精品解析：河北省石家庄市2024-2025学年高二下学期期末测试数学试题

2024~2025学年度高二年级期末测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章~第十章，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：C． 2. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：C. 3. 为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的75％分位数为（ ） A. 93.5 B. 93 C. 92 D. 91.5 【答案】A 【解析】 【分析】将8名学生的成绩从低到高依次排列，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】将8名学生的成绩从低到高依次为：65，70，75，80，85，92，95，95， 可得，所以75%分位数为． 故选：A． 4. 函数在上的最大值为2，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出函数的导数不等式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可． 【详解】解：． 令，解得：，令，解得：， 故在，递减，在，递增， 故的最大值是或， 而， 故， 故选：． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，属于基础题． 5. 展开式中的系数为（ ） A. 5 B. 15 C. 20 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理，写出通项以及多项式乘法，可得答案. 【详解】展开式的通项为，所以展开式中的系数为5. 故选：A. 6. 已知某班级参与投篮比赛的学生共有20人（男生、女生各10人），男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值和方差分别是3和3.4，则这20人进球数的方差为（ ） A. 4 B. 3.6 C. 3 D. 2.6 【答案】B 【解析】 【分析】求出总体的平均数，然后再利用分层方差求总体方差，即可求解. 【详解】这20人的平均数为，方差. 故选:B. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（ ） A. 与不互斥 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与互斥但不对立 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出事件包含的基本事件，再根据互斥事件，对立事件，独立事件的定义对四个选项一一进行判断，得到答案. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反），共8种结果， 事件“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反反），（正反反），共4种结果， 事件“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（反反反），共2种结果， 对于A选项，事件与事件可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，故A正确； 对于B选项，，，， 则与相互独立，故B正确； 对于C选项，，，则与不独立，故C错误； 对于D选项，和互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，故D正确. 故选：C. 8. 已知随机变量，，则将m个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有（ ） A. 150 B. 200 C. 260 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的期望得到，然后采用先分组后排序的方法计算即可. 【详解】由，得，即， 故分配方案共有种． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据散点图分析数据的正（负）相关及相关性的强弱，即可判断相关系数的特征. 【详解】由图形特征可知，对应的样本数据都是负相关，所以，都是负数， 又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强，所以， ，对应的样本数据都是正相关，又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强， 所以，所以BD正确． 故选：BD． 10. 设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正态分布参数的意义可判断AB，利用正态分布曲线计算概率值的大小，可判断CD. 【详解】由随机变量可知： 所以成立，故A正确； 不成立，故B错误； 再由随机变量可知： ，故成立，故C正确； 由于，， 它们的临界值都是，所以，故D错误； 故选：AC. 11. 已知函数，，若函数与的图象在上恰有2个交点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，当时，直线与曲线相交,当时，直线与曲线相切,然后根据相交与相切等式化简即可. 【详解】函数与的图象在上恰有2个交点，且的周期为， 当时，直线与曲线相交于点，即； 当时，直线与曲线相切于点，即， 所以，则，故A正确； 当时，，，则在切点处有整理得，所以，故B正确； 因为点在上，所以，两边同乘，得，故C错误; 由得，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的重量（吨）的相关性，在生产过程中收集了6组对应数据，如下表所示．根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，则_____________. 2 3 4 5 6 7 1.5 2 3 4 5.5 【答案】6.2#### 【解析】 【分析】先计算样本中心点，将其代入回归方程中即可. 【详解】由题意得， 将代入方程，得，所以． 故答案为： 13. 已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有________种. 【答案】20 【解析】 【分析】先将丙、丁排列有种站法，再将甲、乙排在丙、丁之间有种站法，再排戊,即可求解. 【详解】先将丙、丁排列有种站法，再将甲、乙排在丙、丁之间有种站法， 最后在排好的4人所形成的5个空挡中选一个站戊，有种站法， 根据分步乘法计数原理，得共有种不同的站法. 故答案为：. 14. 某校有10名同学进入“一带一路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置三道题目，选手按的顺序回答题目，只要答对2道题目，即可进入决赛，若每位选手答对、题目的概率分别为，且每道题目答对与否互不影响.设人进入决赛的概率为，当取得最大值时，________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算出每个人进入决赛的概率，利用二项分布的概率公式写出的表达式，列出不等式组，结合组合数的阶乘公式进行求解即可. 【详解】每位同学进入总决赛的概率为， 设表示人进人总决赛，则， 则. 当取得最大值时， 需满足 解得：，又，所以当取得最大值时，. 故答案为：7 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 据文化和旅游部5月6日公布2025年“五一”假期全国国内出游人次为3.14亿，总花费为1802.69亿元.在假期出游的人群中，有跟团游，也有自由行等不同的旅游方式.为了解年龄因素是否影响旅游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于17岁，小于45岁）和中老年组（大于或等于45岁）.现从市随机抽取200名成年人进行调查，得到数据如下表: 青壮年 中老年 合计 跟团游 30 60 90 自由行 65 45 110 合计 95 105 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析年龄与选择旅游方式是否有关联； （2）用分层随机抽样的方法从跟团游中抽取9人，再从9人中随机抽取5人，用随机变量表示5人中青壮年人数与中老年人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 附:. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为年龄与选择旅游方式有关联 （2）的分布列为: 1 3 5 期望为【解析】 【分析】（1）由卡方公式计算再比较即可； （2）先用分层抽样确定青壮年和中老年人数，确定随机变量的可能取值为1，3，5，用古典概率计算出相应的概率，求出的分布列，再利用数学期望公式求出期望即可. 【小问1详解】 零假设:年龄与选择旅游方式无关联. 根据列联表，得， 依据的独立性检验，可以推断不成立，即认为年龄与选择旅游方式有关联. 【小问2详解】 用分层随机抽样的方法在青壮年组抽取人数为，在中老年组抽取的人数为， 随机变量的可能取值为1，3，5， ， ， ， 故的分布列为: 1 3 5 所以. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数，求切点和导数，进而利用导数求斜率即可到切线方程； （2）由题意得，在区间上恒成立，分离参数可得，令，利用导数求函数的最小值，从而可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，所以， 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 由，得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，则， 令，得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以函数的极小值为，也是最小值. 所以，即实数的取值范围是. 17. 随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 （1）小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； （2）利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 【答案】（1） （2）模型更有价值 【解析】 【分析】（1）将两边取对数，只需结合所给公式求出的值即可得解； （2）只需计算出两个相关系数，然后它们和0.75这三个数之间比较大小即可作出结论. 【小问1详解】 将两边取对数，得，令， 由题意得， 所以， 所以， 所以，即， 所以． 【小问2详解】 因为回归直线方程为， 所以， 所以， 所以． 因为，所以该经验回归方程有价值． 因为， 所以， 所以与线性相关性强，其经验回归方程有价值， 又， 所以模型更有价值. 18. 在学校趣味运动会上，有一个限时通过障碍的项目，闯关者在规定的时间内到达终点视为闯关成功，否则视为闯关失败.甲、乙两班各有3人参加此项目，已知甲班3名队员闯关成功的概率分别为，，，乙班每名队员闯关成功的概率均为，且各个队员闯关是否成功互不影响. （1）若，求在甲、乙两班共有4人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率； （2）记甲、乙两班闯关成功的人数分别是，，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）“甲、乙两班共有4人闯关成功”为事件，“甲、乙两班闯关成功的人数相同”为事件，分别计算，， （2）分别计算，令，解出p的范围即可. 【小问1详解】 设“甲、乙两班共有4人闯关成功”为事件，“甲、乙两班闯关成功的人数相同”为事件. 事件可以分为以下三种情况：甲班1人，乙班3人；甲班2人，乙班2人（即事件）；甲班3人，乙班1人.1分 甲班有1人，乙班有3人闯关成功的概率是， 甲班有2人，乙班有2人闯关成功的概率是， 甲班有3人，乙班有1人闯关成功的概率是， 所以. 又，所以，即在甲、乙两班共有4人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 由题意知，所以. 因为，所以，解得， 又，所以的取值范围是. 19. 已知函数，其导函数为. （1）讨论的单调性； （2）求的极值点个数； （3）求所有极值点的乘积. 【答案】（1）在，上单调递增 （2）在其定义域上存在两个极值点 （3）1 【解析】 【分析】（1）求出的定义域为，然后求导得，再令，再结合导数知识可求解； （2）由（1）可得，，从而，使，且，，从而所以，使，再结合导数极值知识即可求解； （3）由（2）知，是函数的零点，从而化简得到，即可求解. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，，由， 所以可得， 当时，，则， 综上可得， 令，则恒成立， 所以在，上单调递增. 【小问2详解】 因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在（0，1）上有一个极小值点. 因为，， 所以，使， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以在上有一个极小值点， 所以在其定义域上存在两个极值点. 【小问3详解】 由（2）知，是函数的零点， 所以， 所以，所以. 因为，所以，且在，上各存在一个零点，， 所以，即， 所以所有极值点的乘积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度高二年级期末测试 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第九章~第十章，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 2. 已知离散型随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 为激发同学们对无人机飞行的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名学生的成绩依次为：65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的75％分位数为（ ） A. 93.5 B. 93 C. 92 D. 91.5 4. 函数在上的最大值为2，则a的值为（ ） A. B. 2 C. 5 D. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 5 B. 15 C. 20 D. 35 6. 已知某班级参与投篮比赛的学生共有20人（男生、女生各10人），男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值和方差分别是3和3.4，则这20人进球数的方差为（ ） A. 4 B. 3.6 C. 3 D. 2.6 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（ ） A. 与不互斥 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与互斥但不对立 8. 已知随机变量，，则将m个人分到3个不同的地方，每个人必去一个地方，每个地方至少去1人的分配方案共有（ ） A. 150 B. 200 C. 260 D. 300 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 设随机变量，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，若函数与的图象在上恰有2个交点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某工厂为研究某种产品的产量（吨）与所需某种原材料的重量（吨）的相关性，在生产过程中收集了6组对应数据，如下表所示．根据表中数据，得出关于的经验回归方程为，则_____________. 2 3 4 5 6 7 1.5 2 3 4 5.5 13. 已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站一排照相，要求甲、乙站在丙、丁之间，则不同站法有________种. 14. 某校有10名同学进入“一带一路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置三道题目，选手按的顺序回答题目，只要答对2道题目，即可进入决赛，若每位选手答对、题目的概率分别为，且每道题目答对与否互不影响.设人进入决赛的概率为，当取得最大值时，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 据文化和旅游部5月6日公布2025年“五一”假期全国国内出游人次为3.14亿，总花费为1802.69亿元.在假期出游的人群中，有跟团游，也有自由行等不同的旅游方式.为了解年龄因素是否影响旅游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于17岁，小于45岁）和中老年组（大于或等于45岁）.现从市随机抽取200名成年人进行调查，得到数据如下表: 青壮年 中老年 合计 跟团游 30 60 90 自由行 65 45 110 合计 95 105 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析年龄与选择旅游方式是否有关联； （2）用分层随机抽样的方法从跟团游中抽取9人，再从9人中随机抽取5人，用随机变量表示5人中青壮年人数与中老年人数之差的绝对值，求的分布列和数学期望. 附:. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 17. 随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为2021～2025中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测（表中2025年的数据为预测规模）． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模（单位：千亿元） 0.93 1.26 1.61 2.15 2.79 （1）小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； （2）利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，|r|越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值．用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：． 参考数据：,(其中)． 18. 在学校趣味运动会上，有一个限时通过障碍的项目，闯关者在规定的时间内到达终点视为闯关成功，否则视为闯关失败.甲、乙两班各有3人参加此项目，已知甲班3名队员闯关成功的概率分别为，，，乙班每名队员闯关成功的概率均为，且各个队员闯关是否成功互不影响. （1）若，求在甲、乙两班共有4人闯关成功的条件下，甲、乙两班闯关成功的人数相同的概率； （2）记甲、乙两班闯关成功的人数分别是，，若，求的取值范围. 19. 已知函数，其导函数为. （1）讨论的单调性； （2）求的极值点个数； （3）求所有极值点的乘积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $