精品解析：吉林省松原市前郭县西部学区2024—2025学年八年级下学期期末教学质量检测数学试卷

2025年八年级第二学期期末教学质量检测 数学 一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 1. 我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 25和30 B. 25和29 C. 28和30 D. 28和29 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（） A. B. C. D. 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 7. 在函数 中，自变量的取值范围是_______． 8. 甲、乙两射击运动员参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是，，则两人中射击成绩比较稳定的是_______． 9. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于______． 10. 如图，一根木棍长，斜放在直径的圆形水杯中，水杯的高的高为，则露出水杯外的部分的长为＝______． 11. 在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为：______________（填“”，“”或“”）． 三．解答题（共 11 小题，满分 87 分） 12. 计算： 13. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … （1）求与的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 14. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 15. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． （1）求证； （2）连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 16. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 17. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中按要求作图． （1）在图①中画出线段，使其长度为（画一条即可）； （2）在图②中画出一个直角，使其三边长均是有理数（画一个即可）； （3）在图③中画出一个菱形，使其对角线的长均是无理数（画一个即可）． 18. 如图，点在第一象限，且，点A的坐标为．设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式； （2）若，求P点坐标． 19. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． (2)寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 （1）【分析变量关系】根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元）关于杨梅重量x (千克)之间的函数关系式． （2）【计算最省费用】若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． （3）【探索最大重量】小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 21. 如图，已知矩形，，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请直接写出当为何值时，四边形是菱形； （3）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． （1）求直线的解析式和点的坐标． （2）当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? （3）如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年八年级第二学期期末教学质量检测 数学 一．选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分） 1. 我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 25和30 B. 25和29 C. 28和30 D. 28和29 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的概念，即可解答，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数. 【详解】解：重新排序得到：25，26，27，28，29，30，30． 根据题意可得中位数为，众数为， 故选：C. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判断．根据定义，最简二次根式需满足：①被开方数不含完全平方因数；②被开方数不含分母．对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：，被开方数是质数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式条件． 选项B：，，被开方数含分母，可化为，故不是最简二次根式． 选项C：，，含完全平方数，可化简为，故不符合． 选项D：，，含完全平方数，可化简为，故不符合． 故选：A． 3. 如图，在 中， ，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称 为“希波克拉底月牙 ”．当 ， 时，则阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积、圆的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键．根据勾股定理求出 ，分别求出三个半圆的面积和的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ，， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积 ， 故选：D． 4. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 5. 某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数（）之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，分别计算出前2天的费用和后面天的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 6. 已知正方形的边长为，点P是对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，作交射线于点M，连接，设，，则y关于x的函数关系的图象大致为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质、等腰直角三角形性质、三角形全等判定与性质以及二次函数的应用 ，解题关键是通过作辅助线，利用相关几何性质建立与长度的函数关系。 作，，利用正方形性质得出是等腰直角三角形，得到线段、、、关于的表达式，证明四边形是正方形,通过角度关系证明，得出,在中，结合勾股定理得到，再在中求出关于的表达式，进而得到关于的函数关系式，根据函数性质确定图象。 【详解】解：过点作于点，交于点；过点作于点． ∵四边形是正方形，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵正方形边长为， ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴，即． ∵，且， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理， ∵， ∴． 在中， ， 将，代入可得： 则， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， 故选：A． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 7. 在函数 中，自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件等知识点，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件列出关系式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为：． 8. 甲、乙两射击运动员参加射击训练，各射击10次的平均成绩相同，如果他们射击成绩的方差分别是，，则两人中射击成绩比较稳定的是_______． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏 离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据 偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的意义即可求出答案． 【详解】解：∵，且两人10次射击成绩的平均值相等， ∴两人中射击成绩比较稳定的是甲． 故答案为：甲． 9. 如图，菱形中，对角线、相交于点O，H为边中点，菱形的周长为48，则的长等于______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半．根据菱形性质得出，，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵H为边中点， ∴． 故答案为：6． 10. 如图，一根木棍长，斜放在直径的圆形水杯中，水杯的高的高为，则露出水杯外的部分的长为＝______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，连接，利用勾股定理求得，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵圆形水杯的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵木棍长， ∴， 故答案为：5． 11. 在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为：______________（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（k，b为常数）是一条直线，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共 11 小题，满分 87 分） 12. 计算： 【答案】39 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，先计算负整数指数幂，化简绝对值，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】解： 13. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … （1）求与的函数关系式； （2）为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求解即可． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 则，解得， 故与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：令， 则，解得：， 答：停止加热时的气体温度为． 14. 已知：如图，在菱形中，点，分别在边，上，且，连结，.求证：. 【答案】 ∵四边形是菱形， ∴，， ∵ ∴． ∴ 【解析】 【分析】由菱形性质得，，，，根据全等三角形判定SAS可得，由全等三角形性质即可得证. 【详解】略 【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 15. 如图，在平行四边形中，E，F是对角线上的点，且，连接，． （1）求证； （2）连接，若，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ，， ，又， ， ． 在和中， ． ． （2） 四边形是菱形，理由如下． 连接，交于O， ． ， ． 又， ． ． 四边形是平行四边形． 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． ． 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用证明三角形全等； （2）根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 【答案】（1）5 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可； 对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则． 设秋千的长度为，则． 在，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以秋千得长度为5m； 【小问2详解】 解：当时，，则，得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以将秋千往前推送3m． 故答案为：3． 17. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中按要求作图． （1）在图①中画出线段，使其长度为（画一条即可）； （2）在图②中画出一个直角，使其三边长均是有理数（画一个即可）； （3）在图③中画出一个菱形，使其对角线的长均是无理数（画一个即可）． 【答案】（1） 解：如图所示，线段即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求， ， （3） 解：如图所示，菱形即为所求， 对角线 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，菱形的性质； （1）根据网格的特点以及勾股定理即可求解； （2）画一个边长分别为，，的三角形，即可求解； （3）画一个对角线分别为的菱形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，点在第一象限，且，点A的坐标为．设的面积为S． （1）求S关于x的函数解析式； （2）若，求P点坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合、求函数值和自变量的值，根据题意正确求出S关于x的函数解析式是关键． （1）根据题意得到，，再利用三角形面积公式即可求出S关于x的函数解析式； （2）根据求出，再得到即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解： 点A的坐标为， 【小问2详解】 当时， 19. 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图： 其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． 根据以上信息，解答下列问题： （1）B组15个成绩的平均数为______分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为______，本次被抽取的所有成绩的中位数为______分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 【答案】（1） （2）， （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估算总体，平均数，中位数的含义． （1）直接利用平均数公式计算即可； （2）由B组人数除以其百分比即可得到总数据的个数，再利用中位数的含义求解中位数即可； （3）由总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案. 【小问1详解】 解：B组15个成绩的平均数为： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴本次被抽取的所有成绩的个数为， ∵，而， 所抽取的50个成绩分数排序后排在第个，第个分数落在B组， 而B组成绩排序后为： 从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80． ∴第个，第个分数， 本次被抽取的所有成绩的中位数为分； 【小问3详解】 解：学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，则本次竞赛的获奖人数为（人）. 20. 根据以下素材，探索完成任务． 杨梅季将至，梅企与某快递公司合作寄送杨梅． 素材1 某快递公司规定：（1）从当地寄送杨梅到A市按重量收费：当杨梅重量不超过10千克时，需要寄送费32元；当重量超过10千克时，超过部分另收m元/千克． (2)寄送杨梅重量均为整数千克． 素材2 （1）【分析变量关系】根据以上信息，请确定m的值，并求出杨梅重量超过10千克时寄送费用（元）关于杨梅重量x (千克)之间的函数关系式． （2）【计算最省费用】若杨梅重量达到25千克，请求出最省的寄送费用． （3）【探索最大重量】小聪想在当地梅企购买一批价格为50元/千克的杨梅并全部寄送给在A市的朋友们，若小聪能用来支配的钱有5000元，他最多可以购买多少千克的杨梅？并写出一种寄送方式． 【答案】（1） （2）94元 （3）93千克；8件10千克，1件13千克 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的运用，理解数量关系，掌握一次函数的计算是关键． （1）根据电子存单1和2的关系计算即可； （2） 根据题意，分类讨论：①若单件寄送；②若分两件寄送；③若分三件寄送；比较各自的费用即可； （3）设有a千克杨梅需要寄送，设的余数为n，结合题意得到当时，采用其中一件超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱；当时，采用一件不超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱，设小聪购买的杨梅一共分b件不超过10千克的寄送方式，由题意得，，所以最省钱的寄送方式应该是8件均为10千克的寄送，一件超过10千克的寄送，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：当时， ①若单件寄送，则需寄费 (元)， ②若分两件寄送，则需寄费(元)，， ③若分三件寄送，则需寄费(元)， ∵， ∴寄送25千克杨梅的最省费用为94元； 【小问3详解】 解：设有a千克杨梅需要寄送，设的余数为n， 当时，， 当时，， ∴当时，采用其中一件超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱； 当时，采用一件不超过10千克，其余均为10千克的寄送方式最省钱． 设小聪购买的杨梅一共分b件不超过10千克的寄送方式，由题意得，， 解得， 又是正整数， ∴b最大值为9， ∴还剩下 (元)， ∵的余数小于5， ∴最省钱的寄送方式应该是8件均为10千克的寄送，一件超过10千克的寄送， ∵8件均为10千克的费用(含寄送费)为元，，， ，， ∴一件超过10千克的寄送的杨梅重量是13千克， ∴ (千克)． ∴小聪最多可以购买93千克杨梅，寄送方式为8件10千克，1件13千克． 21. 如图，已知矩形，，P是上一动点，M、N、E分别是的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）请直接写出当为何值时，四边形是菱形； （3）四边形有可能是矩形吗？若有可能，求出的长；若不可能，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵M、N、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）5； （3）可能，2或8． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）当时，四边形是菱形，P是的中点，所以可求出的值． （3）四边形是矩形的话，必需为，用勾股定理的逆定理判断一下是不是直角三角形就行． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，在和中， ， ∴， ∴， ∵M、N、E分别是的中点， ∴ ，， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 四边形可能是矩形． 若四边形是矩形，则 设， ，． 或． 故当或时，四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，勾股定理的逆定理，掌握矩形和菱形的性质是关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． （1）求直线的解析式和点的坐标． （2）当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? （3）如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 【答案】（1）， （2）①，，②， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式为：，同理可得直线的解析式为：，联立可得； （2）①结合运动的特点，设，，，问题即可作答；②先表示出，结合可得，则有；∴点恰好落在正方形的边上时，；当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形，将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， 即有直线的解析式为：，联立可得，问题得解； （3）设交于点S，利用中点坐标公式可得，，即有，过点Q作于点T，过点M作于点R，可得， ，进而可得，则直线的解析式为：，联立可得，问题随之得解． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形．顶点， ∴，， ∵， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， 即：直线的解析式为：，； 【小问2详解】 ①∵轴，直线与直线交于点、与直线交于点， ∴结合运动的特点，设，，， ∵点M在点N上方， ∴，且点M在点H的右侧， ∴， 即：，； ②如图， ∵点恰好落在正方形的边上， ∴， ∵， ∴， ∵结合图形可知：在等腰直角中，，， ∴， 解得：， ∴点恰好落在正方形的边上时，； ∵轴，， ∴轴，轴，轴， ∵在等腰直角中，，， ∴， 结合正方形的性质有：， 又∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵轴，轴，， ∴当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形， 即随之直线向边靠拢时，当等腰直角的斜边经过点A时，等腰直角与重叠部分开始为矩形， ∵，直线的解析式为：，，， ∴将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∴当时，等腰直角与重叠部分为矩形； 【小问3详解】 如图，设交于点S， ∵，，，、恰好是、中点， ∴，， ∴，即， 如下图，过点Q作于点T，过点M作于点R， 在等边中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴按照求解解析式的方法可得直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴等边与重叠部分的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题是一道一次函数的综合题，考查了正方形的性质，线段的平移，勾股定理，等边三角形的性质，矩形的性质，中点坐标公式以及待定系数法等知识，问题的难点在于弄清楚直线平移时的临界点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $