对数函数的图象与性质 讲义-2026届高三数学一轮复习

对数函数的图象与性质 课前学习任务 一、必备知识 1．对数函数的图象及其性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域：____值域：____ ①图象过定点____； ②函数y＝logax与y＝logx(a＞0且a≠1)的图象关于____对称； ③在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐____． 性质 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 在(0，＋∞)上是____ 在(0，＋∞)上是____ 2．反函数 指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． 二、练基础 1．(人A必一P139练习T4)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)可能是(　　) A．y＝1－x-1, x∈(0，＋∞) B．y＝－，x∈(0，＋∞) C．y＝ln x D．y＝x－1，x∈(0，＋∞) 2．(人A必一P140习题T1(2)改)函数y＝的定义域是(　　) A．(0，1) B． C． D．∪(1，＋∞) 3．(人A必一P141习题T12改)若loga＜1，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1) B． C． D．∪(1，＋∞) 4．(人A必一P141习题T13(1)改)已知a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a 5．若f(x)＝lg (x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．[1，2) B．[1，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 课堂核心考点 考点一 对数函数图象的应用 例1　(1) (多选)下列函数的图象过定点(1，2)的有(　　) A．y＝loga(3x－2)＋2 B．y＝log2x＋1 C．y＝ax＋1 D．y＝4x－2 (2) 已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过(　　) A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 变式1　在同一平面直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0且a≠1)的图象可能是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 考点二 对数函数性质的应用 视角1　比较大小 例 2－1　设a＝log23，b＝log35，c＝log58，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b 变式 2－1　设a＝log49，b＝log25，c＝31－log34，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞b＞a 视角2　解对数不等式 例 2－2　(1) 不等式log2x＜－x＋1的解集是____． (2) 若函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)满足f(3)＝－1，则不等式f(x)＞1的解集为____． 变式 2－2　已知f(x)＝|log3x|，若f(a)＞f(3)，则实数a的取值范围为____． 视角3　求参数的范围 例 2－3　(1) 已知函数y＝lg (x2－ax＋1)在(2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A． B．[4，＋∞) C．(－∞，4] D． (2) 若函数f(x)＝loga(a＞0且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是____． 变式 2－3　已知函数f(x)＝ln (x2－ax－3＋a2)在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，－1) C．(－∞，2] D．(2，＋∞) 考点三 反函数的应用 例3　(1) 设函数f(x)与g(x)互为反函数，若f(x)＝10(x＜0)，求函数g(x)的解析式、定义域、值域． (2)(多选)已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则(　　) A．x1＋x2＞0 B．x1x2＜0 C．ex1＋ln x2＝0 D．x1x2－x1＋x2＞1 课后提升练 1．已知函数f(x)＝1＋loga(2x－3)(a＞0，a≠1)恒过定点(m，n)，则m＋n＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数f(x)＝ln (m＞0，n＞0)是奇函数，则＋的最小值为(　　) A．3 B．5 C．3＋2 D．3＋4 3．设a＝log23，b＝log812，c＝lg 15，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a 4．(多选)已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案解析 课前学习任务 1. (0，＋∞)　R　(1，0)　x轴　增大　增函数　减函数 1. C　【解析】 根据f(2)<1，f(3)>1，可知y＝ln x满足． 2. B　【解析】 由得0<4x－3≤1，解得<x≤1. 3. D　【解析】 由题意得a>0且a≠1，loga<1，当0<a<1时，得0<a<；当a>1时，得a>1.综上，a∈∪(1，＋∞). 4. B　【解析】 方法一：如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图象可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c. 方法二：易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2，所以＜＜，即log0.46＜log0.36＜log0.26，即a＞b＞c. (第4题) 5. A　【解析】 令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，图象的对称轴为x＝a，要使函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2). 课堂核心考点 例1　(1) AD (2) D　【解析】 当x＝0时，y＝loga＝－1，则当0<a<1时，作出函数图象如图(1)所示，由图知函数图象过二、三、四象限；当a>1时，作出函数图象如图(2)所示，由图知函数图象过一、三、四象限，所以函数y＝loga(x＋)的图象一定经过三、四象限． 图(1) 　　图(2) (例1(2)) 变式1　D　【解析】 当0<a<1时，函数y＝ax过定点(0，1)且单调递减，则函数y＝过定点(0，1)且单调递增，函数y＝loga(x＋)过定点(，0)且单调递减，D选项符合；当a>1时，函数y＝ax过定点(0，1)且单调递增，则函数y＝过定点(0，1)且单调递减，函数y＝loga(x＋)过定点(，0)且单调递增，各选项均不符合． 例2-1　A　【解析】 因为32>23，所以log232>log223，即2log23>3，所以log23>，即a>.因为52<33，所以log352<log333，即2log35<3，所以log35<，即b<.因为82<53，所以log582<log553，即2log58<3，所以log58<，即c<.又因为b－c＝log35－log58＝－log58＝，且2<log53＋log58＝log524<log525＝2，所以log53·log58<1，所以b－c>0，所以b>c.综上所述，a>b>c. 变式2-1　A　【解析】 因为函数y＝log2x在定义域上单调递增，故b＝log25>log23＝log49＝a>log22＝1，又c＝31－log34＝3log33－log34＝3log3＝<1，所以b>a>1>c. 例2-2　(1) (0，1)　【解析】 不等式log2x<－x＋1，即log2x＋x－1<0，令f(x)＝log2x＋x－1，x∈(0，＋∞)，因为y＝log2x与y＝x－1均在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f(1)＝0，所以当0<x<1时f(x)<0，则不等式log2x<－x＋1的解集是(0，1). (2) (5，6)　【解析】 由f(3)＝－1可得f(3)＝loga＝－1，可知a＝3.f(x)>1即为log3>1，可得>3，即－3＝>0，所以4(5－x)(x－6)>0，解得5<x<6，即所求解集为(5，6). 变式2-2　(0，)∪(3，＋∞)　【解析】 由f(a)>f(3)，得|log3a|>|log33|＝1，所以log3a>1或log3a<－1，解得a>3或0<a<，即实数a的取值范围为(0，)∪(3，＋∞). 例2-3　(1) D　【解析】 由复合函数单调性的规律和函数定义域可知，函数f(x)＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上单调递增且f(x)>0在(2，＋∞)上恒成立，则有解得a≤，则实数a的取值范围为(－∞，]. (2) (1，)　【解析】 令u(x)＝x2－ax＋＝＋－，则u(x)有最小值－，欲使函数f(x)＝loga(x2－ax＋)有最小值，则有解得1<a<，即实数a的取值范围为(1，). 变式2-3　B　【解析】 因为函数f(x)＝ln (x2－ax－3＋a2)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)＝x2－ax－3＋a2在[1，＋∞)上单调递增，所以≤1⇒a≤2.且g(x)＝x2－ax－3＋a2在[1，＋∞)上恒大于0，所以g(1)>0⇒(a－2)(a＋1)>0⇒a>2或a<－1.综上可知，a<－1. 例3　 (1) 【解答】 因为f(x)＝10＝(10)x(x<0)是增函数，所以0<(10)x<100，所以0<(10)x<1，故f(x)＝(10)x的定义域为(－∞，0)，值域为(0，1)，所以g(x)＝2 025lg x，定义域为(0，1)，值域为(－∞，0). (2) BC　【解析】　依题意，x1＋ex1＝0⇔ ex1＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x图象交点的横坐标．而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点(x1，ex1)与点(x2，ln x2)关于直线y＝x对称，则x2＝ex1＝－x1＞0，于是x1＋x2＝0，x1x2＜0，ex1＋ln x2＝0，B，C正确，A错误；x1x2－x1＋x2－1＝(x1＋1)(x2－1)＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，D错误． (例3(2)) 课后提升练 1. C　【解析】 令2x－3＝1，得x＝2，此时f(2)＝1＋loga1＝1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m＝2，n＝1，所以m＋n＝3. 2. C　【解析】 令>0，得(x＋m)(x－1＋n)<0，故函数f(x)的定义域为{x|(x＋m)(x－1＋n)<0}．由f(x)是奇函数，其定义域关于原点对称，可得－m＋1－n＝0，即m＋n＝1，此时f(x)＝ln ，f(x)＋f(－x)＝ln ＋ln ＝ln 1＝0，可得f(x)是奇函数，即m＋n＝1符合题意．故＋＝(＋)(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即m＝－1，n＝2－时等号成立，故＋的最小值为3＋2. 3. D　【解析】 a＝log23＝log2(2×)＝1＋log2＝1＋，b＝log812＝log8(8×)＝1＋log8＝1＋，c＝lg 15＝log10(10×)＝1＋log10＝1＋，又0<log2<log8<log10，所以a>b>c. (第4题) 4. BCD　【解析】 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实数根，即y＝f(x)与y＝－x＋a有且只有1个交点，作出y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a如图所示，由图可知当a≤1时，y＝f(x)与y＝－x＋a有2个交点；当a>1时，y＝f(x)与y＝－x＋a有且只有1个交点． 学科网（北京）股份有限公司 $$