精品解析：安徽省合肥市百花中学等四校联考2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

合肥百花中学等四校2024~2025学年度第二学期高一年级期末考试 数学 本试卷共小页、余卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.固答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题输出的图个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，则恰有一人命中的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98 3. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 5. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 6. 从长度分别为3，4，5，6的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知分别为内角的对边，的面积，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6.分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量的坐标为 11. 如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面上的动点，且满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面面积为 B. 点的轨迹长度为 C. 存在点，使得 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面内有、、、四点，其中，，三点共线，且，则________. 13. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______． 14. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足 （1）求复数 （2）若复数是关于的方程的一个根，求，的值 16. 在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求： （1）a和c的值； （2）的值. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 18. 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． （1）用，表示向量； （2）求的值； （3）求与夹角的余弦值． 19. 图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2. （1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； （2）求图2中的二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥百花中学等四校2024~2025学年度第二学期高一年级期末考试 数学 本试卷共小页、余卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.固答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题输出的图个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：首先将选项当中的每个复数都算一遍，求得结果，根据纯虚数的定义，找到结果. 详解：，，，， 通过比较可以知道，只有为纯虚数，故选B. 点睛：该题所考查的是有关复数的问题，在解题的过程中，利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断结论. 2. 已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立.若甲、乙各罚球一次，则恰有一人命中的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可． 【详解】设“篮球运动员甲、乙的罚球命中”分别为事件A，B，“恰有一人命中”为事件C， 则 . 故选：A． 3. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD 4. 在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将已知等式两边利用正弦定理化边为角，运用差角的正弦公式整理分析即得. 【详解】因，由正弦定理，，即, 因,则，故, ,即，故是等腰三角形. 故选：B. 5. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可. 【详解】在正方体中，，所以异面直线与所成角为， 设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以， 则.故选C. 【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法： （1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 6. 从长度分别为3，4，5，6的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出4条线段中取3条的组合情况，分别讨论是否满足三角形成立条件和钝角成立条件，钝角三角形成立数比上三角形成立数即为构成钝角三角形的概率. 【详解】从4条线段中取3条的组合数为：，具体为：①3,4,5；②3,4,6；③3,5,6；④4,5,6. 设三角形边长为a，b，c，c为最大边，则： 钝角三角形的满足条件为：. 组合①： 组合②： 组合③: 组合④: 综上，满足钝角三角形的组合数为2，概率. 故选：C. 7. 已知分别为内角的对边，的面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理和三角形面积公式得到方程，求出，得到答案. 【详解】由余弦定理得， 又三角形面积公式得， 故， 又，故，即， 又，故. 故选：C 8. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设甲、乙两个圆锥的母线长均为，底面半径分别为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和为可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可得解． 【详解】设甲、乙两个圆锥的母线长均为，底面半径分别为， 则，所以①， 因为侧面展开图的圆心角之和为， 所以，即②， 由①②解得， 所以甲圆锥的高，乙圆锥的高， 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6.分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 的标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：举反例说明，例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差，显然，即， 所以的标准差不小于的标准差，这一论断不成立，故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算、平行和垂直的判定，以及投影向量公式逐项进行分析判断. 【详解】选项A:已知向量，， 所以，，故A对； 选项B:因为，而，故B错； 选项C:因为，，故C对； 选项D:根据投影向量公式：，故D对. 故选:ACD. 11. 如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面上的动点，且满足，则下列结论中正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面面积为 B. 点的轨迹长度为 C. 存在点，使得 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】取的中点G，连接、，则等腰梯形为截面，求面积判断选项A；取中点M，中点N，连接,,，推导出点的运动轨迹为线段，判断选项B；取中点F，推导出，又因为，所以，判断选项C；取F是的中点，因为是等腰三角形，则,同理,与交于点F，且与均在平面内，所以为与平面所成的线面角，所以，因为，且时最小，满足题设正弦值最大，求正弦值，判断选项D. 【详解】 已知正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面上的动点， 且满足，取的中点G，连接、, 则等腰梯形（,且）为其截面， 面积为，故A对； 取中点M，中点N，连接,,， 由题可得,,且平面， 所以平面，平面， 又与是平面内的两条相交直线, 所以平面平面，所以点F的运动轨迹为线段，长度为，故B错； 取中点F，因为为等腰三角形，所以， 又因为，所以，故C对. 因为平面，所以为与平面所成的线面角， 所以， 因为，且时最小，满足题设正弦值最大， 所以，，故D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面内有、、、四点，其中，，三点共线，且，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理计算即可. 【详解】因为，，三点共线，所以存在使得 由 所以 即 故答案为：1 13. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______． 【答案】36π 【解析】 【详解】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径， 若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9， 可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r， 可得 ，解得r=3. 球O的表面积为： . 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 14. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】化简已知等式得，再利用正弦定理得，求出即得解. 【详解】由题得, 因为, 所以， 所以, 因为，所以. 由正弦定理得. 所以 , 所以的最大值为，此时. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数满足 （1）求复数 （2）若复数是关于的方程的一个根，求，的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算即可； （2）把代入方程化简，再利用复数相等条件列方程组求实数，的值. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得. 16. 在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求： （1）a和c的值； （2）的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得. 解，即可求出a，c；（2） 在中，利用同角基本关系得 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果. （1）由得，，又，所以ac=6. 由余弦定理，得. 又b=3，所以. 解，得a=2，c=3或a=3，c=2. 因为a>c,∴ a=3，c=2. （2）在中， 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此. 于是=. 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）. （1）求选取的市民年龄在内的人数； （2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； （3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】（1）20 （2）平均数32.25; 第80百分位数37.5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，先求出年龄在内的频率，再求出频数； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 （1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 【小问2详解】 (2) 平均数为 32.25; 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. 【小问3详解】 （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题. 18. 如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． （1）用，表示向量； （2）求的值； （3）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可. （2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可. （3）由向量的数量积和向量的夹角公式计算即可. 【小问1详解】 如图，连接， 因为为线段的中点，， 所以，因为，所以， 由向量的加法法则得， 故，即成立. 【小问2详解】 由于，可得，又有， 所以； ，故. 【小问3详解】 由向量的减法法则得， 由于，可得，又有， 得到，故， 则， 由上问得，故. 19. 图1是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2. （1）证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； （2）求图2中的二面角的大小. 【答案】（1）证明：，，又因为和粘在一起. ，四点共面. 又，平面，， 平面， 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证. （2）在图中找到对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑关于的垂线，发现此垂足与的连线也垂直于.按照此思路即证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图， 过作延长线于，连结， 因为平面，平面，所以. 又，平面，，故平面. 因为平面，所以. 又因为，所以是二面角的平面角. 而在中，又因为故，所以. 而在中,，所以二面角的度数为. 【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $