15.4 最短路径 课时达标 2025-2026学年 人教版数学八年级上册

15.4最短路径 课时达标 一、选择题 1、如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则（　　） A．BC＞PC+AP    B．BC＜PC+AP     C．BC=PC+AP      D．BC≥PC+AP 2、已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(     ) A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C 3、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于CP+EP最小值的是（　　） A．AC          B．AD           C．BE          D．BC 4、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 5、如图，OA、OB分别是线段MC、MD的垂直平分线，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（   ） A. 12cm        B. 10cm         C. 7cm         D. 5cm 6、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　） A．（0，0）   B．（0，1）   C．（0，2）   D．（0，3） 二、填空题 7、如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由　              　． 8、点P是直线L外一点，点A，B，C，D是直线L上的点，连接PA，PB，PC，PD．其中只有PA与L垂直，若PA=7，PB=8，PC=10，PD=14，则点P到直线L的距离是__________． 9、如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为__________． 10、 如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为_________ 11、如图，已知点P是∠AOB内一点，点P关于直线OA的对称点是点E，点P关于直线OB的对称点是点F，连接线段EF分别交OA、OB于点C、D，连接线段PC、PD．如果△PCD的周长是10cm，那么线段EF的长度是　　___cm． 12、如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=120°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数是　     　． 三、解答题 13、如图，政府决定实施“引河入村”的工程，需将河水经A村引入B村，要使修渠路线最短，水泵站的位置P应建在河边的什么地方，并画出水渠的修建路线． 14、如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． （1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； （2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； （3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积=               ．   15、 作图题：（写出作法，保留作图痕迹） M、N为△ABC为AB、AC上的两个定点，请你在BC边上找一点P，使APMN周长最小? 16、如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小． 18、 如图，已知点A、点B以及直线l， (1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2) 在(1)中所作的图中,若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP=∠NPB 参考答案 一、选择题 1、C【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB． ∵BC=PC+BP， ∴BC=PC+AP． 2、 B　 3、C 【解析】如图，连接PB， ∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC， ∴PB=PC， ∴PC+PE=PB+PE， ∵PE+PB≥BE， ∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度， 故选C． 4、B【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD， ∵△PMN周长的最小值是5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即CD=5=OP， ∴OC=OD=CD， 即△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60°， ∴∠AOB=30°； 故选：B． 5、B 6、D【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质． 【分析】根据轴对称作最短路线得出AE=B′E，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标． 【解答】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′， 此时△ABC的周长最小， ∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0）， ∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE=4， 则B′E=4，即B′E=AE， ∵C′O∥AE， ∴B′O=C′O=3， ∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小． 故选：D． 二、填空题 7、垂线段最短 8、7． 【解析】∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，点P到直线L的距离=PA， 即点P到直线L的距离=7，故答案为：7． 9、6． 10、5cm． 12、120度 三、解答题 13、【考点】作图—应用与设计作图；垂线段最短． 【分析】作AP⊥直线l于P，连接AB，P就是所求的水泵站的位置． 【解答】解：作AP⊥直线l于P，连接AB，如图，P就是所求的水泵站的位置； 依据是垂线段最短和两点之间线段最短． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，垂线段最短、两点之间线段最短是本题的关键． 14、解：（1）作图正确，并标出l；      （2）正确标出点P位置； （3） 3     四、作图题 15、作图题     作法：（1）作M关于BC的对称点M’     （2）连结M’N交BC于P点        （3）连线MP，则△PMN周长最小   P为所求作的点． 16、【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题． 【分析】（1）根据轴对称的性质画出△A1B1C1即可； （2）连接A1C交直线DE于点Q，则点Q即为所求点． 【解答】解：（1）如图所示； （2）连接CA1，交直线DE于点Q，则点Q即为所求点． 【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 17、解：（1）如图            (2）在△AMP和△BNP中                                          ∴△AMP≌△PNB  ∴∠MAP=∠NPB   www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$