精品解析：湖南省益阳市梓山湖学校2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

梓山湖九年级数学上学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一次项系数是( ) A. 2 B. C. D. －3 3. 下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，在中，，，若，则等于（ ） A. 5 B. 4 C. D. 2 6. 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 7 D. 11 7. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 9. 如图，某学校计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分学生种植实习地，若使每块种植地的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则________． 12. 已知x2+6x=﹣1可以配成（x+p）2=q的形式，则q=_____． 13. 已知，求______． 14. 如图，，、交于点，，且的周长是，则的周长是_______． 15. 如图，点M是反比例函数的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若，则此反比例函数解析式为____． 16. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 17. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 18. 如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD=∠B，那么CD的长是________ ．   三、解答题（本题共6小题，共66分其中第19，20题各6分，第21，22题各8分，23，24题各9分，25，26题各10分） 19. 解方程∶ （1）； （2）． 20. 已知，且，求的值． 21. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）判断点，是否在这个函数图像上； 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 23. 如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，求的长． 24. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 25. 如图，在中，，P，Q两点分别从点A，点B同时出发，其中点P从点A开始沿边向的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动（当其中一点到达终点时，两点同时停止运动）．设两点运动时间为t．当t为何值时，的面积等于？的面积能达到吗？试说明理由． 26. 如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． （1）分别求出直线和双曲线的表达式； （2）连接，，，，若，求点的坐标； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梓山湖九年级数学上学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列函数中，是的反比例函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义形如，为常数，的函数称为反比例函数逐一判断即可得答案． 【详解】解：A.中，是的反比例函数，故该选项符合题意； B.中，是的反比例函数，故该选项不符合题意； C.是一次函数，故该选项不符合题意； D.中，是的反比例函数，故该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数，难点是正确的利用定义判断自变量． 2. 一元二次方程的一次项系数是( ) A. 2 B. C. D. －3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式及其概念，熟练掌握和运用一元二次方程的一般形式及其概念是解决本题的关键． 3. 下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段，四条线段成比例，根据中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．据此进行判断即可． 【详解】解：A、由于，所以不成比例，故不符合题意； B、由于，所以不成比例，故不符合题意； C、由于，所以不成比例，故不符合题意； D、由于，所以成比例，故符合题意； 故选：D． 4. 已知点在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出的值，然后比较大小即可． 【详解】∵点在函数的图象上 ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 5. 如图，在中，，，若，则等于（ ） A. 5 B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，得出，通过证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：B． 6. 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 7 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得： A．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似． C．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与相似． D．三边之比为图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故选：C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 8. 关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和数形结合的思想解答． 根据题意和函数图象的特点，利用分类讨论的数学思想解答本题． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限； 当时，函数的图象在第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 结合选项可得出C选项正确． 故选C． 9. 如图，某学校计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分学生种植实习地，若使每块种植地的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设道路宽度为x米，根据种植地的总面积为260平方米列方程即可． 【详解】解：设道路宽度为x米， 根据题意得，， 故选：A． 10. 如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质证明设 根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：，，， ， 平分 为线段的中点， 设 ， 故选B． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则________． 【答案】2 【解析】 【详解】根据反比例函数的解析式y=（k≠0），故可知n+1≠0，即n≠-1，且n2－5=-1，解得n=±2，然后根据函数的图像在第一、三象限，可知n＞0，所以可求得n=2. 故答案为2. 12. 已知x2+6x=﹣1可以配成（x+p）2=q的形式，则q=_____． 【答案】8 【解析】 【分析】把方程两边加上9，然后把方程作边写成完全平方的形式，从而得到q的值． 【详解】解：x2+6x+9=8， （x+3）2=8． 所以q=8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 13. 已知，求______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，据此把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，、交于点，，且的周长是，则的周长是_______． 【答案】36 【解析】 【分析】此题主要考查相似三角形的判定和性质，因为周长的比等于相似比，所以根据，可得的周长是的周长为，列等式计算即可． 【详解】解：， ， ， 的周长：的周长， 的周长为， 的周长是， 故答案为：36． 15. 如图，点M是反比例函数的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若，则此反比例函数解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，设点M的坐标是，根据得到，再由图象在二、四象限即可得到，得到答案． 【详解】解：设点M的坐标是， ∵， ∴， ∵图象在二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 16. 某药品原价每盒元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是______． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据降价前后的价格，列式计算即可. 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是x， 根据题意得25×（1-x）（1-x）=16， 整理得， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）； 即该药品平均每次降价的百分率是20%， 故答案为：20%． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程是解题的关键. 17. 若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑，当时，通过解一元一次方程可得出方程有解，即符合题意；当时，由根的判别式，可求出k的取值范围综上即可得出结论． 【详解】当，即时，原方程为， 解得：， 符合题意； 当，即时，有， 解得：且． 综上所述：k的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑是解题的关键． 18. 如图，在△ABC中，AC=6，BC=9，D是△ABC的边BC上的点，且∠CAD=∠B，那么CD的长是________ ．   【答案】4 【解析】 【分析】由∠C=∠C，∠CAD=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ACD∽△BCA，又由相似三角形的对应边成比例，易求得CD的长． 【详解】解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠B， ∴△ACD∽△BCA， ∴ =， 即 = ， ∴CD的长是4． 故答案为4． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意有两角对应相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例． 三、解答题（本题共6小题，共66分其中第19，20题各6分，第21，22题各8分，23，24题各9分，25，26题各10分） 19. 解方程∶ （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用直接开平方法求解即可； （2）根据公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴ ∴ ∴， ∴，． 20. 已知，且，求的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出、、的值，然后代入要求的式子进行计算即可得出答案．熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键． 【详解】解：设， 则，，， ， ， ， ，，， ． 21. 已知反比例函数的图象经过点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）判断点，是否在这个函数图像上； 【答案】（1） （2）点在函数图象上，点不在函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，判断点是否在函数图像上等知识点，解题的关键是掌握数形结合的数学思想及待定系数法． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【小问1详解】 解：将点代入得， ， ∴该反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标相等， ∴点，在函数图象上； 当时，代入反比例函数解析式得，函数值与点纵坐标不相等， ∴点，不在函数图象上． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 23. 如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，根据等边三角形性质求出，，推出，证，得出，代入求出即可．解题关键是推出，主要考查了学生的推理能力和计算能力． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 24. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次． （1）求东部华侨城景区2020至2022年春节长假期间接待游客人次的平均增长率． （2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达万人次．列出方程求解即可； （2）设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（舍）． 答：年平均增长率为． 【小问2详解】 解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得： ， 整理得：， 解得：，． ∵售价不超过20元， ∴． 答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额． 【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 25. 如图，在中，，P，Q两点分别从点A，点B同时出发，其中点P从点A开始沿边向的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动（当其中一点到达终点时，两点同时停止运动）．设两点运动时间为t．当t为何值时，的面积等于？的面积能达到吗？试说明理由． 【答案】当t为或时，的面积等于；的面积不能达到 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，利用三角形的面积公式正确列出方程求解． 【详解】解：由题意，，，， 则， 当的面积等于时，则， 整理，得 解得，， ∴当t为或时，的面积等于； 当的面积等于时，则， 整理，得， ∵， ∴所列方程无实数解， ∴的面积不能达到． 26. 如图，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标，点是轴负半轴上的一点． （1）分别求出直线和双曲线的表达式； （2）连接，，，，若，求点的坐标； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，数形结合是关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线交轴于点C，过点作轴于点D，过点B作轴于点E，求出，设且，得到，根据得到，即，解得，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵直线与双曲线相交于，两点，点坐标为，点的坐标， ∴，解得， ∴双曲线的表达式为， 把代入得到， 解得， ∴点的坐标， 把点的坐标代入得到，， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线交轴于点C，过点作轴于点D，过点B作轴于点E， 在中，当时，， ∴， 设且， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $