精品解析：河北省衡水市武强中学2024-2025学年高三下学期综评考试数学试题

河北省衡水市武强中学2024-2025学年高三下学期综评考试数学试题 出题人：吉岩岩 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念、复数的乘法及加法运算、求复数的模、直接计算即可． 【详解】， 故选：C． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出两个集合，再求交集即可 【详解】解：由，得，所以， 由，得，所以， 所以， 故选：B 3. 函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由求得，再由即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 则. 故选：C 4. 下列结论中，错误的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 已知命题“，”，则该命题的否定为“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定选项A正确，利用全称命题的否定形式判定选项B、D正确；从集合的角度判定选项C错误. 【详解】对于A：将代入成立，所以“”是“”的充分条件， 因为的解为或，所以“”不是“”的必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件，正确； 对于B：已知命题“，”，则该命题的否定为“，”，正确； 对于C：因为的解集为或，所以“”是“”的必要不充分条件，错误； 对于D：命题“，”的否定是“，”，正确. 故选：C. 5. 已知，则方程所有的根之和为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】求方程的所有根，然后相加即可. 【详解】若，由，所以； 若，由. 因为，所以方程的所有根的和为1. 故选：A 6. 下列说法正确的是（ ） A. 某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33岁 B. 已知随机变量，若，则 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 D. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率平均数求解可判断A；根据正态分布性质即可判断B；根据相关系数概念可判断C；根据二项分布期望公式及期望运算性质计算可判断D. 【详解】对A，单位男职工概率为，女职工概率为， 其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁， 则该单位全体职工的平均年龄是岁，故A错误； 对B，随机变量，若，则， 则，故B错误； 对C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数绝对值越接近于1，故C错误； 对D，某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量， 则服从二项分布，即，所以， 所以，故D正确. 故选：D 7. 已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性求出函数的最小值，利用恒成立问题列出不等式求解. 【详解】因为，使得，所以 因为函数在上单调递减，所以， 因为函数在上单调递增，所以， ，解得，即实数的取值范围是. 故选：A. 8. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图像，根据图像得出满足的条件和范围，从而得出答案. 【详解】作出的图像如下图所示， ，不妨设， ，时，， 则由图像可知，，， 所以， 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. 函数在上单调递增 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复合函数思想，结合二次函数和指数函数的性质来判断各选项. 【详解】令，则． 对于选项A，的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为，的值域为，所以函数的值域为,故B正确； 对于选项C，因为在上单调递增， 且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C不正确； 对于选项D，由于函数在上单调递减，则，故 D正确． 故选:ABD． 10. 已知函数是上的减函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合反比例函数与一次函数的单调性得到关于的不等式，从而得解. 【详解】由题意可知：在上单调递减，即； 在上也单调递减，即； 又是上的减函数，则， 所以，解得， 显然，，，满足，不满足，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 11. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】对于，由，即， 当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确； 对于，因为， 当且仅当时，取到最小值，所以B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确； 对于，当且仅当，且， 即时，取等号，所以正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设，，则___________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，求得，，得，得解. 【详解】由题意可得，，， ， . 故答案为：1. 13. 已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______. 【答案】24 【解析】 【分析】结合幂函数的知识求得的解析式，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，在上递减，符合题意. 当时，在上递增，不符合题意.所以的值为1，则， 依题意为正数，， 当且仅当时，等号成立.所以的最小值为24. 故答案为：24. 14. 已知，随机变量的分布列为 的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列性质求得，利用“”的代换可求得最小值． 【详解】由题意得，，则， ∵， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再求； （2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，. 因为或， 所以或； （2）因为或，所以. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以A. 当时，符合题意，此时有，解得：a<0. 当时，要使A，只需，解得： 综上：a<1. 即实数的取值范围. 16. 已知幂函数为奇函数. （1）求函数的解析式； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【小问1详解】 由题意，幂函数， 可得， 即，解得或， 当时，函数为奇函数， 当时，为非奇非偶函数， 因为为奇函数，所以. 【小问2详解】 由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以， 解得， 所以a的取值范围为. 17. 已知函数，若是定义域为的奇函数． （1）求出函数的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义取特值求的值，并代入检验即可； （2）分析可知在上单调递增，结合单调性和奇偶性解不等式即可. 【小问1详解】 因为是定义域为的奇函数，则，解得， 若，则， 且，即，解得， 若，，则， 可得， 即，符合题意 综上所述：. 【小问2详解】 因为， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 若，则， 可得，即，解得， 所以原不等式的解集为. 18. 设函数的定义域为 （1）求集合； （2）已知函数，不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）若对，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数及根式有意义计算求出定义域； （2）（i）由不等式与方程的关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案； （ii）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案. 【小问1详解】 要使得函数有意义，只需要 解得，所以集合； 【小问2详解】 （i）因为的解集为， 所以的两根为和3， 所以解得. （ii）由（1）得， ，，即， 因为当时，单调递增， 所以，即，解得. 19. 已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3． （1）求f（x）的解析式； （2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围； （3）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式； （2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质，得到，即可求解； （3）把区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数对称轴为， 又由最小值为1，可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）函数的对称轴为， 要使在区间上不单调，则满足，解得， 即实数的取值范围是. （3）由在区间上，的图象恒在的图象上方， 可得在区间上恒成立， 化简得在区间上恒成立， 设函数， 则在区间上单调递减 ∴在区间上的最小值为， ∴. 【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解，以及二次函数的图象与性质综合应用，其中解答中熟练应用二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省衡水市武强中学2024-2025学年高三下学期综评考试数学试题 出题人：吉岩岩 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知复数（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 4 D. 6 4. 下列结论中，错误的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 已知命题“，”，则该命题的否定为“，” C. “”是“”的充分不必要条件 D. 命题“，”的否定是“，” 5. 已知，则方程所有的根之和为（ ） A. 1 B. 2 C. 5 D. 7 6. 下列说法正确的是（ ） A. 某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为36岁，女职工平均年龄为30岁，则该单位全体职工的平均年龄是33岁 B. 已知随机变量，若，则 C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 D. 某人每次投篮的命中率为，现投篮5次，设投中次数为随机变量Y，则 7. 已知函数，，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为R B. 函数的值域为 C. 函数在上单调递增 D. 10. 已知函数是上的减函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，若，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设，，则___________ 13. 已知幂函数在上单调递减，若正数满足，求的最小值______. 14. 已知，随机变量的分布列为 的最小值为______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数为奇函数. （1）求函数的解析式； （2）若，求a的取值范围. 17. 已知函数，若是定义域为的奇函数． （1）求出函数的解析式； （2）求不等式的解集． 18. 设函数的定义域为 （1）求集合； （2）已知函数，不等式的解集为 （i）求实数a，b的值； （ii）若对，恒成立，求实数k的取值范围. 19. 已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3． （1）求f（x）的解析式； （2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围； （3）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $