山东省枣庄市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

2024~2025学年高一教学质量检测 数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（   ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 某中学有青年教师95人，中年教师65人，老年教师20人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（   ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 分层随机抽样 D. 简单随机抽样 3. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱 4. 有三个命题：①；②；③，其中正确命题的个数为（   ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 一圆台的上下底面的半径分别为1和2，侧面积为，则其体积为（   ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（   ） A. B. C. D. 7. 已知|，，，则下列结论错误的是（   ） A. B. 若，则 C. D. 在上的投影向量为 8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（   ） A. 点P再次进入水中用时20s B. 当水轮转动25s时，点P处于最低点 C. 当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D. 点P第三次到达距水面时用时42.5s 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知复数，则下列命题正确的是（   ） A. 若，则 B. 若z是纯虚数，则 C. 若，则 D. 若，则，或 10. 记事件M中的样本点个数为．对于一个古典概型试验的样本空间Ω和事件E，F，已知，，，，，，则（   ） A. B. 与互不相容 C. 与相互独立 D. 11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为G，则（   ） A. B. 平面平面 C. 点G到平面的距离为 D. 三棱锥的外接球的表面积为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则 ________． 13. 某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数，表示“投中”，出现表示“未投中”．以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783 062 228 049 276 102 734 933 750 076 140 065 061 215 693 599 494 411 987 789．据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为________． 14. 如图，正方体的棱长为3，点M，N分别在棱，上，满足，点Q在正方体的内部或表面，且平面，则点Q组成的图形的面积是________． 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． （1）求a，A； （2）求的面积及． 16. 某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； （2）求参加挑战赛的学生成绩的分位数； （3）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 17. 已知α，β，γ是三个平面，，，． （1）若，求证：； （2）若，判断a与c及b与c的关系，并说明理由． 18. 在三棱柱中，侧面为菱形，，，，M为的中点，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）请作出二面角的一个平面角，并求其正切值． 19. （1）叙述余弦定理，并用向量法证明； （2）叙述正弦定理，并用向量法证明（仅证明钝角三角形的情形，设A为钝角）； （3）用正弦定理证明余弦定理． 2024~2025学年高一教学质量检测 数学 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】0.65## 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）， （2） 【16题答案】 【答案】（1），71.5 （2）88． （3）72；58.4 【17题答案】 【答案】（1）证明：因为，所以． 因为，所以． 又，所以． 同理可证，所以O为β与γ的一个公共点． 又，由基本事实（公理）3，得． （2），，理由如下： 因为，，， 由直线与平面平行的判定定理，得． 又，， 由直线与平面平行的性质定理，得． 又，由基本事实（公理）4，得． 【18题答案】 【答案】（1） 如图，连接． 因为侧面为平行四边形，，所以N为的中点． 又因为M为的中点，所以为的中位线，所以． 又平面，平面， 所以平面． （2） 连接，．在菱形中，，， 所以为等边三角形．又M是的中点，所以． 解法一：在中，因为M是斜边的中点，所以． 在中，，，， 所以，所以． 又，平面，平面，， 所以平面． 解法二：取线段的中点D，连接，，． 因为是的中位线，所以． 又，所以． 在中，，D是的中点，所以． 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 又，，平面， 所以平面． （3），． 【19题答案】 【答案】（1）余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 或者：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ，，． 证明：仅证明，其他同理可证． 因为， 所以，即． （2）证明：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 或者：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 则． 证明：法1：当是钝角三角形时，不妨设A为钝角，过点A作与垂直的单位向量，则，，，． 因为，所以， 即， 即． 即，所以． 同理可证，所以． 法2：当是钝角三角形时，不妨设A为钝角． 如图，过点B作边上的高， 则， 即， 即， 即，即， 所以． 同理可证，所以． （3）证明：仅证明，其他同理可证．原式等价于． 证明：由正弦定理，得． ， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $