精品解析：甘肃省张掖市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的正切公式即可求解. 【详解】． 故选：C． 2. 从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，26，25，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 26，25 B. 26，24 C. 23，24 D. 23，23 【答案】C 【解析】 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数. 【详解】原数据组由小到大排列为：23，23，23，24，25，25，26， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24． 故选：C． 3. 复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】，其在复平面内对应的点为， 则复数在复平面内对应的点为，所以. 故选：D. 4. 甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥事件的概率公式即可求解； 【详解】由题意可知：甲先走的概率为，则乙先走的概率为， 甲获胜有两种情形：甲先走且获胜；乙先走且甲获胜， 则甲获胜的概率， 故选：B. 5. 已知是不重合的三个平面，是直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若与不垂直，，则 B. 若，，点，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面、面面位置关系的相关判定定理与性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，则，与题目条件“与不垂直”矛盾，故， A正确； 对于B，若，则不一定成立，从而不一定成立，B错误； 对于C，因，，即平面与成直角，故平面与也成直角，即，C正确； 对于D，如图，因，，设，过平面内一点在平面内作， 由可知，则，因，故，即D正确. 故选：B. 6. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可. 【详解】由，，可得， ，且， 则，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故选：D. 7. 已知中，角的对边分别为a，b，c，，的外接圆圆心为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，利用向量数量积的定义和平面几何知识依次得到，，，利用和正弦定理即可比较大小. 【详解】如图，设的外接圆半径为1，则， 同理，. 又由和正弦定理，可知. 故得，即. 故选：A. 8. 如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，,是上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形，沿将翻折至与在同一个平面内，则的长度即的最小值，求出相关边长和角，利用余弦定理求出的长即可. 【详解】 连接，沿将翻折至与在同一个平面内，如图，连接， 则的长度即的最小值. 由题设可知，又，面， 平面，因平面，故. 在平面图形中，因，，则，，， 由余弦定理，可得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于的方程的另一个根 【答案】AD 【解析】 【分析】根据实系数的一元二次方程的根的特征，及共轭复数、纯虚数的概念，利用复数的四则运算和模长公式即可逐一判断各选项. 【详解】对A，，，故A正确； 对C，，故C错误； 对D，又为关于的方程的一个根，故也是方程的根，即D正确； 对B，，，故B错误. 故选：AD. 10. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例判断A、B，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解即可判断D. 【详解】对于A和B，假设从一个装有标号为1，2，3，4，5的5个小球的密封盒子中任取1球， 记事件：从中取出球的标号为1或2，事件：从中取出球的标号为1或2或3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，只有事件A、B相互独立时,才有成立， 由题设不知道事件A、B的关系，故不能确定的值，故C错误； 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，故D正确. 故选：D. 11. 已知圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，过直线的平面截圆台得截面为梯形，其中在线段上，在线段上，，E为弧上的动点（不与点A，B重合），则下列说法中正确的有（ ） A. 当为弧的中点时，异面直线和所成的角的大小为 B. 几何体的体积最大值为 C. 圆台外接球的表面积为 D. 直线与下底面所成的角的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用平移得到异面直线所成的角，解三角形即得；对于B，结合A项结论，当为弧的中点时，平面，，得到体积最大值；对于C，借助于圆台的轴截面，利用勾股定理解方程即可求得外接球半径从而得解；对于D，证明平面，即得直线与下底面所成的角即为，利用正切值结合点的位置即可判断. 【详解】如图，作于，于，连接，，EN， 当为弧的中点时，可得，， 所以四边形是平行四边形，且， 则异面直线和所成的角为与所成的角，即为， 因为弧的中点，则，又底面， 而底面，则，，平面， 平面，则，又， 则为等腰直角三角形，则，故A正确； 几何体的体积即为四棱锥的体积， 显然当为弧的中点时，四棱锥的体积最大， 最大值为，B正确； 如图，设圆台的外接球的球心在线段上，，则， 由勾股定理得，解得， 即与重合，圆台外接球的半径为1，所以圆台外接球的表面积为，故错误． 因为，，所以平面， 所以直线与下底面所成的角即为， 在，，要使最小，则需最大， E为弧上的动点（不与点A，B重合）时，故没有最大值，所以没有最小值，故D错误． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数为纯虚数，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义列式计算即可. 【详解】由题可得． 故答案为：． 13. 在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，交于点，由向量加法的法则结合条件可求得，将已知向量等式取平方，利用向量数量积的运算律计算即可. 【详解】如图，过点作交于点，交于点， 则，所以，即，. 又因平分，且，则，解得， 则，因此，又， 则 .解得. 故答案为：. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】两次应用线面平行判定定理得出平面，进而得出点的轨迹为线段，计算即可求解. 【详解】如图，分别取，的中点，连接，GH，，，HP， 因为为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故， 因为平面，平面，故平面， 又因为，，则四边形是平行四边形，故， 因为，故，又平面，平面，可得平面， 且，平面，故平面平面． 又因为平面，故平面，故点的轨迹为线段，其长为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 将一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，分别观察底面上的点数，第一次、第二次出现的点数用数对表示． （1）写出这个试验的样本空间； （2）向量，，记事件，求事件发生的概率． 【答案】（1） ， . （2） 【解析】 【分析】（1）根据试验的结果可得答案； （2）列出满足的样本点，由古典概型概率计算公式可得答案. 【小问1详解】 因为每次骰子落地时，底面上的点数有1，2，3，4共4个可能的基本结果， 所以试验的样本空间为， . 【小问2详解】 为向量，，，所以， 则事件包含的样本点有，，，，，，共6个， 由（1）知试验的样本空间包含16个样本点， 所以事件发生的概率为． 16. 已知，为锐角，，． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 因为， 所以，又， 所以， 所以，即， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由，，得，从而由即可得证； （2）先求得，再根据平方关系、角的范围即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以， 因为为锐角，所以，，所以， 所以，所以. 17. 在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． （1）求角； （2）若，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和正弦定义边角互化，求出三角形三边之间的关系，再根据余弦定理解三角形即可. （2）由三角形形状和角的大小，求出另外两个角的范围，根据正弦定理，用正弦值表示三角形各边长，再根据角的范围，求出三角函数值的范围，根据函数性质判断三角形周长的范围. 【小问1详解】 在中，， 所以， 即． 由正弦定理可得，即． 由余弦定理，得， 因为为锐角三角形的内角，所以． 【小问2详解】 由（1）知，．因为是锐角三角形， 所以，，解得． 由正弦定理，得， 所以，， 所以的周长． 因为，且， 所以． 因为，，所以， 所以， 即的周长的取值范围是. 18. 某MOBA游戏统计了100名玩家的团战支援评分（百分制，分数越高支援效率越高），并按分数作出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及样本评分的第75百分位数； （2）以每组数据区间中点作代表，估计该游戏玩家团战支援评分的平均分； （3）在频率分布直方图中，若玩家的团战支援评分在的平均值为52，方差为6，在的平均值为64，方差为3，求两组样本评分合并后的平均数和方差． 【答案】（1），第75百分位数为84 （2）74 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解； （2）由频率分布直方图平均数的计算公式求解即可； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，，解得． 由题意知，团战支援评分在的频率为， 团战支援评分在的频率为， 故第75百分位数在，则， 解得，故第75百分位数为84． 【小问2详解】 因为， 所以估计该游戏玩家团战支援评分的平均分为74． 【小问3详解】 样本数据在区间上的个数为， 在区间上的个数为， 所以平均数， 方差． 19. 如图，已知三棱台的体积为，，，点为的中点，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接，因， 在中，则M，N分别为，的中点，故. 由棱台的性质知，又，所以， 故四边形为平行四边形，则，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用条件证明，由线线平行即可证明线面平行； （2）设三棱台的高为，利用三棱台的体积求得，由从而推得平面，进而得到即为与平面所成的角，利用余弦定理求出，借助于即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设三棱台的高为. 由题意，， 则三棱台的体积， 解得，故平面. 连接，则即为与平面所成的角. 在中，，，， 由余弦定理，得， 所以. 在中，， 所以与平面所成角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一年级期末考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. 4 B. C. D. 2. 从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23，24，23，26，25，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 26，25 B. 26，24 C. 23，24 D. 23，23 3. 复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是不重合的三个平面，是直线，则下列说法错误的是（ ） A. 若与不垂直，，则 B. 若，，点，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知中，角的对边分别为a，b，c，，的外接圆圆心为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，,是上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 为关于的方程的另一个根 10. 已知随机事件，表示事件的对立事件，，则下面结论正确的是（ ） A. 事件与一定是对立事件 B. C. D. 若事件A，B互相独立，则 11. 已知圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，过直线的平面截圆台得截面为梯形，其中在线段上，在线段上，，E为弧上的动点（不与点A，B重合），则下列说法中正确的有（ ） A. 当为弧的中点时，异面直线和所成的角的大小为 B. 几何体的体积最大值为 C. 圆台外接球的表面积为 D. 直线与下底面所成的角的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数为纯虚数，则实数的值为_____． 13. 在中，为直角，的平分线交于，且有.若，则_____. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 将一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为1，2，3，4）先后抛掷两次，分别观察底面上的点数，第一次、第二次出现的点数用数对表示． （1）写出这个试验的样本空间； （2）向量，，记事件，求事件发生的概率． 16. 已知，为锐角，，． （1）求证：； （2）求的值． 17. 在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． （1）求角； （2）若，求周长的取值范围． 18. 某MOBA游戏统计了100名玩家的团战支援评分（百分制，分数越高支援效率越高），并按分数作出如图所示的频率分布直方图． （1）求的值及样本评分的第75百分位数； （2）以每组数据区间中点作代表，估计该游戏玩家团战支援评分的平均分； （3）在频率分布直方图中，若玩家的团战支援评分在的平均值为52，方差为6，在的平均值为64，方差为3，求两组样本评分合并后的平均数和方差． 19. 如图，已知三棱台的体积为，，，点为的中点，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $