精品解析：新疆维吾尔自治区哈密市第十五中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024--2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上有两个零点 C. 函数有极大值16 D. 函数有最小值 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如果，且成立，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有（ ） A. 12个 B. 24个 C. 36个 D. 72个 7. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ） A. 是函数的极大值点； B. 是函数的最小值点； C. 在区间上单调递增； D. 在处切线的斜率小于零． 8. 某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x元 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 销量y件 100 94 93 90 85 78 （附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其回归直线的斜率的最小二乘估计值为参考数值：，）；预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（ ） A. 9.4元 B. 9.5元 C. 9.6元 D. 9.7元 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合要求的，选错得0分，没有选全但没有错误，酌情给分. 9. 随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有（ ） A. 每次出现正面向上的概率为0.5 B. 第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25 C. 出现次正面向上的概率为 D. 出现次正面向上的概率为 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. C. 已知一组数据：7、7、8、9、5、6、8、8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强 11. 下列命题中，正确的命题是( ) A. 已知随机变量服从，若，则 B. 已知，则 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为___________ 13. 有5名同学考虑报书法、围棋、绘画3个暑假兴趣班，如果每人只能报1个兴趣班，每个兴趣班都有同学报名，可能的报名结果共有______种.（用数字作答） 14. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用，，，，，，组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ （1）偶数不相邻； （2）和之间恰有一个奇数，没有偶数； （3）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列. 16. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 17. 为了解“三高”疾病是否与性别有关，某医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 总计 男 6 30 女 总计 36 (1)请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患“三高”疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？ (2) 为了研究“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量的观测值，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关． 下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式，其中） 18. 2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下： （Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平 均数，近似为样本方差． （i）利用该正态分布，求； （ii）央视媒体平台从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：，若，则， 19. .已知函数，其中常数. （1）当时，求的零点； （2）讨论的单调性； （3）设实数，如果对任意，，不等式都成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024--2025学年第二学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交、并、补运算进行判断. 【详解】因为，所以，故A错； ，故B错；，故D错. 故选：C. 2. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上有两个零点 C. 函数有极大值16 D. 函数有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，研究的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案. 【详解】，由，得或，由，得， 所以在上递增，在上递减，在上递增， 所以极大值为，极小值为，所以有3个零点，且无最小值. 故选：C 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出曲线在处的导数，可求出时的函数值，利用点斜式即可求出答案. 【详解】由，得.当时，， 故该曲线在处的切线方程为. 故选：D 4. 如果，且成立，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性得到答案. 【详解】，且成立，根据对称性得到. 故选：. 【点睛】本题考查了正态分布，意在考查学生对于正态分布对称性的理解. 5. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数式和对数式以及充分、必要条件等知识来确定正确答案. 【详解】根据指数式和对数式的互化公式可知， 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 6. 用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有（ ） A. 12个 B. 24个 C. 36个 D. 72个 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分三步进行：第一步，先将1,3,5分成两组；第二步，将2,4排成一排；第三步，将两组奇数插入两个偶数形成的三个空位，再由排列组合公式即可得到结论. 【详解】解法一：直接求解 三个奇数中仅有两个相邻的意思是，有两个奇数相邻，且与第三个奇数不相邻， 所以排列个数为个. 解法二：反面求解 个. 故选：D. 【点睛】本题考查排列、组合的综合应用，需要牢记常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法等，属于基础题. 7. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ） A. 是函数的极大值点； B. 是函数的最小值点； C. 在区间上单调递增； D. 在处切线的斜率小于零． 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的导函数的图象对A，B，C，D四个选项逐个判断即可． 【详解】解：由函数的导函数的图象可知， A．左侧的导数小于0，而右侧的导数大于0，所以是函数的极小值点，故错误，不符合题意； B．左侧的导数大于0，右侧的导数大于0，不是函数的最小值点，故B错误，不符合题意； C．当时，，单调递增，故C正确，符合题意； D．由图象得，所以在处切线的斜率大于零，故D错误，不符合题意； 故选：C． 8. 某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据： 单价x元 9 9.2 9.4 9.6 9.8 10 销量y件 100 94 93 90 85 78 （附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其回归直线的斜率的最小二乘估计值为参考数值：，）；预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（ ） A. 9.4元 B. 9.5元 C. 9.6元 D. 9.7元 【答案】B 【解析】 【分析】由条件求出回归直线方程，然后设该产品的售价为元，可得工厂的利润，从而求出答案. 【详解】由题意 由 所以，则 设该产品的售价为元，工厂的利润为，则 由 当且仅当，即时等号成立. 所以时，工厂的利润的最大为405元 故选：B 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合要求的，选错得0分，没有选全但没有错误，酌情给分. 9. 随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法错误的有（ ） A. 每次出现正面向上的概率为0.5 B. 第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.25 C. 出现次正面向上的概率为 D. 出现次正面向上的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】每次出现正面向上的概率都是0.5，连续出现次正面向上的概率为，进而可得结果． 【详解】随机抛掷一枚质地均匀的硬币10次， 对于，每次出现正面向上的概率都是0.5，故正确； 对于，第一次出现正面向上的概率为0.5，第二次出现正面向上的概率为0.5，故错误； 对于，出现次正面向上的概率为，故正确； 对于，出现次正面向上的概率为，故错误． 故选：BD． 【点睛】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. C. 已知一组数据：7、7、8、9、5、6、8、8，则这组数据的第30百分位数是8 D. 相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度越强 【答案】AB 【解析】 【分析】二项分布的方差计算方法可得A，再根据条件概率与贝叶斯公式可得B，有限个数的百分位数计算公式可求的30百分位数，根据相关系数的定义可得D选项. 【详解】因为，所以，则，A正确， 因为且，由贝叶斯公式可得，B正确， 将该组数据从小到大排列为：5，6，7，7，8，8，8，9，又因为，所以第30百分位数是7，C错误， 由相关系数的定义可知，越大，成对样本数据的线性相关程度越强，而不是越大，成对样本数据的线性相关程度越强，D错误. 故选: 11. 下列命题中，正确的命题是( ) A. 已知随机变量服从，若，则 B. 已知，则 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：利用二项分布期望、方差公式计算判断； 选项B：由互斥事件概率的加法公式计算判断； 选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断； 选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出，，时的概率，通过解不等式求出的范围即可判断. 【详解】对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，选项A错误； 对于选项B：为必然事件，所以，而与互斥， ，选项B正确； 对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，若，则，，选项C正确； 对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为，， 当时，对应的概率， 所以当时，， 由得，即， 因为，所以且，又， 即时，概率最大，故选项D正确． 故选：BCD 【点睛】二项分布的概率公式，可用作商法确定其中的最大值或最小值． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中的系数为___________ 【答案】128 【解析】 【分析】展开式中各项系数，然后由多项式乘法法则求得结论． 【详解】的展开式通项公式为， 所以所求展开式中的系数为． 故答案为：128． 13. 有5名同学考虑报书法、围棋、绘画3个暑假兴趣班，如果每人只能报1个兴趣班，每个兴趣班都有同学报名，可能的报名结果共有______种.（用数字作答） 【答案】150 【解析】 【分析】 先将5名同学分成3组，再分配到3个兴趣班即可解题. 【详解】本题考查排列组合.先把5名同学分成3组，若按1，1，3分组，共有（种）不同分法；若按1，2，2分组，共有（种）不同分法，所以共有（种）不同分组方法，所以分配到3个兴趣班共有（种）不同分配方案. 故答案为：150. 【点睛】本题考查排列组合的分组问题，是中档题. 14. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先求剩余数据的中心点，再代入回归直线方程求，再代入求，即可求残差值. 【详解】由于回归直线过样本中心点，当时，， 去除偏离点后，剩余数据的中心点为， 则，， 将点的坐标代入回归直线方程，可得，解得，所以，新的回归直线方程为，当时，， 所以，去除偏离点后，相应于样本点的残差值为. 故答案为：. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用，，，，，，组成无重复数字七位数，满足下述条件的七位数各有多少个？ （1）偶数不相邻； （2）和之间恰有一个奇数，没有偶数； （3）三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列. 【答案】（1）1440 （2）720 （3）840 【解析】 【分析】（1）不相邻问题插空法 （2）先考虑1*2和2*1的情况，再将它们看作一个整体，与其它元素全排列 （3）先选3个位置排偶数，再在剩下的位置排奇数. 【小问1详解】 根据题意，分2步进行分析： ①先将4个奇数排好，有种排法， ②排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排3个偶数，有种排法， 则有个符合题意的七位数； 【小问2详解】 根据题意，分2步进行分析： ①在1和2之间安排一个奇数，考虑1*2和2*1的情况，有种安排方法， ②将三个数字看成一个整体，与其他4个数字全排列，有种排法， 则有个符合题意的七位数； 【小问3详解】 根据题意，分2步进行分析： ①在7个数位中任选3个，将三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列，有种排法， ②剩下的4个数字安排在剩下的4个数位上，有种排法， 则有个符合题意的七位数. 16. 人工智能在做出某种推理和决策前，常常是先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．我们利用这种方法设计如下试验：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子内有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．我们首先从这两个袋子中随机选择一个袋子，假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率），再从该袋子中随机摸出一个球，称为一次试验．经过多次试验，直到摸出红球，则试验结束；若试验未结束，则将摸到的球放回原袋，每次试验相互独立． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． （i）求选到的袋子为甲袋的概率； （ii）求选到的袋子为乙袋，且第二次试验就结束的概率． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，结合，即可求解； （2）（i）因为是对立事件，得到，结合条件概率的计算公式，即可求解； （ii）由（i）得到，第次独立试验结束的概率为，结合条件的概率的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件． 则， 所以试验一次结果为红球的概率为. 【小问2详解】 解：（i）因为是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为. （ii）由（i）得， 设为第次独立试验结束的概率，则 所以设题设概率为，则. 17. 为了解“三高”疾病是否与性别有关，某医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 总计 男 6 30 女 总计 36 (1)请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患“三高”疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？ (2) 为了研究“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量的观测值，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关． 下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式，其中） 【答案】（1）3人；（2）有的把握认为是否患三高疾病与性别有关系． 【解析】 【分析】（1）根据题意填写列联表，利用分层抽样原理计算所抽取的男、女生人数. （2）根据联表计算的观测值，对照临界值得出结论． 【详解】解：（1）完善补充列联表如下： 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 总计 男 24 6 30 女 12 18 30 总计 36 24 60 在患“三高”疾病人群中抽取9人，则抽取比例为， 所以女性应该抽取（人； （2）根据列联表，计算的观测值 ， 所以在允许犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患“三高”疾病与性别有关． 18. 2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下： （Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X服从正态分布，其中近似为样本平 均数，近似为样本方差． （i）利用该正态分布，求； （ii）央视媒体平台从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：，若，则， 【答案】（1）,；（2）（i）0.3415；（ii）详见解析. 【解析】 【分析】(1) 利用离散型随机变量的期望与方差的公式计算可得答案； （2）（i）由(1)知，)，从而可求出； （ii）可得可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可列出的分布列，求出其Y的数学期望. 【详解】解：（1）这100位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为 （2）（i）由（1）知，， 从而； （ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人， 故可能的取值为0，1，2，3 ，， 所以的分布列为 Y 0 1 2 3 P 所以Y的数学期望为 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量的期望与方差公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题，解答问题的能力及推理与运算的能力，属于中档题型. 19. .已知函数，其中常数. （1）当时，求的零点； （2）讨论的单调性； （3）设实数，如果对任意，，不等式都成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）时，在上单调递增.时，在上单调递减.时，在上单调递增，在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）令，解方程即可求出的零点； （2）对求导，分类讨论，和，判断与的大小即可得出答案； （3）将不等式进行整理可得，则不等式可转化为在上单调递减，再利用分离参数法即可求出答案. 【小问1详解】 当时，，令，可得：， 所以的零点为. 【小问2详解】 因为的定义域为， ， 当时，对任意成立， 所以在上单调递增. 当时，对任意成立， 所以在上单调递减. 当时，令可得：，令可得：. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上：时，在上单调递增. 时，在上单调递减. 时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）得，当时，在上单调递减， 不妨设，则， 原不等式转换为，即， 令，则， 则在上单调递减，所以在上恒成立， 在上恒成立， 即，则，则， 令，令，则， 所以， 由双勾函数的性质可得，，所以的最小值为， 所以. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $