精品解析：广东省河源市龙川县紫市中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

广东省龙川县紫市中学2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 如图．在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路阴影，余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求小路宽的值所列一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，设，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 下列关于x的方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，在反比例函数（k是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（    ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A. B. C. D. 9. 如图1和图2，将一个成形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进（如箭头所示），那么木桩上升（ ）厘米． A. B. C. D. 10. 如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. ________． 12. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围是________． 13. 一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球的个数n 200 300 400 500 1000 1500 2000 摸到白球的个数m 116 192 232 298 590 906 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.604 0.601 根据以上数据，估计摸到白球的概率约为_______（精确到0.01） 14. 如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为______ 15. 如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为_________． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程：. 17. 曹老师家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角，为节省家里空间小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高，垃圾桶，桶盖直径．（参考数据：，，），问： （1）若，求垃圾桶盖打开张角的度数？ （2）垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？ 18. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 19. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． （1）在图1中，______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 22. 材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 23. 如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿翻折至，直线分别交直线，直线于点，，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2，连接分别交，于点，，若， ①求证：． ②求的长． （3）设直线交于点，连接，记的面积为，的面积为，连接，当中有一个内角的正切值为时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省龙川县紫市中学2024-2025学年九年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图所示的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图中主视图的定义得出结论即可，主视图的定义：在正面内得到的由前向后观察几何体的视图，叫做主视图． 【详解】由题意知，该几何体的主视图为 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了主视图，解决问题的关键是熟练掌握主视图的定义． 2. 如图．在宽为，长为的矩形地面上修建两条宽均为的小路阴影，余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求小路宽的值所列一元二次方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】剩余部分可合成长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程． 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把原方程化为：，可得：，从而可得答案． 【详解】解： ， ， ， ， 故选： 【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． 4. 操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在对面的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，作于，则四边形是矩形，由矩形的性质得到，，由题意得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， 由题意可得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴由题意得：，即， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，在矩形中，过点作，垂足为，设，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的解法等知识与方法．由矩形的性质得，则，所以，则，再证明，得，则，所以，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ， 整理得， 或（不符合题意，舍去）， ， 故选：A． 6. 下列关于x的方程中没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断，注意：时，没有实数根；时，有两个相等的实数根；时，有两个不相等的实数根． 【详解】解：A，中，，因此有两个不相等的实数根，不合题意； B，中，，因此没有实数根，符合题意； C，变形得，，因此有两个不相等的实数根，不合题意； D，中，，因此有两个不相等的实数根，不合题意； 故选B． 7. 若点，，在反比例函数（k是常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意首先判断-（k2+1）＜0，得在每一象限y随x的增大而增大，再根据点所在的象限判断函数值的大小． 【详解】解：∵k2+1＞0， ∴-（k2+1）＜0， ∴此函数位于二、四象限， ∴y3＜0， ∵-2＜-1， ∴y2＞y1＞0， ∴y2＞y1＞y3. 故选：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质的应用，比例系数的判定是解题的关键． 8. 在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映与之间的关系的式子是（    ） 体积 100 80 60 40 20 压强 60 75 100 150 300 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的知识，根据表格的信息确定该函数是反比例函数是解题的关键． 由表格可得，得该函数是反比例函数，设解析式为，把x、y代入得到k的值即可解答． 【详解】解：由表格可得，得该函数是反比例函数， ∴设解析式为， ∴， 把代入，可得， ∴． 故选：C． 9. 如图1和图2，将一个成形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进（如箭头所示），那么木桩上升（ ）厘米． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比计算即可． 【详解】解：解：设木桩上升了， 根据题意，在中，， 则， 解得：， 则木桩上升了， 故选：A． 10. 如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. ________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．将特殊角的三角函数值，代入计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：2． 12. 若关于的方程没有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同，将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球的个数n 200 300 400 500 1000 1500 2000 摸到白球的个数m 116 192 232 298 590 906 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.604 0.601 根据以上数据，估计摸到白球的概率约为_______（精确到0.01） 【答案】0.60 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据表格可知，摸到白球的频率在0.600左右摆动， 所以根据以上数据估计，摸到白球的概率约为0.60． 故答案为：0.60． 14. 如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为______ 【答案】4 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可以得到的面积等于的一半，由此可以得到它们的关系． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得面积等于， 解得：， ∵反比例函数（k为常数，）的图象在第一和第三象限， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键． 15. 如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，延长至点G，使，连接、、，根据可证明，得出，则，故当D、E、G三点共线时，取最小值为，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解∶延长至点G，使，连接、、， ∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当D、E、G三点共线时，取最小值为， 在边长为5的正方形中，，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解方程：. 【答案】， 【解析】 【分析】先化为一般式，然后根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：， ， 即， ∵，， ∴ 解得：， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17. 曹老师家的脚踏式垃圾桶如图，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角，为节省家里空间小明想把垃圾桶放到桌下，经测量桌子下沿离地面高，垃圾桶，桶盖直径．（参考数据：，，），问： （1）若，求垃圾桶盖打开张角的度数？ （2）垃圾桶放到桌下踩踏板时，桶盖完全打开有没有碰到桌子下沿？ 【答案】（1） （2）桶盖完全打开没有碰到桌子下沿 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图所示，连接，根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得答案； （2）如图所示，过点C作分别交于F、H，则四边形是矩形，可得，解得到， 则，由此即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴垃圾桶盖打开张角的度数为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点C作分别交于F、H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴桶盖完全打开没有碰到桌子下沿． 18. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：． 19. 如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ． ∵， ， ， ， ， ， ； （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质， （1）由菱形的性质可证明，即可证明，可得出结论； （2）由可得，设，则，，证明，得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ． 20. 由边长相等的小正方形组成的网格，以下各图中点A、B、C、D都在格点上． （1）在图1中，______； （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找点P，使得； ②如图3，在上找点P，使得． 【答案】（1） （2）①如图中，点P即为所求； ②如图中，点P即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据网格性质可得，进而可得，即得； （2）①仿照（1）的图形构造相似比为的相似三角形即可； ②利用对称，即可图形转化为（1）的形式． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②略 21. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． （1）求的长； （2）求点到地面的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 22. 材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】题一：①；②最大值为；题二：米 【解析】 【分析】题一：①运用矩形的性质，证明△AEF∽△ABC，用相似三角形的相似比等于对应高的比列式计算即可； ②设矩形的面积为S，建立等式，转化为给出的方法计算即可． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米，则，转化为给出的方法计算即可． 【详解】（1）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 有最大值，最大值为． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米， ， 整理，得， ， ， ∴ ， 需要用的篱笆最少是米． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，相似三角形的判定与性质，能准确理解新方法，并运用新方法是解题的关键． 23. 如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿翻折至，直线分别交直线，直线于点，，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）如图2，连接分别交，于点，，若， ①求证：． ②求的长． （3）设直线交于点，连接，记的面积为，的面积为，连接，当中有一个内角的正切值为时，求的值． 【答案】（1），理由： ∵将沿翻折至， ， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， （2） ①证明：连接 ，， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ∴， ， ，得， ， ② （3）或 【解析】 【分析】（1）先说明，再证明，由，得，即可解决问题， （2）①证明，得，，得四边形是平行四边形，再由，得是菱形，由相似三角形各边成比例，得，，得，求出，得，得，从而；②利用勾股定理计算即可； （3）先证，分两种情况：第一种情况，如图3，的正切值为，即，第二种情况，如图4，的正切值为，即，利用相似基本图形相关线段长度，分别求，，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②在中，， 在中，， 【小问3详解】 ，，， ， ， ， ， 第一种情况：如图3，的正切值为，即， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ，，得， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ； 第二种情况：如图4，的正切值为，即， 同理可得，，，， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质，菱形判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解决此题关键在于利用相似三角形的性质求出相关线段长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $