进而得出答案． 【详解】解：因为，， 所以 因为平分，平分， 所以，． 所以． 7.（2023·湖北荆门校级期末）已知，∠AOB=∠COD=90°，射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD． （1）当OB和OC重合时，如图（1），求∠EOF的度数； （2）当∠AOB绕点O逆时针旋转至图（2）的位置（0°＜∠BOC＜90°）时，求∠EOF的度数． 【答案】（1）90°；（2）90°. 【分析】（1）根据角平分线的定义和平角的定义求解； （2）根据角平分线的定义和角的和差关系求解； 【详解】解：（1）当OB和OC重合时，∠AOD=∠AOC+∠BOD=180°， 又∵射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠COE=∠AOC，∠BOF=∠BOD， ∴∠EOF=∠COF+∠BOF=（∠AOC+∠BOD）=×180°=90°； （2）∵∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠AOC，∠BOF=∠BOD， ∴∠EOF=∠COE+∠BOF﹣∠BOC =∠AOC+∠BOD﹣∠BOC =（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC =（∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC）﹣∠BOC =（180°+2∠BOC）﹣∠BOC =90°+∠BOC﹣∠BOC =90°． 8.（2024·江苏徐州校级月考）已知是的平分线，，平分，设，则（   ）. A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 9. （2022·重庆八中期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，的度数是 ． 【答案】45°或15° 【分析】根据角平分线的定义和角的运算，分射线OD在∠AOC外部和射线OD在∠AOC内部求解即可． 【详解】解：∵射线平分，射找平分， ∴∠MOC= ∠AOC，∠NOC= ∠BOC， ∴∠MON=∠MOC+∠NOC=∠AOC+∠BOC=∠AOB=60°， ∵射线平分， ∴∠MOD= ∠MON=30°， 若射线OD在∠AOC外部时，如图1， 则∠COD=∠MOD－∠MOC=30°－∠AOC， 即2∠COD=60°－∠AOC， ∵， ∴， 解得：∠AOC=45°或15°； 若射线OD在∠AOC内部时，如图2， 则∠COD=∠MOC－∠MOD=∠AOC－30°， ∴2∠COD=∠AOC－60°，即∠AOC－2∠COD=60°，不满足， 综上，∠AOC=45°或15°， 故答案为：45°或15°．    【点睛】本题考查角平分线的定义、角的运算，熟练掌握角平分线的定义和角的有关计算，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 10.（2025·湖南常德期末）如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中结论正确的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键．根据余角的性质即可判断①；根据即可判断②；根据，，得出，即可判断③；根据角平分线定义得出，，求出，即可判断④． 【详解】解：∵和都是直角， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 若，则：， ∴，故③正确； 若平分，平分，   则：，， ∴；故④正确； 综上分析可知，正确的有4个． 故答案为：4． 11.（2020·河南郑州校级月考）已知，点为直线上一点，，是的平分线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，是的平分线，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程） 答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOD度数，根据BOD=180°-∠AOD可得∠BOD度数； （2）由角平分线得出∠AOE=∠AOD=(∠AOC+90°)，∠BOF=(∠BOD+90°)，继而由∠EOF=180°-∠AOE-∠BOF得出结论． （3）∠DOF=45°-∠BOD，结合已知∠AOC+∠DOF=∠EOF和∠AOC+∠BOD=90°可求∠BOD=60°，再由∠FOP=∠DOF+∠DOP即可解答． 【详解】（1）∵∠COD=90°，∠COE=63°， ∴∠DOE=∠COD-∠COE=27°， ∵OE是∠AOD的平分线， ∴∠AOD=2∠DOE=54°， ∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-54°=126°； 答：∠BOD的度数为126°； （2）∵OE是∠AOD的平分线， ∴ ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：的度数为； （3）由（2）得∠EOF=45°， ∵∠AOC+∠DOF=∠EOF=45°， ∴∠DOF=45°-∠AOC， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、余角和补角的计算、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键． 12.（2022·广东揭阳期末复习）如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论： ①；  ②； ③；  ④ 其中正确的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据余角和补角的定义以及角平分线的定义，计算出各选项的结果判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∵平分，平分， ∴, ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵不能证明，故④错误； ∴正确的选项有3个； 故选：C. 【点睛】本题考查了同角的补角相等，同角的余角相等，角的平分线，以及角的运算，解题的关键是熟练掌握角的平分线性质，余角和补角的定义，从而进行计算. 13.（2024·黑龙江哈尔滨校级月考）已知：直线、相交于点．    (1)如图1，，求的度数． (2)如图2，射线、在直线的上方，且，作平分，求与的数量关系． (3)如图3，在（2）的条件下，当于，在下方作于，射线在的内部，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件和邻补角的定义，得出，再利用对顶角相等，即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义，得到，，再利用角度计算，即可得出与的数量关系； （3）根据垂直和角平分线的定义，得到，进而得到，再根据，求得，，然后利用垂直和角平分线的定义，得到，再结合，求得，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ，， ， ，即； （3）解：， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义，补角和余角的性质，根据题意正确找出角度之间的数量关系是解题关键． 14.（2024·四川成都校级入学）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． ． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【答案】(1) (2)或 (3)①4或16；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用： （1）根据题意得到，再由，进行求解即可； （2）分当在下方时，当在内部时，当在外部时，三种情况讨论求解即可； （3）分当时，当时，两种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可；②分当时，当时，种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的“绝配角”， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在下方时， ∵是的“绝配角”， ∴ ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当在内部时， 同（1）可得， ∵与互补， ∴， ∴； 当在外部时，且在的上方时， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵与互补， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：①当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：4或16； ②当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，， 故答案为：． 15.（2021·重庆巴蜀入学）已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(图中的角均大于0°且小于180°) (1)如图1，求∠MON的度数； (2)若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒 ①当时，试确定∠BOM与∠AON的数量关系； ②当且时，若，则t=______. 【答案】①4或16；②①所求的与的数量关系为：；②或或. 【分析】（1）设，则可得和，根据角平分线的定义得和，再根据即可得； （2）①当时，由题意可得，可以发现当时，大于，因此需要将t分成和两段，分别计算，以保证其符合题意小于，从而确定在两段内和的数量关系； ②根据图中的角均小于，首先要分OC是否转过OA；再分OC与OD是否转到共线的位置；然后分角平分线OM与ON是否共线，即是否大于；最后分OC与OD是否重合；计算各个情形的下和，代入即可计算出t的值. 【详解】（1）设 又 OM平分，ON平分 ； （2）①由题意将t分为以下两段： 当时， 此时有 当时， 此时有 综上，所求的与的数量关系为：； ②根据图中的角均小于，需作以下几方面的讨论： 当OC恰好转到OA的位置时，；当OC与OD恰好转到共线的位置时，，即；当OC与OD转到使OM与ON恰好共线的位置时，，即；当OC与OD恰好重合时，，即，下面据此将t的取值范围逐一分段： 1）当时， 代入得：解得 2）当时， 代入得：解得（舍） 3）当时， 代入得：解得（舍）或 4）当时， 代入得：解得（舍） 5）当时， 代入得：解得 综上，所求的t的值为：或或. 【变式1】（2025·江西赣州期末）【课本原型】 （1）如图（1），点、、在同一条直线上，射线和射线分别平分和．则______°． 【拓展与延伸】 （2）如图（2），点、、不在同一条直线上，射线和射线分别平分和． ①若，求的度数； ②若，则的度数为______． 答案】（1）；（2）①；②． 【分析】本题考查了角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义及角的和差即可得出答案； （2）根据角平分线的定义及角的和差得到与的数量关系，即可得出①②答案 【详解】（1）解： 射线和射线分别平分和 ， 故答案为：； （2）射线和射线分别平分和 ， ①若，则； ②若，则， 故答案为：． 【变式2】（2024·内蒙古赤峰期末）阅读下面材料（来源：课本137页例3），解决下列问题： 材料： 如图①，点，，在同一条直线上，射线和射线分别平分和，则图中哪些角互为余角？ 解：因为点，，在同一条直线上， 所以和互为补角． 又因为射线和射线分别平分和， 所以． 所以与互为余角． 同理和，和，和也互为余角． 问题： (1)如图②，已知，，射线是内部任意一条射线，射线，分别平分，．求的度数（类比以上材料写解答过程）； (2)如图②，射线是内部任意一条射线，射线，分别平分，．则与之间的数量关系是 ； (3)若把（1）中的条件“射线是内部任意一条射线”更改为“射线是外部任意一条射线”，其他条件保持不变，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的有关计算； （1）根据角平分线的定义进行解答即可； （2）根据（1）的方法即可求解； （3）同（2）法解答即可． 【详解】（1）解：∵射线，分别平分，， ∴， ∴ ， 即； ∵ ∴ （2）解：∵射线，分别平分，， ∴， ∴ ， 即； （3）解：如图所示， ∵射线，分别平分，， ∴， ∴ ， ． 【变式3】（2025·山东东营期末）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题. 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3） 如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①8；②8；（2）60度；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）①利用线段中点得出求解即可； ②利用线段中点得出求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先利用角平分线得出，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； ②∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ； （3）射线平分，射线平分， ， ∵， 【变式4】（2025·湖南岳阳期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 【答案】(1) (2) (3)当时， 【分析】本题主要考查几何图形中角平分线的定义的计算，一元一次方程解几何问题，理解图示，掌握一元一次方程解几何问题是解题的关键． （1）根据图示，运用角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意可得，，由即可求解； （3）根据题意可得，，则，由此列式得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ∵平分，平分， ，， ，， ； （2）解：，， ， ， ， ， ∵平分， ， ； （3）解：，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ∴当时候，． 【变式5】（2021·四川成都七中入学）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数． （1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°． （2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由． （3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示） 【答案】（1）150；75   （2）有，105°   （3）或 【分析】（1）利用两个角的和的定义,角的平分线的定义计算即可；   （2）利用分类思想， 确定不同方式计算即可； （3）利用特殊与一般的思想，分类将问题抽象即可． 【详解】（1）如图，由与重合， ∵，， ∴． 又∵平分，平分， ∴，， ∴． 故答案为：150°；75°； （2）如图， ∵平分，平分， ∴ +30° +30° +30° ． ∴， ∴． （3）如图， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ =+60°- =； 如图， ∵OE平分，平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了两个角的和，角的平分线，周角的定义，灵活运用分类思想，角的平分线定义，角的和，差定义计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初中数学几何模型研究大讲堂 专题二：双角平分线模型 2-1 角中的双角平分线模型 PART 1——模型认知. 已知 图示 结论(性质) AD为∠BAC内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. （双角平分线和型） 1.. AD为∠AOB内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠BAC. （双角平分线差型） 1.. AD为∠BAC外一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. （双角 平分线周角型） 1.. 点O在直线上，平分，平分. （双角平分线邻补角型） 1.=90°. 考法 常考设问 考查题型 解题思路 考 法 1 根据“双角平分线”模型角度 求角 1.在选择题或填空题或解答题中考查. 角平分线的定义 PART 2——模型思路. 这是一种常考的模型，难度有所提升，学生必须要掌握该模型，还是注意一定要学会推模型结论，看懂证明过程，学会逆向思维，可结合前面的双中点模型类比学习，特别注意要能够举一反三，答好七年级上学期压轴题. 证明过程： 1. AD为∠BAC内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD.求证：.（双角平分线和型） 证明：∵AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. ∴，. ∴. 2.AD为∠AOB内一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠BAC.求证：（双角平分线差型） 证明：∵AE、AF分别平分∠BAD，∠BAC. ∴，. ∴. 3.AD为∠BAC外一条射线，AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD.求证：（双角平分线周角型） 证明：∵AE、AF分别平分∠BAD，∠CAD. ∴，. ∴. 4.点O在直线上，平分，平分.求证：=90°.（双角平分线邻补角型） ∵平分，平分， ∴， ∴ PART 3——模型练习. 1.（2024·重庆渝北期末）如图，已知点O在直线上，平分，平分，则的度数为（    ）. A． B． C． D．无法确定 2.（2023·浙江杭州校级期末）如图，，射线是内部任意一条射线，、分别是、的平分线，下列叙述正确的是（　　） A．的度数不能确定 B． C． D． 3.（2024·陕西西安期末）如图，，射线在外，且，若平分，平分，则 ． 4.（原创）如图，，，分别平分和，交于点O， °． 【思路点拨】利用对顶角相等得到，注意做题时应准确勾画. 5.（2023·贵州毕节、黔西南州期末）如图，已知，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若是内任意一条射线，求的度数． 6.（2024·山东枣庄校级月考）如图，已知射线在的外部，，，平分，平分．求的度数． 7.（2023·湖北荆门校级期末）已知，∠AOB=∠COD=90°，射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD． （1）当OB和OC重合时，如图（1），求∠EOF的度数； （2）当∠AOB绕点O逆时针旋转至图（2）的位置（0°＜∠BOC＜90°）时，求∠EOF的度数． 8.（2024·江苏徐州校级月考）已知是的平分线，，平分，设，则（   ）. A．或 B．或 C．或 D． 9.（2022·重庆八中期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，的度数是 ． 10.（2025·湖南常德期末）如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中结论正确的有 个． 11.（2020·河南郑州校级月考）已知，点为直线上一点，，是的平分线． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，是的平分线，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，是的一条三等分线，，若，请直接写出的度数．（不用写过程） 12.（2022·广东揭阳期末复习）如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论： ①；  ②； ③；  ④ 其中正确的个数有（   ）    A．个 B．个 C．个 D．个 13.（2024·黑龙江哈尔滨校级月考）已知：直线、相交于点．    (1)如图1，，求的度数． (2)如图2，射线、在直线的上方，且，作平分，求与的数量关系． (3)如图3，在（2）的条件下，当于，在下方作于，射线在的内部，平分，若，，求的度数． 14.（2024·四川成都校级入学）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． ． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 15.（2021·重庆巴蜀入学）已知∠AOB=120°，∠COD=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD(图中的角均大于0°且小于180°) (1)如图1，求∠MON的度数； (2)若OD与OB重合，OC从图2中的位置出发绕点O逆时针以每秒10°的速度旋转，同时OD从OB的位置出发绕点O顺时针以每秒5°的速度旋转，旋转时间为t秒 ①当时，试确定∠BOM与∠AON的数量关系； ②当且时，若，则t=______. 【变式1】（2025·江西赣州期末）【课本原型】 （1）如图（1），点、、在同一条直线上，射线和射线分别平分和．则______°． 【拓展与延伸】 （2）如图（2），点、、不在同一条直线上，射线和射线分别平分和． ①若，求的度数； ②若，则的度数为______． 【变式2】（2024·内蒙古赤峰期末）阅读下面材料（来源：课本137页例3），解决下列问题： 材料： 如图①，点，，在同一条直线上，射线和射线分别平分和，则图中哪些角互为余角？ 解：因为点，，在同一条直线上， 所以和互为补角． 又因为射线和射线分别平分和， 所以． 所以与互为余角． 同理和，和，和也互为余角． 问题： (1)如图②，已知，，射线是内部任意一条射线，射线，分别平分，．求的度数（类比以上材料写解答过程）； (2)如图②，射线是内部任意一条射线，射线，分别平分，．则与之间的数量关系是 ； (3)若把（1）中的条件“射线是内部任意一条射线”更改为“射线是外部任意一条射线”，其他条件保持不变，直接写出的度数． 【变式3】（2025·山东东营期末）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题. 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3） 如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 【变式4】（2025·湖南岳阳期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，若，射线，射线分别从出发，并分别以每秒1D和每秒20的速度绕着点逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为秒．当，求的值． 【变式5】（2021·四川成都七中入学）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如图1所示放置，两个顶点重合于点，与重合，且，，，．将三角板绕着点逆时针旋转一周，旋转过程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度数． （1）当三角板绕点旋转至如图2的位置时，与重合，______°，______°． （2）三角板绕点旋转过程中，的度数还有其他可能吗？如果有，请研究证明结论，若没有，请说明理由． （3）类比拓展：当的度数为时，其他条件不变，在旋转过程中，请直接写出的度数．（用含的式子来表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$