精品解析：河北省保定中学1+3贯通实验班2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

保定中学24级贯通2024-2025学年第二学期期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 5. 历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，则的估算值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 设定义域为的函数，若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.） 12. 设计一段宽30m的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个圆上的一段弧，弯道中心线到圆心的距离为（如图），中心线到弯道内沿和外沿的距离相等，公路外沿弧长为，则这段公路的占地面积为_____.（单位：） 13. 已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是______． 14. 设现把满足积为整数的叫做“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是________； 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设函数的定义域为集合的定义域为集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知函数在上有定义，且满足. （1）求函数的解析式； （2）若，对均有成立，求实数m的取值范围. 17. 为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 19. 我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）若函数的图象关于点对称，证明：； （3）已知函数，其中，若正数，满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保定中学24级贯通2024-2025学年第二学期期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题可先求解集合，再根据交集的定义求. 【详解】已知， 因为， 所以. 解得， 即. 已知， . 故选：C 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数幂运算可得，又由对数函数单调性可得，得解. 【详解】因为，所以. 又，所以. 故选：B. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的定义域，结合幂函数和指数函数的增长速度的不同可得时，，证明时，，由此判断正确选项. 【详解】函数的定义域为， 当时，，，所以， 当时，，， 随的增大，的增长速度会越来越快，会超过并远远大于大于的增长速度， 故当时，. 由于ABD不满足以上条件，故函数的图象大致为C. 故选：C. 4. 若函数的图象经过定点P，且点P在角的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数型函数求出定点坐标，再利用三角函数的定义即可求得结果. 【详解】因为函数的图象经过定点，所以函数的图象经过定点， 因为点在角的终边上所以． 故选：A． 5. 历史上数学计算方面的三大发明分别是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明大大缩短了计算时间，为人类进行科学研究和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，则的估算值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以． 6. 已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得函数在上单调递增，再结合分段函数及对数函数的单调性列式求解. 【详解】由对任意的，恒成立，得函数在上单调递增， 则，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C 7. 已知是定义在R上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由结合是奇函数，可得是周期为2的周期函数，然后利用函数的周期性可求得结果. 【详解】由是奇函数及，得， 所以，从而是周期为2的周期函数， 所以. 故选：C. 8. 已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，是方程的两个不等实数根，利用根与系数的关系把化为含有的代数式，令，进一步转化为关于的二次函数，再由配方法求最值. 【详解】由题意，当， 有， ， 是方程的两个不等实数根， ，， 而， ，即， ， 令，则， 则当时，有最小值且为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 不等式对一切实数恒成立，则 D. “”是“”的一个必要不充分条件 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A选项，通过给代入特殊值即可判断；对于B选项，利用不等式的可乘性，可加性证明即可判断；对于C选项，要对二次项系数要分两种情况讨论，即可判断，对于D选项，先解出不等式，再按照必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】对于A选项，当时，， 故A错误，是假命题； 对于B选项，若且，则 ， 所以，即， 不等式的两边同时除以，可得， 故B正确，是真命题； 对于C选项，不等式对一切实数恒成立， ①当时，原不等式可化为，恒成立， ②当时，须满足，解得， 综上①②可知，故C错误，是假命题； 对于D选项，解不等式可得， 由，但是由不一定能推出， 所以是的一个必要不充分条件， 即“”是“”的一个必要不充分条件， 故D正确，是真命题； 故选：AC 10. 下列命题正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；B选项，求出定义域，利用复合函数同增异减得到函数单调区间；C选项，换元法求函数值域；D选项，利用抽象函数求定义域的方法得到不等式，求出定义域. 【详解】对于A，由全称量词命题的否定知；原命题的否定为，A正确； 对于B，中， 解得，定义域为，又的增区间为， 由复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为， 故选项B正确； 对于C，令，则且， ，则当时，， 的值域为，C错误； 对于D，令，解得：， 的定义域为，D正确． 故选：ABD． 11. 设定义域为的函数，若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解，且，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出的图像，由图像结合条件可得，然后可得，即可选出答案. 【详解】的图像如下： 若关于x的方程有且仅有三个不同的实数解，则 所以，由可解得： 所以， 故选：ABD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是准确的画出的图像，结合图像得到. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.） 12. 设计一段宽30m的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个圆上的一段弧，弯道中心线到圆心的距离为（如图），中心线到弯道内沿和外沿的距离相等，公路外沿弧长为，则这段公路的占地面积为_____.（单位：） 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算得解. 【详解】依题意，公路外沿弧所在圆半径为60m，内沿弧所在圆半径为30m，圆心角， 所以段公路的占地面积为（）. 故答案为： 13. 已知不等式的解集为或，若，并且恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得，利用基本不等式可得的最小值为3，故，从而可得的取值范围. 【详解】因为不等式的解集为或，则， 且关于x的方程的两根分别为1、3， 由韦达定理可得，可得，由，可得， ，故， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最小值为3， 因为恒成立，则，即，解得． 因此，实数k的取值范围是． 故答案为： 14. 设现把满足积为整数的叫做“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是________； 【答案】4 【解析】 【分析】首先求的值，根据对数的运算，在定义域内求“贺数”的个数. 【详解】 则在区间内当时，是“贺数”，所以“贺数”的个数是4个. 故答案为：4 【点睛】本题考查新定义，重点考查对数的基本计算，属于基础题型. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 设函数的定义域为集合的定义域为集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据真数大于0列不等式求得集合A，根据被开方数不小于0列不等式求得集合B，最后根据集合的交并补混合运算求出答案; (2)由题意可得集合B是集合A的子集，从而列不等式可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由，解得或， 所以， 所以． 当时，由，得，即， 解得，所以． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，． 由，得，即， 解得，所以． 因为“”是“”的必要条件，所以． 所以，解得． 所以实数的取值范围是． 16. 已知函数在上有定义，且满足. （1）求函数的解析式； （2）若，对均有成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)换元法和配凑法可求函数解析式. (2)依题意，，设，则在区间内恒成立，用一次函数性质求解. 【小问1详解】 ， ∴， 又∵， ∴. 【小问2详解】 ，对均有成立， 在上单调递增，， 依题意有对均有成立， 即在时恒成立， ∴，解得，∴实数m的取值范围是. 17. 为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）4米，28800元 （2） 【解析】 【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元. 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立. 即，从而恒成立， 令， 又在为单调增函数，故.所以. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 19. 我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）求函数图象的对称中心； （2）若函数的图象关于点对称，证明：； （3）已知函数，其中，若正数，满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）. （2） 证明：令，因为为奇函数， 所以，即， 所以， 令，则，即. （3） 【解析】 【分析】（1）令，由为奇函数，得到，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）令，由为奇函数，得到，令，即可得证； （3）由函数，得到，得到的对称中心为，求得 ，两式相加得到，得出，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 令，因为为奇函数， 所以，即， 所以， 化简得，则， 解得，，即图象的对称中心为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以， 所以，可得的对称中心为. 因为， ， 两式相加得：，即， 由题意知恒成立. 方法一：由 ， 当且仅当时取等号. 方法二：由， 令， 则， 当且仅当时取等号. 所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是新定义函数的图象关于点对称，的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $