精品解析：浙江省杭州市上城区杭州师范大学东城实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市上城区东城实验学校九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 函数的二次项系数是（　） A. 4 B. C. 3 D. 1 2. 的半径为5cm，若点P到圆心的距离为3cm，点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 3. 下列事件中，属于必然事件的是（　） A. 竹篮打水 B. 水涨船高 C. 百步穿杨 D. 守株待兔 4. 如图，在中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明袋子中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外无其他差别．摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率为（　） A. B. C. D. 6. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时y随x增大而减小 D. 图象经过点 7. 抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（　） A. B. C. D. 8. 杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A. B. C. D. 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（m为常数）；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ______． 12. 二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是_____． 13. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 14. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 15. 如图，是小关设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，若他计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当骨架的长为______cm时，四边形的面积最大，此时的最大面积是_____． 16. 如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为_____． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．请务必写出解答过程） 17. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸、莲莲图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用列表或画树状图的方法，求两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 19. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求b和c的值． （2）当时，求y的取值范围． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 21. 我们约定：若一个函数的图象上存在点，满足，则称该函数为“智慧函数”，这个点为“智慧点”，例如：的图象上存在点，则是“智慧函数”，点是“智慧点”． （1）以下三个函数：①，②，③，属于“智慧函数”的是 （填序号）． （2）一个“智慧函数”（b，c均为常数），顶点恰好是“智慧点”，图象与x轴的两个交点之间的距离是2，求该“智慧函数”的表达式． 22. 已知的直径，弦与弦相交于点，且，垂足为． （1）如图，若，求弦的长． （2）如图，若为弦的中点， ①求证：． ②求的值． 23. 滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为． （1）问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ （2）求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． （3）进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 24. 已知四边形ABCD是的内接四边形，AC是的直径，，垂足为． （1）延长DE交于点，延长DC，FB交于点，如图．求证：是等腰三角形； （2）过点B作，垂足为G，BG交DE于点，连接OH，且点和点A都在DE的左侧，如图．若，， ①求的半径； ②求的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省杭州市上城区东城实验学校九年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 函数的二次项系数是（　） A. 4 B. C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为（其中a、b、c是常数，且），其中为二次项的系数，据此可得答案． 【详解】解：函数的二次项系数是4， 故选：A． 2. 的半径为5cm，若点P到圆心的距离为3cm，点P在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据点与圆的位置关系进行判断． 【详解】解：∵点P到圆心的距离为3cm， 而的半径为5cm， ∴点P到圆心的距离小于圆的半径， ∴点P在圆内． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（　） A. 竹篮打水 B. 水涨船高 C. 百步穿杨 D. 守株待兔 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查事件的分类，必然事件指在一定条件下必然会发生的事件，根据各选项描述的现象，结合物理常识和逻辑判断，逐一分析是否为必然事件． 【详解】解：选项A：“竹篮打水”因竹篮有缝隙无法存水，属于不可能事件； 选项B：“水涨船高”中，船浮于水面，水位上升时船体必然随之上浮，符合浮力原理，是必然事件； 选项C：“百步穿杨”依赖射箭者的技巧和偶然性，属于随机事件； 选项D：“守株待兔”是极小概率事件，属于不可能事件或随机事件； 综上，只有B是必然事件， 故选：B． 4. 如图，在中，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．直接由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5. 一个不透明袋子中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外无其他差别．摇匀后随机从中摸出一个球是红球的概率为（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：袋中共有4个白球和2个红球，总球数为个，红球有2个， ∴随机摸出一个球是红球的概率为， 故选：B． 6. 关于二次函数的图象，下列叙述正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴为直线 C. 当时y随x增大而减小 D. 图象经过点 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A． ∵，∴图象开口向上，故错误； B、图象的对称轴为直线，故错误； C、∵对称轴为直线，图象开口向上，∴时y随x增大而增大，故错误； D、当时，，∴图象经过点，故正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性． 7. 抛物线的函数表达式为，若将抛物线先向上平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，则平移后该抛物线的函数表达式为（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故选D． 8. 杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是关键，根据题意设圆的半径为，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 设此圆的半径为，则， ∵是弦的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 即的半径长为． 故选：A． 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（m为常数）；④．其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③． 【详解】解：抛物线的开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线交轴正半轴， ， ，故①正确， 抛物线的对称轴为直线， ， 图象过点， ， ， ， ，故②错误， 当时，函数由最大值， ， （为常数），故③正确， ， ，故④正确， 故选：C． 10. 折叠一张圆形纸片，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点D，再将沿翻折交于点E．若，则的度数为（　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，圆周角定理等知识，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、，进而垂直平分垂直平分，结合圆周角定理推出，即可求出的度数． 【详解】解：作点D关于直线的对称点L，点E关于直线的对称点F，连接、， ∵垂直平分垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴的度数为， 故选：B． 二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向上；（2）函数图象经过点．该二次函数的表达式为 ______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查过定点，且开口方向确定的二次函数的表达式的确定的知识，理解二次函数图像性质是本题解题关键． 根据二次函数的性质，进行作答，即可求解； 【详解】解：设， 将代入， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，由落入黑色部分的频率稳定在0.6，可根据几何概率求黑色部分的面积；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：15． 13. 已知二次函数，若点在该函数的图象上，则m的值为_____． 【答案】0或2 【解析】 【分析】根据图象过点，点坐标满足解析式的思想，列式解方程即可． 本题考查了图象与点的关系，解方程，熟练掌握关系，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：二次函数，点在该函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：0或2． 14. 已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握相关知识是解题的关键．需分两弦在圆心同侧和异侧两种情况计算距离，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可． 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ，, ，， ； 如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ， ，， ； 综上所述，两弦之间的距离为或， 故答案为：或． 15. 如图，是小关设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，若他计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当骨架的长为______cm时，四边形的面积最大，此时的最大面积是_____． 【答案】 ①. 40 ②. 1200 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，读懂题意解不等式确定的长，再根据二次函数的性质计算出最大面积即可． 【详解】解：设，根据题意得， ， 解得：， 四边形的面积 ， ， ， 根据二次函数的图象的性质可知，二次函数图象 开口向下，抛物线的对称轴 ∴时，S值最大， ∴． 故答案为：40，1200． 16. 如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识．求出点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，以为直径作，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共有8小题，共72分．请务必写出解答过程） 17. 现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸、莲莲图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用列表或画树状图的方法，求两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将这三张卡片分别记为A，B，C， 列表如下： 第一次 第二次 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的结果共5种， ∴两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）作出线段绕点C逆时针旋转后的对应线段，并写出点Q的坐标． （2）作出绕点O旋转的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2） 如图，即为所求． ，， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，正确画出对应的旋转图形是解题的关键． （1）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再连接，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可； （2）先根据旋转的性质确定对应点的位置，再顺次连接对应点，即可得到旋转图形，再根据所画图形求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：由图可得，点Q的坐标为； 【小问2详解】 解：由图可得，，，． 19. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求b和c的值． （2）当时，求y的取值范围． 【答案】（1）；2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）把利用待定系数法，求出b、c的值即可求解； （2）根据二次函数的性质，可得该函数图象的对称轴为直线，开口向上，再求出当时和当时y的值，即可得出y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过两点， ∴， 解得， 即b的值为，c的值为2； 【小问2详解】 解：由（1）得：二次函数的解析式为 ， ∴该函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵，且， ∴当时，该函数取得最大值9； 当时，该函数取得最小值， ∴当时，y的取值范围是． 20. 如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E． （1）若，求的度数． （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数； （2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵以为直径的分别交，于点D，E， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21. 我们约定：若一个函数的图象上存在点，满足，则称该函数为“智慧函数”，这个点为“智慧点”，例如：的图象上存在点，则是“智慧函数”，点是“智慧点”． （1）以下三个函数：①，②，③，属于“智慧函数”的是 （填序号）． （2）一个“智慧函数”（b，c均为常数），顶点恰好是“智慧点”，图象与x轴的两个交点之间的距离是2，求该“智慧函数”的表达式． 【答案】（1）② （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，二次函数的图象和性质，一元二次方程的根与系数关系． （1）根据题意列出方程组，解方程组即可根据新定义进行解答即可； （2）求出顶点为．由顶点恰好是“智慧点”得到．设图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，令．则．由图象与x轴的两个交点之间的距离是2得到．解得．．即可得答案． 【小问1详解】 解：由题意，根据“智慧点”的定义，将分别与①②③的关系式建立方程组、、， ∴三个方程组的解分别为无解；、；无解． ∴属于“智慧函数”的是②． 故答案为：②． 【小问2详解】 “智慧函数”为， ∴对称轴是直线． ∴顶点为． ∵顶点恰好是“智慧点”， ∴． 设图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2， ∴令． ∴． 又∵图象与x轴的两个交点之间的距离是2， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴该“智慧函数”的表达式为． 22. 已知的直径，弦与弦相交于点，且，垂足为． （1）如图，若，求弦的长． （2）如图，若为弦的中点， ①求证：． ②求的值． 【答案】（1） （2） ①证明：如图，连接， ∵为直径，， ∴，， ∵点为弦的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴是的中位线， ∴，即， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）由得，根据知，从而得，即可知，利用可得答案； （2）①连接，证明得、根据三角形中位线定理可得出结论； ②求出，由勾股定理求出，继而求出的长，则可得出答案． 【小问1详解】 解：∵在中，是弦，， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即弦的长为； 【小问2详解】 ①略 ②解：设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，弦、弧、圆心角的关系，锐角三角函数的定义，直径所对圆周角是直角，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，及勾股定理等知识点．掌握圆的相关知识及锐角三角函数的定义是解题的关键． 23. 滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为． （1）问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ （2）求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． （3）进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 【答案】（1）50米 （2） （3）；31.25米 【解析】 【分析】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． （1）过作于，于，根据题意得出，即可求解； （2）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论； （3）作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为． 【小问1详解】 解：过作于，于，如图所示： ， 着陆坡的坡角为，即， ， 在中，， 则， ∴垂直下降了50米； 【小问2详解】 ， ，即，， 将，代入得， 解得， ∴； 【小问3详解】 作轴交抛物线于，交于，如图所示： 设直线的表达式为，将，代入得，解得， 即直线的表达式为， 由（1）知抛物线表达式为， ， 运动员离着陆坡的竖直距离， 由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为． 24. 已知四边形ABCD是的内接四边形，AC是的直径，，垂足为． （1）延长DE交于点，延长DC，FB交于点，如图．求证：是等腰三角形； （2）过点B作，垂足为G，BG交DE于点，连接OH，且点和点A都在DE的左侧，如图．若，， ①求的半径； ②求的大小． 【答案】（1） 证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）①1，② 【解析】 【分析】（1）通过证明，再根据圆内接四边形对角互补以及邻补角互补即可得出结论； （2）①先根据直径所对的圆周角为，以及，得出，，从而证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论；②连接，根据等腰三角形的性质得出的度数，再根据三角形的外角定理求出的度数，最后根据同弧所对圆周角以及平行线的性质得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵AC是的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为1． ②连接，令、相交于点M； ∵的半径为1． ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $