精品解析：甘肃省白银市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

白银市2024-2025学年度八年级第二学期期末考试 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是( ) A. x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1 B. （2x+3）（2x﹣3y）＝4x2﹣9y2 C. x2+y2＝（x+y）2﹣2xy D. x2+6x+9＝（x+3）2 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，最简分式是（　　） A. B. C. D. 4. 如果a＞b，那么下列结论中，错误的是（　　） A. a﹣3＞b﹣3 B. 3a＞3b C. D. ﹣a＞﹣b 5. 四边形中，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 对角线互相平分 6. 如图，已知：函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 若能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ） A. B. C. 26或 D. 或22 8. 如图，在中，，，将绕着点顺时针旋转到的位置，若点，C，在同一条直线上，则的度数为（ ） A. 106° B. 104° C. 102° D. 100° 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，顺次连接三边的中点D，E，F得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点M，G，H得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点得到的三角形面积为，设的面积为64，则（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 32 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. “x的2倍与3的差不小于x的3倍”用不等式表示为____． 12. 将多项式提公因式3xy后，另一个因式为______． 13. 点关于原点的对称点的坐标是______． 14. 一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是____________． 15. 如果关于x的分式方程无解，则m的值为________ 16. 如图，嘉淇利用“，，“这些条件作时，她先作出了边和，在用圆规作时，发现以点A为圆心，为半径的圆弧与的另一条边交于C和C两个点，则的长为______． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 分解因式：． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 19. 已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 20. 化简，求值：，其中 21. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点． 22. 小明和小军在一起探讨有关“多边形的内角和”的问题，两人各出一道题考对方，小明给小军出了这样一道题：一个四边形各内角的度数比为，求各内角的度数．小军想了想，说这道题目有问题． （1）请你指出问题在哪里； （2）他们经过研究后，改变了题目中的一个数字，使这道题没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数字，使这道题没有问题，并进行解答． 四、解答题：本大题共5小题，共40分，解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （2）将向下平移5个单位长度得到，请画出，并写出三个点的坐标； 24. 如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 25. 阅读材料：在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 则原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_____． A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____． （3）请你用换元法对多项式进行因式分解． 26. “和尚头”是白银区武川乡干旱地区种植的优质小麦之一，其特点是滑润爽口、味感纯正、面筋强、食用方便，是家庭、宾馆、给老人祝寿之佳品．某商店准备用3000元购进两种包装的这种小麦共150袋，已知购买两种小麦的费用相同，且种包装小麦的单价是种包装小麦单价的2倍． （1）两种包装的小麦单价各是多少？ （2）若计划用不超过4500元的资金再次购进两种包装的小麦共200袋，已知两种包装的单价不变，则种包装的小麦最多能购进多少袋？ 27. 如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点P从点E出发，沿方向以的速度向点C运动，点从点D出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求的长； （2）是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）当_____时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市2024-2025学年度八年级第二学期期末考试 数学 注意事项： 1．全卷满分120分，答题时间为120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是( ) A. x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1 B. （2x+3）（2x﹣3y）＝4x2﹣9y2 C. x2+y2＝（x+y）2﹣2xy D. x2+6x+9＝（x+3）2 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A、等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意； B、等式从左到右的变形是整式乘法，故本选项不符合题意； C、等式从左到右的变形不是因式分解，故本选项不符合题意； D、等式从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程叫做因式分解是集体的关键． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 下列各式中，最简分式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无公因式．如果有互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】A.分子分母有最大公约数，不是最简分式； B.分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式； C.，不是最简分式； D. ，不是最简分式； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意． 4. 如果a＞b，那么下列结论中，错误的是（　　） A. a﹣3＞b﹣3 B. 3a＞3b C. D. ﹣a＞﹣b 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据不等式的基本性质判断，不等式的性质运用时注意:必须是加上,减去或乘以或除以同一个数或式子;另外要注意不等号的方向是否变化. 详解：A、不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变,a>b两边同时减3,不等号的方向不变,所以a-3>b-3正确; B、C、不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,所以3a>3b和正确; D、不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,a>b两边同乘以-1得到-a<-b,所以-a>-b错误;故选D. 点睛：不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；另外要注意不等号的方向是否变化． 5. 四边形中，，，则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握一行四边形的性质是解答本题的关键． 由题中结论可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，对角线互相平分 ∴B、C、D均正确， 而A选项，但并不一定，故该选项错误，符合题意， 故选：A． 6. 如图，已知：函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查两条直线的交点与不等式的解集的关系，根据根据两条直线的交点坐标，结合图象，函数图象位于函数图象上方的点的横坐标的取值范围即为不等式的解集． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 则根据图象可得不等式的解集是， 故选：B． 7. 若能用完全平方公式因式分解，则k的值为（ ） A. B. C. 26或 D. 或22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，根据题意可得，列式计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴或26． 故选：C 8. 如图，在中，，，将绕着点顺时针旋转到的位置，若点，C，在同一条直线上，则的度数为（ ） A. 106° B. 104° C. 102° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质；先根据等边对等角，得到的度数，再根据旋转的性质得到，进而得到答案即可； 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按如图所示的步骤作图，则点H的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，推导出，进而证明是解题的关键. 由， 求得由作图得平分， 则， 由， 得， 所以， 则所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵四边形是平行四边形，在轴上 ∴轴， 由作图得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴 故选：A． 10. 如图，顺次连接三边的中点D，E，F得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点M，G，H得到的三角形面积为，顺次连接三边的中点得到的三角形面积为，设的面积为64，则（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线性质证△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，求出S1＝S△FEC＝S＝16，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1． 【详解】解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点， ∴AD＝DB，DF＝BC＝BE，DE＝AC＝AF， 在△ADF和△DBE中， ， ∴△ADF≌△DBE（SSS）， 同理可证，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC， ∴S1＝S△FEC＝S＝16， 同理可得，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1， ∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21， 故答案为：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线．理解三角形中位线性质，证三角形全等是解决问题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. “x的2倍与3的差不小于x的3倍”用不等式表示为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列不等式，根据题目提供的不等关系列出不等式即可． 【详解】解：“x的2倍与3的差不小于x的3倍”用不等式表示为， 故答案为： 12. 将多项式提公因式3xy后，另一个因式为______． 【答案】 【解析】 【分析】明确各单项式的公因式，逆向运用单项式乘法，将各单项式写成公因式与另一个因式的积的形式，提出公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解提公因式法，理解相应的法则是解题的关键． 13. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 14. 一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是____________． 【答案】##540度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和和外角和的综合，先利用正多边形的外角和为求得边数，再根据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】解：∵正多边形的每个外角为， ∴这个正多边形的边数为， ∴这个正多边形的内角和为， 故答案为：． 15. 如果关于x的分式方程无解，则m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】求出分式方程的解，由题意方程无解，则可求得m的值． 【详解】把分式方程化为整式方程，得，， 当时原方程无解， 此时， 故答案为：； 【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，此类问题是先按分式方程的步骤进行，求得方程的解，再确定分式方程无解时的增根，由增根即可确定参数的值． 16. 如图，嘉淇利用“，，“这些条件作时，她先作出了边和，在用圆规作时，发现以点A为圆心，为半径的圆弧与的另一条边交于C和C两个点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 连接、，过点A作于点M，由含角的直角三角形的性质得，再由等腰三角形的性质得，然后由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、，过点A作于点M， 则， ，， ， 由题意，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 故答案为： 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 分解因式：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因数，然后根据平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】分别解出不等式组中的不等式，再将两个不等式的解集结合表示出不等式组的解集，最后在数轴上表示即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为，在数轴上表示为： ． 【点睛】本题主要考查解不等式组，解题的关键是熟练地掌握解不等式的步骤与方法，并能根据不等式的解集得到不等式组的解集，需要注意的是在数轴上表示的是：是实心圆，＞、＜是空心圆． 19. 已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】易证△ABD≌△ACD，则可得证. 【详解】解：证明：∵∠1＝∠2， ∴BD＝CD， 在△ABD与△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， 即AD平分∠BAC． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法. 20. 化简，求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和分母有理化，先通分计算小括号内的减法，再利用分式的除法法则进行化简，再将代入即可； 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点． 【答案】 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∵EF∥AC， ∴∠AEF=∠CAE， ∴∠AEF=∠BAE， ∴AF=EF， 又∵BE⊥AD， ∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BEF+∠AEF=90°， 又∠AEF=∠BAE， ∴∠ABE=∠BEF， ∴BF=EF， ∴AF=BF， ∴F为AB中点． 【解析】 【分析】由AD为角平分线可得再由∠BAE=∠CAE，由EF∥AC，根据两直线平行内错角相等可得∠AEF=∠CAE，所以∠AEF=∠BAE，根据等角对等边即可得AF=EF．又因∠BAE+∠ABE=90°，∠BEF+∠AEF=90°，∠AEF=∠BAE，利用等角的余角相等可得出∠BEF=∠ABE，根据等角对等边得到即可得BF=EF，所以AF=BF，即F为AB的中点． 【详解】证明：略． 【点睛】考核知识点：等边三角形性质. 22. 小明和小军在一起探讨有关“多边形的内角和”的问题，两人各出一道题考对方，小明给小军出了这样一道题：一个四边形各内角的度数比为，求各内角的度数．小军想了想，说这道题目有问题． （1）请你指出问题在哪里； （2）他们经过研究后，改变了题目中的一个数字，使这道题没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数字，使这道题没有问题，并进行解答． 【答案】（1）这个角不能是四边形的内角 （2）见解析，（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形内角和，利用多边形内角和定理得出是解题关键． （1）根据多边形的每一个内角都小于，计算即可判断； （2）将度数比改为．利用四边形内角和为，计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据题中条件可知，四边形中最大内角的度数为， 多边形的每一个内角都小于， ∴这个角不能是四边形的内角； 【小问2详解】 解：将度数比改为． 四边形的内角和为， ∴四个内角的度数分别为，，，． 四、解答题：本大题共5小题，共40分，解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图： （1）以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （2）将向下平移5个单位长度得到，请画出，并写出三个点的坐标； 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，，，； 24. 如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质，得到，，证明，即可得证； （2）全等三角形的性质，得到，等边对等角得到，角的和差关系求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合， ，， ， ， 在和中， ， ． 【小问2详解】 由得：， ，， ， ． 25. 阅读材料：在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 则原式（第一步）， （第二步）， （第三步）， （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的_____． A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____． （3）请你用换元法对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【小问1详解】 解：小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式法． 故选：C； 【小问2详解】 解：， 设， 则：原式 ． 故答案为：； 【小问3详解】 解：， 设， 则：原式 ． 26. “和尚头”是白银区武川乡干旱地区种植的优质小麦之一，其特点是滑润爽口、味感纯正、面筋强、食用方便，是家庭、宾馆、给老人祝寿之佳品．某商店准备用3000元购进两种包装的这种小麦共150袋，已知购买两种小麦的费用相同，且种包装小麦的单价是种包装小麦单价的2倍． （1）两种包装的小麦单价各是多少？ （2）若计划用不超过4500元的资金再次购进两种包装的小麦共200袋，已知两种包装的单价不变，则种包装的小麦最多能购进多少袋？ 【答案】（1）种包装的小麦单价为30元/袋，种包装的小麦单价为15元/袋 （2）种包装的小麦最多能购进100袋 【解析】 【分析】（1）设种包装的小麦单价为元/袋，则种包装的小麦单价为元/袋，根据“某商店准备用3000元购进两种包装的这种小麦共150袋，已知购买两种小麦的费用相同”，列出分式方程，解方程即可得到答案； （2）设购进种包装的小麦袋，则购进种包装的小麦袋，根据“计划用不超过4500元的资金再次购进两种包装的小麦共200袋”，列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种包装的小麦单价为元/袋，则种包装的小麦单价为元/袋， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/袋）， 答：种包装的小麦单价为30元/袋，种包装的小麦单价为15元/袋； 【小问2详解】 解：设购进种包装的小麦袋，则购进种包装的小麦袋， 依题意，得， 解得， 答：种包装的小麦最多能购进100袋． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键． 27. 如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点P从点E出发，沿方向以的速度向点C运动，点从点D出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求的长； （2）是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）当_____时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分（直接写出答案）． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，结合角平分线的定义得出，由等角对等边即可得解； （2）由（1）可得，求出，由题意可得，，结合题意可得要使以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只要，再分两种情况：当点在边上时；点在边的延长线上时，分别求解即可； （3）连接交于，由题意可得必过的中点，即为的中点，证明，得出，表示出，，得出，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：，， ∵， ∴要使以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点在边上时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当点在边的延长线上时，则， ∴， ∴； 综上所述，或时，以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：如图，连接交于， ∵线段将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴必过的中点，即 为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $