导数与函数的单调性讲义-2026届高三数学一轮复习

导数与函数的单调性 课前学习任务 一、必备知识 (1) 确定f(x)的____； (2) 求导数f′(x)； (3) 在定义域内解不等式f′(x)____0(或f′(x)____0)，得函数f(x)的单调递增(减)区间； (4) 当____时，f(x)在相应区间上是增函数，当____时，f(x)在相应区间上是减函数． 2．常用结论 (1) f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件． (2) f′(x)≥0(或f′(x)≤0)(f′(x)不恒等于0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． (3) 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 二、练基础 1．(人A选必二P87练习T1(2)改)函数f(x)＝ex－x的单调递减区间为(　　) A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，1) 2．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3,1)，则m＋n的值为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．1 3．(人A选必二P89练习T3改)(多选)已知函数y＝f′(x)的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．在区间(0，a)上，f(x)为定值 B．函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增 C．函数y＝f(x)在区间(c，e)内单调递增 D．函数y＝f(x)在区间(b，d)内单调递减 4．(人A选必二P89练习T1(2)改)函数f(x)＝x3－x2－x的单调递增区间为 ． 5．若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是____． 课堂核心考点 考点一 函数单调性的判断 视角1　不含参函数 例 1－1　(1) 已知f(x)＝2x2－3x－ln x，则f(x)的单调递增区间为____． (2) 已知函数f(x)＝cos 2x＋x2－1，记g(x)＝f′(x)，试判断g(x)在上的单调性． 变式 1－1　(2024·开封三模节选)已知函数f(x)＝x3－3ln x，f′(x)为f(x)的导函数，求函数g(x)＝f(x)－f′(x)－的单调区间． 视角2　含参函数 例 1－2　(1) 已知a＞0，函数f(x)＝ex－(a－1)x－ln a，讨论f(x)的单调性． (2) 已知函数f(x)＝ln x＋ax2－(a＋2)x．若0＜a≤2，讨论函数f(x)的单调性． 变式 1－2　已知函数f(x)＝ln x－ax＋x2． (1) 若a＝－1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2) 讨论f(x)的单调性． 考点二 结合函数单调性确定参数 例2　(1) 若函数f(x)＝(x2＋mx)ex在上存在单调递减区间，则实数m的取值范围是___． (2)若函数f(x)＝x3－ax2＋6x在区间(1,3)上单调递增，则实数a的取值范围为___． (3) 若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围． 题组强化 1．已知函数f(x)＝aex－lnx在区间(1,2)上单调递增，则实数a的最小值为(　　) A．e2 B．e C．e－1 D．e－2 2．若函数h(x)＝lnx－ax2－2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为____． 3．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不单调，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3]∪[－1,1]∪[3，＋∞) B．(－3，－1)∪(1,3) C．(－2,2) D．不存在这样的实数k 课后提升练 1．若函数f(x)＝2x2＋ax＋lnx在(0，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－4) B．(－∞，－4] C．(－4，＋∞) D．[－4，＋∞) 2．函数f(x)＝x－ln(1＋x)的单调递减区间是____；单调递增区间是____． 3．已知函数f(x)＝x3＋3x2(x∈R)，若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则实数m的取值范围是____． 4．若函数f(x)＝kx2－ex在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数k的取值范围是____． 答案解析 课前学习任务 1. (1) 定义域　(3) >　<　(4) f′(x)>0　f′(x)<0 1. C　【解析】 f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝ex－1<0，得x<0，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0). 2. A　【解析】 由题设，f′(x)＝x2＋2mx＋n，由f(x)的单调递减区间是(－3，1)，得f′(x)<0的解集为(－3，1)，则－3，1是f′(x)＝0的解，所以－2m＝－3＋1＝－2，n＝1×(－3)＝－3，可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2. 3. BD　【解析】 由图知，当0<x<a时，f′(x)>0且为定值；当a<x<c时，f′(x)单调递减，且当x∈(a，b)时，f′(x)>0，当x∈(b，c)时，f′(x)<0；当c<x<e时，f′(x)单调递增，且当x∈(c，d)时，f′(x)<0，当x∈(d，e)时，f′(x)>0，所以当0<x<a时，f(x)单调递增且为斜率大于0的直线，当a<x<b时，f(x)单调递增，当b<x<c时，f(x)单调递减，当c<x<d时，f(x)单调递减，当d<x<e时，f(x)单调递增，其大致图象如图． (第3题) 4. 和(1，＋∞)　【解析】 因为f(x)＝x3－x2－x，所以f′(x)＝3x2－2x－1＝(x－1)(3x＋1).令f′(x)>0，解得x>1或x<－，所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞). 5. (－∞，－2]　【解析】 因为f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在(0，＋∞)上是减函数，所以f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，即f′(x)＝－2x＋4＋≤0(x>0)，即b≤2x2－4x(x>0).因为x>0时，2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，所以b≤－2. 课堂核心考点 例1-1　(1) (1，＋∞)　【解析】 函数f(x)＝2x2－3x－ln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝4x－3－＝，由f′(x)>0，得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞). (2) 【解答】 g(x)＝f′(x)＝－2sin 2x＋2x＝2(x－sin 2x)，则g′(x)＝2(1－2cos 2x)，当x∈时，令g′(x)>0，得cos 2x<，解得x∈，令g′(x)<0，得cos 2x>，解得x∈(0，)，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增． 变式1-1　【解答】 依题意，g(x)＝f(x)－f′(x)－＝x3－3ln x－3x2－，则g′(x)＝3x2－6x－＋＝3x(x－2)＋＝，x>0.令g′(x)＝0，解得x＝1或x＝2.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表所示： x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x)  极大值  极小值  　　所以函数g(x)的单调递减区间为(1，2)，单调递增区间为(0，1)，(2，＋∞). 例1-2　【解答】 (1) f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－(a－1).当0<a≤1时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增；当a>1时，令f′(x)>0，解得x>ln (a－1)，令f′(x)<0，解得x<ln (a－1)，所以f(x)在(ln (a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln (a－1))上单调递减．综上所述，当0<a≤1时，f(x)在R上单调递增；当a>1时，f(x)在(ln (a－1)，＋∞)上单调递增，在(－∞，ln (a－1))上单调递减． (2) f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax－(a＋2)＝＝.①当0<a<2时，>，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；②当a＝2时，＝，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．综上所述，当0<a<2时，f(x)在和上单调递增，在上单调递减；当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 变式1-2　【解答】 (1) 当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋x2，f′(x)＝＋1＋2x，f′(1)＝4，f(1)＝2，故所求切线方程为y＝4(x－1)＋2，整理得y＝4x－2. (2) f′(x)＝－a＋2x＝，x>0.当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a>0时，对于y＝2x2－ax＋1，Δ＝a2－8，若0<a≤2，则Δ≤0，此时f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>2，令2x2－ax＋1＝0，得x＝，当0<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上所述，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>2时，f(x)在，上单调递增，在上单调递减． 例2　(1) 　【解析】 f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，则原问题等价于f′(x)<0在上有解，即x2＋(m＋2)x＋m<0在上有解，即m<在上有解．因为＝－(x＋1)＋，且y＝－(x＋1)＋在上单调递减，所以当x＝－时，ymax＝－＋＝，所以m<. (2) (－∞，6]　【解析】 因为f(x)＝x3－ax2＋6x，所以f′(x)＝3x2－ax＋6.因为函数f(x)＝x3－ax2＋6x在区间(1，3)上单调递增，所以f′(x)＝3x2－ax＋6≥0在(1，3)上恒成立，即x∈(1，3)时，a≤3x＋恒成立．因为x∈(1，3)时，3x＋≥2＝6，当且仅当x＝时等号成立，即＝6，所以a≤6. 题组·高频强化 1. C　【解析】 依题可知，f′(x)＝aex－≥0在(1，2)上恒成立，显然a>0，所以xex≥.设g(x)＝xex，x∈(1，2)，则g′(x)＝(x＋1)ex>0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，g(x)>g(1)＝e，故e≥，即a≥＝e－1，即a的最小值为e－1. 2. (－1，＋∞)　【解析】 因为h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，所以h′(x)＝－ax－2＜0在[1，4]上有解，所以当x∈[1，4]时，a＞－有解，而当x∈[1，4]时，－＝(－1)2－1，(－)min＝－1(此时x＝1)，所以a＞－1. 3. B　【解析】 由题意得f′(x)＝3x2－12＝0在(k－1，k＋1)上至少有一个实数根，又f′(x)＝3x2－12＝0的根为±2，且f′(x)在x＝2和x＝－2两侧异号，而区间(k－1，k＋1)的区间长度为2，故只有2或－2在(k－1，k＋1)内，所以k－1<2<k＋1或k－1<－2<k＋1，所以1<k<3或－3<k<－1. 课后提升练 1. A　【解析】 f′(x)＝4x＋a＋，x>0，因为f′(x)＝4x＋a＋≥2＋a＝4＋a，所以f′(x)的最小值为4＋a.若函数f(x)＝2x2＋ax＋ln x在(0，＋∞)上不单调，则4＋a<0，解得a<－4. 2. (－1，0)　(0，＋∞)　【解析】 f(x)＝x－ln (1＋x)，f′(x)＝1－＝(x>－1)，当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，则f(x)的单调递减区间为(－1，0)，单调递增区间为(0，＋∞). 3. (－∞，－3]∪[0，＋∞)　【解析】 f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)，令f′(x)>0，即3x(x＋2)>0，解得x<－2或x>0；令f′(x)<0，即3x(x＋2)<0，解得－2<x<0，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．根据函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则有m＋1≤－2或m≥0，解得m≤－3或m≥0. 4. 　【解析】 f(x)＝kx2－ex，求导得f′(x)＝2kx－ex，由f(x)在(0，＋∞)上单调递减，得∀x∈(0，＋∞)，f′(x)≤0⇔2kx－ex≤0，即2k≤.令g(x)＝，x>0，求导得g′(x)＝，当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，因此函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，g(x)min＝g(1)＝e，则2k≤e，解得k≤，所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$