精品解析：河南省漯河市2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试题

2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 0 B. 4 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】由阶乘的定义求值即可. 【详解】由． 故选：D 2. 某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，应用不放回事件的概率求法求概率即可. 【详解】在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题，即在3道选择题2道填空题中随机抽一题，抽到填空题的概率. 故选：C 3. 小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（ ） 【附：，】 A. 0.1359 B. 0.2718 C. 0.34135 D. 0.47725 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的三段区间概率及对称性求概率即可. 【详解】由题设，，． 故选：A 4. 《哪吒之魔童闹海》在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法1：6个位置中选2个摆放哪吒模型，然后根据古典概型计算；解法2：从6个位置中选4个摆放敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人然后根据古典概型计算. 【详解】解法1：从6个位置中选2个摆放哪吒模型，有种方法， 两个哪吒相邻等价于从5个位置中选一个摆放两个哪吒模型，有种方法，所求概率为． 解法2：先从6个位置中选4个摆放敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人（剩下两个位置放哪吒模型），有种方法， 两个哪吒相邻可将两个哪吒捆绑在一起，与敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人进行全排列，有种方法，所求概率为． 故选：C． 5. 在等差数列中，，则（ ） A. 390 B. 300 C. 39 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列性质由即可求，最后由等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题意有，．． 故选：A． 6. 在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点O，连接，可得平面，建立如图所示的直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解. 【详解】取的中点O，连接， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 建立如图所示的直角坐标系， 则，，，，，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为. 又，设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 7. 随机变量的分布列如下表，若，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列的性质求得，再由方差公式求方差即可. 【详解】由，得． 所以． 故选：D 8. 已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知结合椭圆的定义确定点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，进而求面积的最大值. 【详解】如图，设以为直径的圆心为E，半径为r， 因为与相内切，则． 设，连接，则， ，又， 所以，， 所以，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆， 由，得，又，所以． 显然P为椭圆短轴端点即或时的面积最大，为． 故选：D 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为平面上的动点，定义运算：，其中．（ ） A. 若运算*为加法，则点的轨迹为椭圆 B. 若运算*为减法，则点的轨迹为双曲线 C. 若运算*为乘法，则点的轨迹为直线 D. 若运算*为除法，则点的轨迹为圆 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题目新定义的条件，结合曲线的定义分别分析即可. 【详解】对于A，若运算*为加法，则有， 因为，所以， 所以根据椭圆的定义知，的轨迹是以A，B焦点，实轴长为的椭圆， 故选项A正确； 对于B，若运算*为减法，则有， 当时，点的轨迹不存在， 故选项B错误； 对于C，若运算*为乘法，则有，， 设，则由有， ， 两边平方得：，其中， 所以方程不可能表示直线，所以点的轨迹不是直线， 故选项C错误； 对于D，若运算*为除法，则有， 设，由，即， 即， 两边平方：， 整理得：， 因为，所以， 所以， 由 ， 因为，所以， 所以， 所以点的轨迹是圆，故选项D正确， 故选：AD． 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：借助二项式的展开式的通项计算即可得；对于B：借助赋值法令，计算即可；对于C：借助二项式的展开式的通项，令计算即可；对于D：对等式两边求导，再令即可. 【详解】二项式的通项， 令，得，选项A错误； 令，得，令，得， 所以，选项B正确； 令，得， 所以，选项C正确； ，两边对x求导得： ， 再令，得，选D正确． 故选：BCD． 11. 甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式1：投篮3次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分．方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为，且各次投篮相互独立．甲选择方式1投篮，乙选择方式2投篮．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，甲得1分的概率为 B. 当时，甲至少得1分的概率为 C. 当时，乙最多得2分的概率为 D. 当时，乙得分的期望大于甲得分的期望 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于AB，由二项分布的概率公式、对立事件的概率公式验算即可；对于C，由互斥加法、独立乘法公式即可求解；对于D，计算得，然后列不等式验算即可. 【详解】当时，设甲得分为X，则，所以， ，选项A错误，选项B正确； 对于选项C，设乙的得分为Y，则Y可取0，2，4，6． 当时，，，，选项C正确； 对于选项D，，，，． Y的分布列为 Y 0 2 4 6 P ， 因为，由，得， 即当时，，选项D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算. 【详解】，． 故答案为： 13. 曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】记，，，又， 曲线在处的切线方程为，即. 故答案为： 14. 某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有______种． 【答案】2016 【解析】 【分析】应用分类计数及排列组合数求同年级的同学不相邻的站法数. 【详解】先将4名高三学生全排列， 若高一、高二学生不相邻，站法有， 若高一学生与高二学生相邻，站法有， 共有种站法． 故答案为：2016 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求抛物线C的方程； （2）求证为定值． 【答案】（1）； （2）证明：设，联立，得． AI 由，得． 设，，则． 由（1）知，，． 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）由点在抛物线上及抛物线定义求参数，即可得方程； （2）设，联立抛物线并应用韦达定理、斜率两点式化简求，即可证. 【小问1详解】 依题意，，得，所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 略. 16. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．以该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 （1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联? （2）现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 认为“AI达人”与性别无关； （2）X的分布列如下： X 0 1 2 P 期望为. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，再应用卡方公式求卡方值，应用独立检验基本思想得结论； （2）应用分层抽烟的等比例性质确定男女人数，进而有X的所有可能取值为0，1，2，求出对应概率，即可得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 列联表如下： AI达人 非AI达人 合计 男 24 6 30 女 18 12 30 合计 42 18 60 零假设：“AI达人”与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此认为成立，因此认为“AI达人”与性别无关． 【小问2详解】 在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人，其中男“AI达人”抽取人，女“AI达人”抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2． 则，，． 所以，X的分布列如下： X 0 1 2 P X的数学期望． 17. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药i天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值： ，，，，， （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】（1）； （2）①0.0072；②. 【解析】 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程； （2）设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品，①应用全概率公式求概率即可；②应用贝叶斯公式求所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率，再应用独立重复试验的概率求法求目标概率. 【小问1详解】 ，，所以， 则，故y关于t线性回归方程为， 所以y关于x的回归方程为. 【小问2详解】 设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品． ①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，所以，，则，． 所以． 故所抽药品为不合格品的概率为0.0072． ②，即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为， 所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为． 18. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数． （1）若的极小值小于，求a的取值范围； （2）当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零． 【答案】（1）； （2） 当时，， 依题意方程，即的解，就是函数的不动点． 令，， 令，则， 当时，，当时，， 所以，在上递减，在上递增， 又，，且当时，． 所以，存在唯一，，使． 当时，，即；所以，在上递减， 当时，，即，所以，在上递增． 所以，． 因为，即，也即 所以，． 又，． 根据零点存在定理，在，，内各仅有一个零点， 所以，有且仅有两个零点，即函数有两个不动点． 设m是的零点，则， 又， 所以也是的零点，故所有零点之和等于零． 即函数所有不动点之和等于零． 【解析】 【分析】（1）应用导数求函数的极小值，根据已知有，即可求参数范围； （2）问题化为求零点的和，应用导数研究其零点个数并证明结论. 【小问1详解】 由，当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增，极小值． 由，得，故a的取值范围为． 【小问2详解】 略 19. 第78届联合国大会通过决议，将春节确定为联合国假日．某大学举办中国传统节日知识竞赛，每位大学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分．已知学生甲答对每个问题的概率为，答错的概率为． （1）学生甲随机抽取3题，记总得分为X，求X的分布列与数学期望； （2）若学生甲已答过的题累计得分为n分的概率为，求与． 【答案】（1）X的分布列为 X 3 4 5 6 P 4 （2）， 【解析】 【分析】（1）列出X的可能取值并计算对应概率，列出分布列，最后计算数学期望； （2）依题意得到，，然后列出，化简可知 为常数列，然后计算判断为等比数列，计算得到，最后分组求和即可. 【小问1详解】 X的可能取值为3，4，5，6． ，， ，． X的分布列为 X 3 4 5 6 P 所以，． 【小问2详解】 ，， 当时，，即， 所以，数列为常数列． 又，所以， 则，所以，是以为首项，为公比的等比数列， ，即． 当时，上式也成立．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期高二期末质量监测 数学试题 本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 0 B. 4 C. 12 D. 24 2. 某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率（ ） A. B. C. D. 3. 小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（ ） 【附：，】 A. 0.1359 B. 0.2718 C. 0.34135 D. 0.47725 4. 《哪吒之魔童闹海》在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，，则（ ） A. 390 B. 300 C. 39 D. 10 6. 在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 随机变量的分布列如下表，若，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 8. 已知点，C，D是与x轴的交点，P为动点，以为直径的圆与相内切，则面积的最大值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，为平面上的动点，定义运算：，其中．（ ） A. 若运算*为加法，则点的轨迹为椭圆 B. 若运算*为减法，则点的轨迹为双曲线 C. 若运算*为乘法，则点的轨迹为直线 D. 若运算*为除法，则点的轨迹为圆 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式1：投篮3次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分．方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为，且各次投篮相互独立．甲选择方式1投篮，乙选择方式2投篮．则下列说法正确的是（ ） A. 当时，甲得1分的概率为 B. 当时，甲至少得1分的概率为 C. 当时，乙最多得2分的概率为 D. 当时，乙得分的期望大于甲得分的期望 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量，若，则______． 13. 曲线在处的切线方程为______． 14. 某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖．8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知F为抛物线的焦点，为C上的一点，且，斜率为的直线l与C交于A，B两点，设直线，的斜率分别为，． （1）求抛物线C的方程； （2）求证为定值． 16. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．以该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据： AI达人 非AI达人 合计 男 6 30 女 18 合计 （1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联? （2）现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为X，求X的分布列与数学期望． 附：，． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药i天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中y与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值： ，，，，， （1）求关于的经验回归方程； （2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立． ①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率； ②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率． 参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 18. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数． （1）若的极小值小于，求a的取值范围； （2）当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零． 19. 第78届联合国大会通过决议，将春节确定为联合国假日．某大学举办中国传统节日知识竞赛，每位大学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分．已知学生甲答对每个问题的概率为，答错的概率为． （1）学生甲随机抽取3题，记总得分为X，求X的分布列与数学期望； （2）若学生甲已答过的题累计得分为n分的概率为，求与． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $